分数求和分数求和的常用方法：1、 公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、 图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从 而找出简便方法。
3、 裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的 拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、 分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分 化简的部分结合在一起简算。
5、 代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出典型例题 、公式法:计算：2008 2008 2008 爲 …2006 20072008 2008分析：这道题中相邻两个加数之间相差盏8，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）X 项数+2来计算2008 2008 2008 2008 2008 2008=10031二、图解法：计算：1 + 1 + 1 +丄+丄+丄248163264分析：解法一，先画出线段图：12 3 4 2006 20071 2007+2008 2008X 2007 -21 11164)63 64122X— 1+11+1 +丄+丄一 4 8 16 32丄+丄+1632所以, + 1 + 1 +丄+ 丄 + 481632163 6464解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。
因 此'只要添上一个加数右，就能凑成 算式之和。
£ 64 63 64解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半， 根据这一特点, 我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分设11 1 + 1+ 1+ 丄+丄 + 1①2 4 816 3264那么, 2 (1 + 1 1 + — 1 + 1 1 + — )X 224 8 1632 641 + —=1 +1+1+ 1+2481632②用②一①得132 ,依次向前类推，可以求出1 2 -1 2 -1 28 1 + 4 1+ 4+ — -+ 一16 3264+丄+ 丄+(1632 +丄+ (-+1632丄64从图中可以看出:扌+ 4 + 8 +16 + 32 + 64=1 -右=詈1 8 1 811+ -- ) 64 64 164 132 ' 643 5'35丿 2这些分母均为两个连续自然数的乘积。
治石刖。
这样将连加运算变成加减混合运算’中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。
11 11 11 1 ++ - + + +…… + + 2 6 12 20 3090110=11 1 11 11111一++ + -------- 1 - -2 23349 10 10 11=113^=33_专。
所以’我们可以将题中的每一个加数都扩大倍后，再分裂成两个数的差进行简便计算。
9 3735 63 99143195 2551 11 X 丄=4 x(1 — - )X 」，1 3 3 21 1 1 1三、裂项法1、计算: 11111丄+丄+丄+丄+丄+261220301 1+ — + --90110分析: 由于每个分数的分子均为 1 ,先分解分母去找规律：2=1X 2, 6=2 X 3 , 12=3 X 4, 20=4 X 5,30=5 X6 ,……110=10 X 11 ,再变数型：因为^1 - 1，11 1_ 1 1 1 1 _1 ............ 623 2 3，12 34 34，2、计算:+1 5分析：因为2=11 5 + —29 331 1 45 9 5 9 ' 9 139 13 4 33 3711 9 13 4= 1 29 33 = 29 1 33， 1 1 + + - 1 55 9 9—+ —455 1 + 5_ 37)(1(1 (11+……13 —+13 + _ 9 1+1 1+9131 1+ +29 3333 37……+ 29 331 +29+)—433 37 1 +33333、计算：21 — 43 15分析：因为4 =4 X 1 =43 3 41=4 X — =4 1515111 2 12 3 1 2 3 412 3 100 4 1 1 111—=4 x 丄=4 X 丄=4 X( - - -)x-, 35 35 5 7 5 7 21 1 1 x =4 X ( — - — ) X -.15 17 15 17 2所以，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便4 44 444 4 4 21 -3 15 35 63 99 143 195255 =21 —4 X (1 -1+1- -1+11 +…… •+丄一丄）X 13 355715172=21 -2 X (1 - 丄）17=19 -17 1 5 11 19 29 9701 98994、计算：—+ —+ — + — + — +……+ +2612203097029900分析：仔细观察后发现，每个加数的分子均比分母少1.这样可变形为:利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质，变分母为两个数相乘。
丄=1-1= 1 -15=1 -1 =1 -1 口 = 1 1 =1 1 , 192 2 1 266 2 3 '1212 3 4 20=1 - -丄=1—19899 d=1 1 =11 -.然后再裂项相20 4 59900990099 100消。
