锐角三角函数 讲义一、基础知识点: 1.定义:如图在△ABC 中，∠C 为直角,我们把锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ；ca A =sin 把锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ;cb A =cos 把锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tan A ;ba A =tan 2、三角函数值(1）特殊角的三角函数值角度 三角函数 0° 30° ４5° ６０° 90° s ｉｎA 0 12 22 32１cosA １ 32 22 12 0ｔanA313不存在(２）锐角三角函数值的变化：（1)当α为锐角时，各三角函数值均为正数,且0<s ｉｎα＜1，0<c ｏs α＜1,当0°≤α≤45°时，sin α，tan α随角度的增大而_＿_____,ｃo ｓα随角度的增大而____＿__.（3）当0°<α<45°时,ｓin α__＿＿_c ｏs α;当45°＜α<90°时,ｓin α______c ｏs α.3、 同角、互余角的三角函数关系:(1)同角三角函数关系：1cos sin 22=+A A .； AA A cos sin tan =；(２)互余锐角的三角函数关系:)90cos(cos sin A B A -︒==，)90sin(sin cos A B A -︒==。

1、 解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素(其中至少有一条边),求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型如下表： 已知条件 解法 一条边和一个锐角 斜边ｃ和 锐角Ａ290,sin ,cos ,sin cos B A a c A b c A S c A A ο=-===直角边a 和锐角A 90,,,tan sin a aB A b c A Aο=-==两条边两条直角 边a 和b 22c a b =+,1,90,2A B A S ab ο=-=直角边ａ和 斜边c22,sin ,,90ab c a A A B A cο=-==-备注:a 、ｂ、c 为三角形的三边;A 、B 、C 为三角形的三个内角、S 为三角形的面积 三、典型例题：1． 锐角三角函数的相关概念例1、如图１，在RT △A ＢＣ中，∠C=９0°,si ｎA ＝53,则tanB 的值为（ﻩ）A ．34ﻩ B.54 ﻩC ．45 ﻩﻩD ．43例5例2、如图,⊙O 是△A ＢC 的外接圆,A Ｄ是⊙Ｏ的直径,若⊙O 的半径是23，AC=２,则ｓinB 的值是（ )Ａ.32ﻩﻩ B.23ﻩﻩﻩC ．43 ﻩﻩD ．34ﻩ例3：已知在Rt ABC △中,∠C 为直角，A Ｃ = ４cm ，ＢＣ = 3cm ，sin ∠A ＝ ． 例4：在Rt ABC △中,90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A = ．例5:如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝9０°,ＡB =5,AC ＝２，则cos Ａ的值是( ) A.错误! B.错误! C.错误! D ．错误!A CB图1A BCDO例2ACB ACBDBACDE 例6：如图2,在△ABC 中,∠C =９0°，ＡB =1０cm ,sinA =54，则B Ｃ的长为 __＿c ｍ． 例6例７:正方形网格中，AOB ∠如图3放置，则cos AOB ∠的值为（ ）A.55ﻩ Ｂ．255ﻩ C.12ﻩﻩD.2 典型例题题型一：求锐角三角函数的值例1 在Ｒt △ＡＢC 中,∠C ＝90°，sin Ｂ=35,点D 在ＢＣ边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠ＢAD 的正切值.变式训练1 如图,在ABC △中,90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ,若23AC =,32AB =,则tan BCD ∠的值为（ ) A.2 B ．2C ．6ﻩD ．3变式训练2如图,在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ＡDE=6０°,BD=4,CE=43，则△ABC 的面积为( )A.83B.１5ﻩC.3D.3题型三:化简计算例1(1））计算：20113015(1)()(cos68)338sin 602π---+++-.ABO例7变式1图 变式2图变式:已知α是锐角，且s ｉn(α+15°）＝32。

计算10184cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭。

特殊角的三角函数值例１菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为( )A.(21)，B ．(12)，C ．(211)+， Ｄ.(121)+， 变式训练2. 如图,直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点Ｏ (0,０)，B 是y 轴右侧⊙Ａ优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( ).A ．12 B. 34 Ｃ. 32 D.45概念巩固练习1.已知ABC ∆中,A Ｃ＝4,BC =3,AB =5,则sin A =（ ） A ． 35B ．45 C. 53 D ． 342.已知α为锐角,且23)10sin(=︒-α，则α等于( ） A.︒50 Ｂ.︒60 Ｃ.︒70 Ｄ．︒803.如图，已知直角三角形ABC 的斜边AB 长为m ,40B ∠=,则直角边BC 的长是( ） Ａ.sin 40m ﻩﻩＢ.cos 40m ﻩC ．tan 40m D ．tan 40m４.正方形网格中，AOB ∠如图放置，则sin AOB ∠=( )AB O例1图变式1图第3图第4图Ａ．55 Ｂ.255 C ．12D ．2 5.在△A ＢC 中,∠Ｃ＝90°，ｔａn A ＝31，则sin B =( ） Ａ.1010 B.32 Ｃ.43 Ｄ．101036.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ,则tan CBE 的值是( ） A ．247ﻩ B ．73 C.724D.137、如图,A Ｂ是⊙O 的直径，Ｃ、D 是圆上的两点(不与Ａ、B 重合），已知BC ＝2，tan ∠ADC =1,则A Ｂ＝__________.2、锐角三角函数的应用性问题 (1)求线段长、面积、周长例1如图，测量河宽AB (假设河的两岸平行），在C 点测得∠ACB =30°,D 点测得∠A ＤＢ＝60°,又CD =6０m,则河宽AB 为 m(结果保留根号).变式１如图，一个小球由地面沿着坡度ｉ＝1∶2的坡面向上前进了10 m,此时小球距离地面的高度为( )A ．５ m B.25m C.45ｍ D.310m变式2 如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O ,直径AB 是河底线,弦CD 是水位线，CD ∥ＡB ，且ＣD ＝ ２4 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得s ｉｎ∠D ＯE =1213. （１）求半径OD ；（2)根据需要,水面要以每小时0.5 m 的速度下降,则经过多长时间才能将水排干？6 8CEABD（第6题）ABCDOEC D 第7图 例1图例2如图,菱形ABＣD的边长为1０cm，DＥ⊥ＡB，3sin5A=,则这个菱形的面积＝ｃｍ２．（2）测量问题例２、某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹,同时对文宣塔的高度进行了测量,如图2,他们先在A处测得塔顶C的仰角为３0°;再向塔的方向直行80步到达B 处，又测得塔顶C的仰角为60°,请用以上数据计算塔高。

