遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B
两地间的距离是多少千米？
4. 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，
他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆
的周长。
5
5. *一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点标上质数P，第二次将两个半
即每次标完数后，圆周上的所有数字之和是原来的 2 倍。第 8 次标完后的总和是 6×28-1=6×27=768。
2， ((1 3) 36 4) 2 1460 。 3，画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个 A、B 两地间距离，第二次相遇意味着两车 共行了三个 A、B 两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个 A、B 两地间的距离时，甲 车行了 95 千米，当它们共行三个 A、B 两地间的距离时，甲车就行了 3 个 95 千米， 即 95×3=285（千米），而这 285 千米比一个 A、B 两地间的距离多 25 千米，可得： 95×3-25=285-25=260(千米)．
升学模拟 19
1. 在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上2和4。 第二次把两段半圆弧分别二等分，在分点标上相邻两分点两数的平均数3（见右 图）。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分别标上相邻两分点两数的平 均数。如此下去，当第8次标完后，圆周上所有标出的数的总和是多少？
23
2
1
【精典名题 2】今要在一条线段上标出一些数，第一次在两个端点旁分别标上 1 和 1 ，第
23 二次把线段二等分，在中点旁标上两边所标两数的和 5 = 1 + 1 ，第三次把 2 段线段各二等分，
6 23
并在 2 个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和11 = 1 + 5 ,1 1 = 1 + 5 ，即每次都在已写上的两 3 266 36
圆周分别分成两个相等的 1 圆周，在新产生的分点标上相邻两数和的 1 ，第三次
4
2
将四个 1 圆周分别分成两个相等的 1 圆周，在新产生的分点标上相邻两数和的
4
8
1 ；……；如此进行了N次，最后，圆周上所有数的和为11130，求N，和P的值各 3
为多少？参ຫໍສະໝຸດ 答案：1，第一次标完数后，以后每次标上的数字之和都等于上次圆周上的所有数字之和，
《数学三十六计搞定小升初》一书自出版发行以来，虽有些不足之处， 但仍受到广大高年级学生，学生家长，奥数教师同行的喜爱，我希望下一 阶段把我还有的一些实际教学中的想法与做法记录下来汇编成三十六计 续集。每一篇文章都希望得到大家的指导，以期博采众长，惠及学生。
一致。为了统一这两种变化，我们把它先转化成在圆圈上标数的例题如下：
在一个圆上的直径两端有数 3 与 7，第一次将 3 与 7 之间的两段弧线二等分，在两个分点上
写上 10 ，第二次分别在 3 与 10 ，10 与 7 之间的二等分点上写上 3 +10 ,10 + 7 ，第三次分别在 22
3 与 13 ， 13 与 10 ， 10 与 17 ，
代入计算可得 911 2 。为什么是 3 倍减一的关系呢？ 这是因为这种标数方法每一次除了两端的数 3
算两次外，其余每数都要算 3 次，因此乘 3 后得减去 1 个 A+B。
寻求最佳解法：可借助上题的结论。再取一条本题所说的线段同样标数，这样把两条线段两端对
接围成一个圆圈，这个圆圈的和比上题多出了一个 1 和 1 ，反过来，给上题的圆圈在 1 和 1 旁边
6
4, 把圆周直径拉直了，半圈就像题 2 中的全程。第一次相遇，两人合起来走了半个 周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈．从出发开始算，两个人合起来走了一 周半．因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程 的 3 倍，那么从 A 到 D 的距离，应该是从 A 到 C 距离的 3 倍，即 A 到 D 是 80 3 240 (米)． 240 60 180 (米)．180 2 360 (米)． 5*，3 与 104。
(3+7)×(1+1×2)(1+1×2)(1+1×2)(1+1×2)(1+1×2)(1+1×2)(1+1×2)(1+1×2)(1+1×2)(1+1×2)(1+ 1 ×2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9