1 ,5 , 11 ,19 + 29,9701-+ _ + — + +… + ■+ 2 6 12 20309702 99001 1 +(1 — 20)+……+(1 —融)4255 1 =4 X 」=42551 1=(1 - 2)+(1- 6) 1 1=1 X 99 —(丄 + 丄 + 2 6 —+丄2 2 3=99=99 1 1005、计算: =99丄+121 3+99001 1+ .... + )4 599 1001—+ ... + —3 41 2 3100分析：可以看出，第一项的分母为 1,第二项的分母为两个数相加,依此类推，最后一个分母是 100个数相加且都是等差数列。
这样,再裂项求和。
1+ ••…+---------- 1解法一：1 +1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1001111 2 1C (1 2) 2 2 2 2 12 2 3 2 3 4 1 =2 x(1 —丄) 101(1 3) 3 224 5(1 4) 422 100 101(1 100) 100 =1聖101 解法二：原式二1 2 2 (1 2) 2 (1 2 3) 2 (1 2 3 4)________ 1 22 (1 2 ……99 100)=2 2 =1 22 3 3 4 1 1=2 x(」—122 31=2 x(1 --------- )101 2100 101……一)100 101=1-991016、计算:+ …+98 99 100分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差:1 (丄丄)1 (丄丄)…… 123 212 23‘234 2 2334’1 1 1 1- -(————),此时，可消中间，留两头进行巧算。
98 99 100 2 98 9999 100原式=1 X (丄2 1 21 1 98 99 99 100 专x (=2 x (=4949 =19800九）+ 2 X （九1 12 1 1 2—+2 3 )99 1001 1+ ....+3 498 9999^)5 ,6 7I — — + +—2004 2004 2004 2004 2004 200420048, 9,10 1999 2000 , 2001 , 2002 — 十 十— .. ——十十2004 200420042004200420042004分析：算式中共有2002个分数，从第二个分数 丄开始依次往后数， 2004四、分组法：计算，1每四个分数为一组，到誥为止，共有500组，每组计算结果都是1 1 113 15 15 17 17 191【39】20022004 2004=2003=2004五、代入法：计算(珂分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母代替，可化繁为简,化难为易设111，1111，则2 3 4 2 3 4 5原式二(1) X B-(1) X A+ —A -=(热点习题计算:1、1 3 5 7 9 11 13 【1】49 49 49 49 49 49 492、1 1 1 1 丄丄丄 1 12 4 8 16 32 64 128 1283、1 1 1 11 1【§】2 6 12 20 30 42 70.原式20042004)+"20041020042004 2004199820041999 20002004 2004 2004+2004 2004+ 2001 )+ 2002+2004)+2004A 1 14、1988 1989 1989 1991 1 3 】1988 2009 57055611990 199112007 200812008 2009135 37 37 39151 13 41【1 —81 (12) (12) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4)6、2+ 3 6 5丄7丄 12 2011 — 3013丄【41 §】42 14 7、 1 5 11 19 2941 551 ■6-]2 6 12 20 30 42 5688、 4 16 36 64 100 144 196 256 ——3 15 35 63 99 143 195 255 9、1 5 7 9 11 13 15 17 19-- -6 12 20 30 42 56 72 90 【原式=12 3 3 + 4 4 5 5 6 62 3 3 4 4 5 5 6 6 =1 — (23 )+( 34 ) —(-2 3 2 33 4 3 44324 400 【10® ]323 399 21211107 7 8 8 9 9 10 10 11—— +7 7 8 8 9 9 10 10 11 4 5 )+ …-( 11) 5 4 5 10 1110 1111 11 1 1 1 1=1 —(丄丄)+(丄1)—(丄丄)+…一(丄 丄)3 2435 411 10 =1 —-丄=2】2 11 22 10、1 ___2 ___ 3_ 2002 2002 2002 5 67 8,9,10+ • + 200220022002 2002 2002 20024 20021998 1999 200020022002 2002 2001 +20022002 2002+…+ 1995 20021996+ 20021997 2002 【从第三个分数佥开始依次往后数，每8个分数为一组’到最后 为止，共有250组，一个分数哋 200223 20021 12 35) 1 13 1 2002 2002 11、(1 +1 15) x( 2每组计算结果都是0.所以，原式1 16)一(1+2（2【设 1 4- 2 12145，122 20 13 201 (1 1820【原式11112+2 丄+…2 1112 3 4 3)(1•+9 12原式X(1)—(6 63 12 3 44)(5 5 5 5)13、2 2001年是中国共产党建党 数。