分数求和分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。

2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。

3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。

4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。

5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。

典型例题 一、公式法：计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007分析：这道题中相邻两个加数之间相差20081，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。

20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007=（20081＋20082007）×2007÷2=211003二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋641 分析：解法一，先画出线段图：从图中可以看出：21 ＋41＋81＋161＋321＋641=1－641=6463 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。

因此，只要添上一个加数641，就能凑成321，依次向前类推，可以求出算式之和。

21 ＋41＋81＋161＋321＋641=21 ＋41＋81＋161＋321＋（641＋641）－641=21 ＋41＋81＋161＋（321+321）－641……=21×2－641 =6463 解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。

设x=21＋41＋81＋161＋321＋641①那么，2x=（21＋41＋81＋161＋321＋641）×2 =1+21＋41＋81＋161＋321②用②－①得2x －x=1+21＋41＋81＋161＋321－（21 ＋41＋81＋161＋321＋641）x=6463所以，21 ＋41＋81＋161＋321＋641=6463三、裂项法 1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。

再变数型：因为21=211⨯=1－21，61=321⨯=21－31，121=431⨯=31－41，……，1101=11101⨯=101-111。

这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。

21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-111=1－111=11102、计算：511⨯＋951⨯＋1391⨯＋……＋33291⨯＋37331⨯ 分析：因为514⨯=1－51，954⨯=51－91，1394⨯=91－131……33294⨯=291－331，37334⨯=331－371。

所以，我们可以将题中的每一个加数都扩大4倍后，再分裂成两个数的差进行简便计算。

511⨯＋951⨯＋1391⨯＋……＋33291⨯＋37331⨯ =（514⨯＋954⨯＋1394⨯＋……＋33294⨯＋37334⨯）÷4=（1－51＋51－91＋91－131＋……＋291－331＋331－371）÷4=（1－371）÷4=379 3、计算：21－34－154－354－634－994－1434－1954－2554分析：因为34=4×31=4×311⨯=4×（1－31）×21,154=4×151=4×531⨯=4×(31－51)×21,354=4×351=4×751⨯=4×(51－71)×21,……2554=4×2551=4×17151⨯=4×(151－171)×21.所以，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便。

21－34－154－354－634－994－1434－1954－2554=21－4×（1－31+31－51+51－71＋……＋151－171）×21=21－2×(1－171)=191724、计算：21＋65＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋99009899分析：仔细观察后发现，每个加数的分子均比分母少1.这样可变形为：21=1－21=1－211⨯，65=1－61=1－321⨯，1211=1－121=1－431⨯，2019 =1－201=1－541⨯，……，99009899=1－99001=1－100991⨯.然后再裂项相消。

21＋65＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋99009899 =（1－21）＋（1－61）＋（1－121）＋(1－201)＋……＋(1－99001)=1×99－(21＋61＋121＋201＋……＋99001)=99－(211⨯＋321⨯＋431⨯＋541⨯＋……＋100991⨯)=99－(1－1001)=9910015、计算：1＋432113211211+++++++++……+100......3211++++ 分析：可以看出，第一项的分母为1，第二项的分母为两个数相加，依此类推，最后一个分母是100个数相加且都是等差数列。

这样，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质，变分母为两个数相乘。

再裂项求和。

解法一：1＋432113211211+++++++++……+100 (3211)++++ =2121⨯⨯+2100)1001(1......24)41(123)31(122)21(1⨯+++⨯++⨯++⨯+ =1011002......542432322212⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ =2×（1－1011）=101991 解法二：原式=)10099......21(221......)4321(221)321(221)21(221212++++⨯⨯+++++⨯⨯+++⨯⨯++⨯⨯+⨯=1011002......432322212⨯++⨯+⨯+⨯ =2×（1011001......431321211⨯++⨯+⨯+⨯） =2×（1－1011）=101991 6、计算：+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯543143213211…＋10099981⨯⨯ 分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差：)321211(213211⨯-⨯⨯=⨯⨯，)431321(214321⨯-⨯⨯=⨯⨯，…… )10099199981(2110099981⨯-⨯⨯=⨯⨯，此时，可消中间，留两头进行巧算。

原式=21×（321211⨯-⨯）＋21×（431321⨯-⨯）+……＋21×（10099199981⨯-⨯） =21×（321211⨯-⨯＋431321⨯-⨯＋……＋10099199981⨯-⨯） =21×（100991211⨯-⨯）=198004949四、分组法：计算，20041+20042－20043－20044＋20045＋20046－20047－20048＋20049＋200410－……－20041999－20042000＋20042001＋20042002 分析：算式中共有2002个分数，从第二个分数20042开始依次往后数，每四个分数为一组，到20042001为止，共有500组，每组计算结果都是0.原式=20041+（20042－20043－20044＋20045）＋（20046－20047－20048＋20049）＋200410－……+（20041998－20041999－20042000＋20042001）＋20042002=20041+20042002 =20042003五、代入法：计算（1+413121++）×（51413121+++）－（1＋51413121+++）×（413121++）分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母代替，可化繁为简，化难为易。

设413121++=A ，51413121+++=B ，则 原式=（1+A ）×B －(1+B)×A =B ＋AB －A －AB =B －A=(51413121+++)－(413121++)=51 热点习题 计算：1、49134911499497495493491++++++【1】 2、12816413211618141211-------【1281】3、4213012011216121+++++【76】4、200920081200820071......199119901199019891198919881⨯+⨯++⨯+⨯+⨯【57055632009119881=-】5、3937137351......191711715115131⨯+⨯++⨯+⨯+⨯【391】 6、2+421133011120171215613++++【41145】7、565542413029201912116521++++++【816】8、3994003233242552561951961431449910063643536151634+++++++++【211010】 9、1102190197217561542133011209127651-+-+-+-+-【原式=1－3232⨯+＋4343⨯+－5454⨯++6565⨯+-7676⨯++8787⨯+－9898⨯++109109⨯+－11101110⨯+ =1－（323322⨯+⨯）+（434433⨯+⨯）－(545544⨯+⨯)+…－（111011111010⨯+⨯） =1－(2131+)+(3141+)－(4151+)+…－(101111+)=1－11121-=229】10、20021+20022+20023+20024－20025－20026－20027－20028＋20029＋200210＋…＋20021995＋20021996－20021997－20021998－20021999－20022000＋20022001＋20022002【从第三个分数20023开始依次往后数，每8个分数为一组，到最后一个分数20022002为止，共有250组，每组计算结果都是0.所以，原式=20021+20022=20023】 11、(1+51413121+++)×（6151413121++++）－(1+6151413121++++)×(51413121+++) 【设1+51413121+++=A ，51413121+++=B ，原式=A ×（B+61）－（A+61）×B=61】12、)54535251()434241()3231(21++++++++++…+（20192018...203202201+++++） 【原式=21+1+211+2+221+…+921=（21+921）×19÷2=95】13、2001年是中国共产党建党80周年，20011921是个有特殊意义的分数。