数学三十六计搞定小升初续集之 16：勾股弦
作者：马到成功老师
勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一， 用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理 是余弦定理的一个特例。勾股定理约有 400 种证明方法，是数学定理中证明方法最多 的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组程 a² + b² = c² 的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为 a 和 b，斜边为 c，那 a²+b²=c² 。 据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达 400 多种了。下面我便向大家介绍 几种十分著名的证明方法。 【证法 1】赵爽“勾股圆方图”
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Hale Waihona Puke 【精典名题 4】如图 3-4，墙边放着一块木板，一只猫淘气，爬了上 去，使得木板向下滑动了一段距离，现在已知图 中的三段长度（单位：厘米），你能求出这块木 板的长度吗？
【思路点拨】如下图，可设ＢＣ段高度为Ｘ，则直角三角形ＡＢＣ 与ＤＢＥ中围绕木板长度，根据勾股定理可列式，
AC 2 = DE 2
= x 2 + (130 + 70) 2 = 70 2 + (90 + x) 2 x 2 + 40000 = 4900 + 8100 +180 x + x 2 可解得ｘ
第一种方法：边长为 c 的正方形可以看作是由 4 个直角边分别为 a、b，斜边为 c 的直 角三角形围在外面形成的。 因为边长为的正方形面积加上 4 个直角三角形的面积等于 外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。 第二种方法：边长为 c 的正方形可以看作是由 4 个直角边分别为 a、b，斜边为 c 的 角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞” 。 因为边长为的正方形面积等于 4 个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所 以可以列出等式，化简得。 这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和 对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。 【证法 2】课本的证明
勾股定理各种有意思的证明，展现了数学之美，吸引一代又一 代数学天才对数学学科产生浓厚的兴趣，并为之而努力作出巨大贡 献。能经常在小学竞赛题中发现巧妙使用勾股定理解决的图形题， 我找些例子给大家试试。
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【精典名题 1】 如上右图 ADEF 为正方形， ABC 为等腰直角三角形，D 在 BC 边上，三 角形 ABC 的面积等于 98，BD：DC＝2：5。 求正方形 ADEF 的面积。 【思路点拨】为了给等腰直角三 角形与正方形之间建立重要联 系，可连接 A 与 BC 中点 G，如下 图：可知 AG 是等腰直角三角形 BC 边上的高，直角三角形 ADG 正 好给正方形 ADEF 与等腰直角三 角形 ABC 建立联系， 用勾股定理： AD2 = DG 2 + AG2 ， 可设 BD=2a，DC＝5a,则 BG=AG=（2a＋5a）÷２＝3.5a， DG=5a-3.5a=1.5a。 AD2 = (1.5a) 2 + (3.5a) 2 = 14.5a 2 ， 三角形 ABC 的面积： AG2 = (3.5a) 2 = 12.25a 2 = 98
如图，在 RtΔABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CD⊥AB，垂足是 D. 在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. ∴AD∶AC = AC ∶AB，即 AC²=AD·AB. 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB， 从而有 BC²=DB·AB ∴ AC²+BC²=(AD+DB)·AB=AB²，即 a²+b²=c²
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【证法 3】1876 年美国总统 Garfield 证明
以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于 2/1ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状， 使 A、 E、 B 三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 1/2c². 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 1/2(a+b)². ∴ 1/2(a+b)²=2×1/2ab+1/2c². ∴ a²+b²=c². 【趣闻】：在 1876 年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散 步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着， 突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争 论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小 孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于 是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直 角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是 5 呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为 5 和 7，那么这个直角三角形的斜 边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于 5 的平方加 上 7 的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语 塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小 男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出 了简洁的证明方法。1876 年 4 月 1 日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他 对勾股定理的这一证法。1881 年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪 念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
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【证法 4】欧几里得证明
做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在 一条直线上，连结 BF、CD. 过 C 作 CL⊥DE，交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. ∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB 的面积等于 1/2a²，ΔGAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形 ADLM 的面积 =a².同理可证，矩形 MLEB 的面积 =b². ∵ 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 ∴ c²=a²+b² ，即 a²+b²=c². 【证法 5】利用相似三角形性质证明
a2 = 8 AD2 = 14.5a 2 = 14.5 ×8 = 116
轻松可得正方形的面积是１１６。
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【精典名题 2】如图所示，直线上并排放置着两 个紧挨着的圆，它们的面积都等于 1680 平方厘 米。阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分。如 果要在阴影部分内放入一个尽可能大的圆，则这个圆的面积等于 __________平方厘米。 【思路点拨】如下图，在阴影部分放入一个尽可能大的圆，半径用 ｒ表示，大圆的半径用Ｒ表示，连接两圆圆心与大圆交点可形成一 个直角三角形ＡＢＣ，边长如图所示，可用勾股定理获得：
＝150
AC 2 = 200 2 +150 2 = 62500 = 250 2
所以木板长度 250cm。
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【精典名题 5】在等腰梯形 ABCD 中，AB 平行于 CD，AB=６，ＣＤ＝ 14，角 AEC 是直角，CE= CB，则 AE 等于多少?
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【思路点拨】
连接ＡＣ，作等腰梯形的高 AF,BG，AF＝ BG。则： GC=(14-6)÷2=4。 下面运用勾股定理列式推算：
（R + r ) 2 = R 2 + （R－r ) 2
展开整理可得：
R 2 + 2 Rr + r 2 = R 2 + R 2－2 Rr + r 2 4 Rr = R 2 R = 4r
大圆半径是小圆半径的４倍，面积就是１６倍。 小圆面积＝1680÷16=105
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【精典名题 3】In the diagram ,the four edges of a quadrangle have length 1, 5,5,and 7,and the two edges with length 5 are perpendicular .Four squares are built from the four edges .Then adjacent vertices of these squares are connected so that a big polygon is formed .Find the area of this big polygon . 如图，四个边长分别为 1，5，5，7 的正方形组成一个四边形， 在这个四边形中两条长度为 5 的边相互垂直，求整个图形的面积。 【思路点拨】两条长度为 5 的边相互 垂直，则在直角三角形 ABC 中根据勾 股定理可得： AC 2 = 52 + 52 = 50 ，在三角 形 ADC 中，由于： 7 2 +12 = 50 = AC 2 ，可 推知三角形 ADC 是直角三角形，则面 积可得： 7 ×1÷ 2 = 3.5 ，直角三角形 ABC 的面积易知： 5× 5÷ 2 = 12.5 。 三角形 IBJ 绕 B 点顺时针旋转 90 度与三角形 ABC 等底等高， 三角形 EDF 绕 D 点顺时针旋转 90 度与三角形 ADC 等底等高， 三角形 GAH 绕 A 点顺时针旋转 90 度与三角形 ABD 等底等高， 三角形 DCB 绕 C 点顺时针旋转 90 度与三角形 KLC 等底等高， 以上四对三角形面积都两两相等，由于中间四边形 ABCD 计算两 次：图形总面积为：(3.5+12.5)×（4-1)+50+50=148。