(学生的身高忽略不计，1步＝0.８m,结果精确到1m）（３）、航海问题例3、如图3,灯塔A在港口0的北偏东55°的方向，且与港口的距离为８0海里，一艘船上午９时从港口0出发向正东方向航行，上午１1时到达B处，看到灯塔A在它的正北方向,试求这艘船航行的速度（精确到０.０１海里/小时）(供选数据:ｓｉn55°＝0.81９２,cos55°＝０.5７36，taｎ５5°=1.428１）四、巩固练习:1.如图，在Rt ABC△中，ACB∠=Rt∠，1BC=,2AB=,则下列结论正确的是( ）A.3sin A=Ｂ.1tan2A= C.3cos B= D.tan3B=BCAABO北东西南)552. 如图,在坡屋顶的设计图中,AB=AC,屋顶的宽度l 为１0米,坡角α为３5°,则坡屋顶的高度h 为 米.（结果精确到0．1米)3. △AB Ｃ中，∠C ＝９0°，ＡB ＝8，cos Ａ=43，则AC 的长是 ；4.先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB 为( ）A. αcos 5 Ｂ. αcos 5 C ． αsin 5 D. αsin 55.如图１0,已知R ｔ△AB Ｃ中,ＡC=3，ＢC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB,垂足为A １，再过A １作Ａ1C 1⊥BC,垂足为C 1,过C 1作C 1A 2⊥ＡB,垂足为A ２,再过Ａ２作A 2Ｃ２⊥BC,垂足为Ｃ2,…,这样一直做下去,得到了一组线段CA 1,A 1C １,12C A ，…，则CA 1= ,=5554C A A C第５题图 填空第１题图 填空第2题图6.某人沿着有一定坡度的坡面前进了１0米,此时他与水平地面的垂直距离为52米,则这个破面的坡度为____＿＿＿＿＿_.7.如图所示，小华同学在距离某建筑物６米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为５2°和35°，则广告牌的高度BC 为_＿_____＿_____米(精确到０.1米).(sin35°≈０.５7,ｃｏs35°≈0.８2,tan35°≈0.70；ｓin52°≈0.７9，co ｓ5２°≈0.6２，t ａn52°≈1.2８)8. 104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---＝_＿_＿__．9. (１) 计算2(2)tan 452cos 60-+-。

= (2）计算：()02cos602009π9--+°=五、课后练习1．如图，小颖利用有一个锐角是３0°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离ＢE 为５m,AB 为１．5m （即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是B A ED C30图A BCD 6米 52° 35°(第7题图)CBA( ) A.（53332+)m Ｂ．（3532+）m C. 533ｍ D ．4m 2．如图,在等腰R ｔ△AB Ｃ中，∠Ｃ=90o ,AC =6，D 是AC 上一点,若tan∠ＤBA ＝51，则AD 的长为（ )（Ａ) 2 (B ）3 （C ）2 (Ｄ）１ 3.已知在ABC △中，90C ∠=，设sinB n =,当B ∠是最小的内角时,n 的取值范围是A.202n <<B ．102n << C ．303n << D.302n << 4.如图，每个小正方形的边长为１,A 、B 、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的度数为( ） A.90° B ．６0° C.45° Ｄ．30°５．如图，矩形ＡＢCD 中,AB ＞AD ，ＡＢ=a ,AN 平分∠DAB ,D Ｍ⊥ＡN 于点Ｍ,CN ⊥A Ｎ于点N ．则ＤM ＋CN 的值为（用含a 的代数式表示）( ） A ．a B ．a 54Ｃ.a 22 D ．a 23 6．在△ABC 中,∠Ｃ＝90°,s ｉnA=45，则ｔanB=( ） A ．43 B ．34 C.35 Ｄ．457．在正方形网格中,ABC △的位置如图所示,则cos B ∠的值为( ）Ａ．12ﻩ Ｂ．22C ．32ﻩﻩD ．33８.计算2sin 45°的结果等于＿___＿___.9.在Rt△ABC 中,∠C=90°，若ＡC ＝２ＢC,则si ｎ A 的值是( ) A ．12B ．２ Ｃ．5 Ｄ.5 10．在Rt △ABC 中,∠Ｃ=90°，AC=2，B Ｃ=1,则ｔａｎB= ，ｓinA ＝ 。