10
= (3+7)×3× 4 ×5 × 6 × 7 ×8 × 9 ×10×11×12
上
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
模仿第二题的最佳解法试试：((2 3) 36 5) 2 1825 ，也就是先把本题当成类似题 1 的圆圈
上标数后再多加上 2 与 3，然后切成两条线，其中的一条是本题所求。这一思路可能对其它类似 题目有所帮助。
在实际教学中发现很多学生拿不准次数，总要算成数列中的前一个或后一个，这里要提醒大 家对原始状态与第一次一定要区分开。
在左右两边各算了本身的的三分之一； 多 2 个三分之一；
……
所以每次都是原总数基础上的（1+ 1 2) 倍，得到上式。 n
化直为曲统一后还得化曲为直。那该怎么处理呢？
有了上面的结果我们再在 3 与 7 的旁边添加一个 3 与 7，然后从两
个 3 与 7 之间用通过直径旁边的一刀将圆一分为二，则其中的一部分
5 = 1+1 ，第三次把 4 段圆弧二等分，并在 4 个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和 6 23
11 = 1 + 5 ,1 1 = 1 + 5 如此继续下去，当 3 266 36
第八次标完数以后，圆周上所有已标数的 总和是多少？ （北京迎春杯赛题）
【思路点拨】一步步细算易掉入陷
阱，为发现规律，可先把 1 和 1 改作 A
2. 在1，3两数之间，第一次写上4（4=1+3），第二次在1，4和4，3之间分别写
上5（7=1+4），7（7=4+3），即每次都在已写上的两个相邻数之间，写上这两个
相邻数之和，这样的过程共重复6次，问所有数之和是
。
1…5…4…7…3
3. 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相
23
写数的次数 1
2
3
4
5
A+ B 的个数 1
3
9
27
81
与 B，整个探索过程不把每一个复杂的和算出，只是数出 A 与 B 的总个数。这样第一次为 A 与 B
和的一倍，第二次后为 3A+ 3B，第三次标完后为 9A+9B，………
这样能较容易地发现规律：每次新的结果总是原来的 3 倍。
正是因为增加的每个数都是原来相邻两个数之和,所以每次增加数的总和恰好是原来所有数
总和的 2 倍,也就是说每次标完数后圆周上所有数的总和是前一步标完数后圆周上所有数的总和的
3 倍,例如：二分之一它在左边算了一次，在右边算了一次，本身一次，所以二分之一在下次标完
后已成为原为的 3 倍了，其它数也是如此。于是,第八次标完数后圆周上所有数的总和
是: (1 + 1)´37 = 1822 1 .。
=660
上式的理解:原始状态为（3+7）； 第一次后原有总数不变，在此基础上增加了每个数在左右两边各算了本身的一分之一；多 2
4
个一分之一，
第二次变化后是上次变化后的总数不变，在此基础上增加了每个数在左右两边各算了本身的
的二分之一； 多 2 个二分之一；
第三次后是二次变化所得的总数不变，在此基础上增加了每个数
分别写上 7（7=2+5），8（8=5+3），即每次都在已写上的两个相邻数之间，写上这两个相邻数
之和，这样的过程共重复 6 次，问所有数之和是
。（2003 圆明杯试题）
2…7…5…8…3
【思路点拨】用找规律的办法，列出数据，
写数的次数 原始
1
2
3
4
每次的总和 5
10
25
70
205
有上两题的经验，这里也是 3 倍减 1 的递推关系。可求得 1825。
（1） 当 K+1=10 时， S10 =7× 310 =7×3×81×81=137781
（2） S20 = 1 S22 9
答：（1）操作了 10 次后，圆周上的所有数的和是 137781，（2）20 次操作后圆周上的所有数的
和与 22 次操作后圆周上的所有数的和的比是 1 。 9
【精典名题 5】在数 3 与 7 之间第一次写上 10 ，第二次分别在 3 与 10 ，10 与 7 之间写上
数学三十六计搞定小升初续集之 19：化曲为直
作者：马到成功老师
化直为曲，化曲为直是一类很有意思的解题策略，通过对
同一类题型的相互转化，用熟悉的简易的方法来解决新问题，达
到增强学生分析，比较，迁移的本领。
【精典名题 1】 今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分
别标上 1 和1 ，第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和 23
2
2
2
17 与 7 之 间 写 上 2
1 3 + 13 , 1 13 +10 , 1 10 + 17 , 1 17 + 7 , ，第 N 次在每相邻的两数之间写上这两数
3 2 32
3
2 32
1
和的 倍（N=1，2，3，……）。求第 10 次写完数后该行所有数之和。（如下所示）