数学三十六计继集之4：直接间接
作者：马到成功老师
在用方程与方程组解决各类应用题的时候，对未知数的设定可根据题目的实际情况，直接设定所求，或者间接设所求，都可以把题目的难度降低，或更清晰，更容易理解。
【精典名题1】奥林匹克业余体校篮球班的同学进行一次投篮测试，每人投10次，按每人的进球数统计，得到下表（中间部分的数据已被擦去）：
进球数012 (8910)
人数754 (341)
已知至少投进3个球的人平均每人投进6个球，进球少于8个的人平均每人投进3个球。
篮球班参加测试的同学有多少人？
【思路点拨】直接设有x人参加测验。
由上表看出，至少投进3个球的有（x-7-5-4）人，投进不到8个球的有（x-3-4-1）人。
投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数，
0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）
=5+8+6×（x-16）
=6x-83，
也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数，
3×（x-3-4-1）+8×3+9×4+10×1，=3×（x-8）+24+36+10=3x+46。
由此可得方程6x-83=3x+46，3x=129，
x=43（人）。
【精典名题2】一批树苗,按下列原则分给各班栽种;第一班取走100棵又取走剩下树苗的10
1
,第二班取走200棵又取走剩下树
苗的
10
1
.第三班取走300棵又取走剩下树苗的10
1
,照此类推,第i
班取走树苗100 i 棵又取走剩下树苗的
10
1
.直到取完为止.最后各班所得树苗都相等.试问这批树苗有多少棵?有几个班?每个班取走树苗多少棵?
【思路点拨】直接设，列出的方程稍复杂。
设这批树苗有x 棵,则第一班取走树苗(100+
)10
100
-x 棵,第二班取走树苗
10
)10
10
-100(-200-200x x +
+
棵.依题意,得
10
)10100
-100(-200-20010
100
-100x x x +
+=+
,解得
x =8100,于是第一班取走
的棵数,也就是每个班取走的棵数为90010
100
-8100100=+,参加栽树的班数为
9900
8100
=,所以这批树苗有8100棵,共有9个班,每个班取走的树苗都是900棵。
如果间接设树苗有）（10010+x 棵，列方程要比上面简洁的多。
可知第一班取走树苗）（x +100棵，剩下x 9棵，则第二班取走树
苗：
20010200-9+÷）（x 棵。
依题意得：20010200-9(100+÷=+）
x x ，解得x =800，于是第一班取走800+100=900，总数为：810010080010=+×棵，共有9个班。
【精典名题3】幼儿园有3个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人。
老师给小孩分枣。
甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣。
结果甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣。
问3个班总共分了多少枣？
【思路点拨】直接设共分多少枣列方程有困难，可以间接分两组来设定数。
解：设甲班有X 人，每人分Y 个，则乙班有（X－4）人，每人分（Y+3）个，丙班有（X－8），每人分（Y+8）个。
根据题意列方程组：
XY－3＝（X－4）*（Y+3），
XY－5＝（X－8）*（Y+8），
解得：X＝19，Y＝12。
枣的总数＝19*12+15*15+11*20＝673
答：3个班总共分了673个枣。
【精典名题4】整片牧场上的草长得一样密，一样地快。
已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天。
如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？
【思路点拨】本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若这三个量用参数a，b，c表示，再设所求牛的头数为x，则可列出三个方程。
若能消去a，b，c，便可解决问题。
解：设整片牧场的原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛一天吃草量为c，x头牛在96天内能把牧场上的草吃完，则有
②-①，得
36b=120C。
④
③-②，得
96xc=1800c＋36b。
⑤
将④代入⑤，得
96xc＝1800c+120c。
解得x=20。
答：有20头牛。
【精典名题5】小张、小王和小李三人进行自行车比赛.小张比小王早12分钟到达终点，小王比小李早3分钟到达终点.他们算了一下，小张的速度比小王每小时快5千米，小王的速度比小李每小时要快1千米.他们三人进行自行车比赛的路程有多长？【思路点拨】无法直接求路程长，先求出其中一人的速度和所用时间.
设小张所用时间为x小时，速度为y千米/小时.小王比小张迟12分钟到
由三人比赛路程相同，利用这个等量关系列出方程组：
化简得方程组
解得x＝1，y=30.因此，比赛的路程是30×1＝30（千米）.答：比赛的路程长30千米.
升学模拟4
1，小明每天定时从家到学校，若小明每分钟走30米，则迟到3分钟；若小明每分钟走40米，则早到5分钟.求小明家到学校的距离.
2，有甲、乙、丙、丁4个，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17。
这4人个中最大年龄与最小年龄的差是多少？
3，某车间每个工人看管的布机是相同的.通过一次技术革新，每人可以多看管1台布机，就节省了15名工人.又经过一次技术革新，每人又可以多看管2台布机.又节省了15名工人.问这个车间有多少台布机？
4，有一篮子鸡蛋分给若干人，第一人拿走1个鸡蛋和余下的，
第二人拿走2个和余下的，第三个人拿走3个鸡蛋和余下的……，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同。
问：共有多少鸡蛋？分给几个人？
5*甲、乙两队学生参加郊区夏令营，但只有一辆车接送，坐不下.甲队学生坐车从学校出发的同时，乙队学生开始步行.车到途中某处让甲队学生下车步行，车立即返回接乙班学生并直开到夏令营，两班学生正好同时到达.已知学生步行速度为4千米/小时，汽车载学生时速度为40千米/小时，空车时速度为50千米/小时，
问甲班学生应步行全程的几分之几？
参考答案：
1，直接设距离。
解：设小明家到学校的距离为S米，则
去分母，方程两端同乘以120：
4S-360=3S＋600
S=960.
答：小明家离学校960米.
2，解：解：设4人年龄分别为A，B，C，D。
且D
A<
<根
<
C
B
据题意：
（A+B+C）/3+D＝29，
（A+B+D）/3+C＝23，
（A+C+D）/3+B＝21，
（B+C+D）/3+A＝17
4式相加得：2*（A+B+C+D）＝90，
所以A+B+C+D＝45
由（A+B+C）/3+D＝29，两边同乘以3可得：（A+B+C+D）+2D＝87，解得最大者D＝21
同理，由（B+C+D）/3+A＝17，解得最小者A＝3
21-3＝18
其实只要列两个式子，第一个与第四个，将一式减四式得：
３
２
－D 32两边同乘以2
3
，18
=A D －答：最大年龄与最小年龄的差是18岁。
3，设原有x 名工人，每人看管y 台布机.
第一次革新后，有（x-15）名工人，每人看管（y+1）台布机；第二次革新后，有（x-30）名工人，每人看管（y+3）台布机.
解出：x=60，y=3.，如一批人买小船，有人退出算船价的题也用此类解法。
4，
直接设总量试试。
所以分给了8人。
5，解：如图：
设全程为x千米，甲、乙两队分别步行a、b千米.要使两队学生同时到达夏令营，只有他们两队步行的路程相等才行，故a=b.
等量关系是：乙队走a千米路程的时间正好等于汽车送完甲队又原路返回时遇到乙队的时间，即：
去分母，两端同乘200，得
5x-5a+4x-8a=50a
9x＝63a
《数学三十六计搞定小升初》一书自出版发行以来，虽有些不足之处，但仍受到广大高年级学生，奥数教师同行，学生家长的喜爱，我希望下一阶段把我还有的一些实际教学中的想法记录下来汇编成三十六计继集。
每一篇文章都希望得到大家的指导，以期博采众长，惠及学生。
在书最终成稿前，图片，数据，以及选编例题的难度与次序都要再加工，请多提宝贵意见。
--马到成功老师。