例4同时掷两颗质地均匀的骰子，观察 朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现 的最大点数X的概率分布，并求X大于2小 于5的概率P（2<X<5）。
X的 值
出现的点
情 况 数
1
（1，1）
1
2
（2，2）（2，1）（1，2）
3
3
(3,3)(3,2)(3,1)(2,3)(1,3)
5
4
(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)(3,4)(2,4)(1,4)
6
1
3
3
1
P
20
20
10
2
例6：已知随机变量 的分布列如下：
－2 －1 0 1
23
P
1
1
1
1
1
1
12
4
3
12
6
12
分别求出随机变量⑴ 1

1 2
；⑵

2


2
的分布列．
解：
⑴由
1

1 2

可得 1 的取值为－1、
1 2
、0、 1 2
、1、 3 2
且相应取值的概率没有变化
∴ 1 的分布列为：
解:根据条件可知,随机变量Y的可能值 有4种,它的取值集合是{1,2,3,4}
引入了随机变量后,随 机事件就可以用随机 变量来表示了
例1(1)掷一枚质量均匀的硬币一次，用X表示 掷得正面向上的次数，则随机变量X的可能取 值有哪些？
例1(1)中，随机事件“掷一枚硬币，正 面向上”可以用随机变量表示为{X=1}， 随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可 以用随机变量表示为{X=0}。
⑴每次取出的产品都不放回此批产品中； ⑵每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；
解：⑵ 的所有取值为：1、2、3、···，n，···．
“ 1” 表示只取一次就取到合格品
∴ P( 1) C110 10
C113 13
“ 2” 表示第一次取到次品，第二次取到合格品 ∴P( 2) 310
pⅰ≥0
p1+p2+…+pn=1
例2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任 取一只球，用X表示“取到的白球个数”， 求随机变量X的概率分布
注：我们把这一类分布称为0-1分布或两点分布， 并记为X~0-1分布或X~两点分布。“~”表示服从。
数学运用
例3掷一颗质地均匀的骰子,观察 出现的点数,求出现的点数Y的概率分布 并求Y大于2小于5的概率P（2<Y<5）。
1313
“ 3” 表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品
∴
P(
3)

3 310 131313


3 13
2


10 13
∴ 随机变量 的分布列为：
同理可得 P(

n)

3 13
n1


10 13

1
ห้องสมุดไป่ตู้
2
3
··· n ···
P
10 13
3 10 13 13
4、5、6，现从中随机取出3个小球，以 表示取出 球的最大号码，求 的分 布列．
解：
的所有取值为：3、4、5、6．
“
3”
表示其中一个球号码等于 ∴
“3”，另两个都比“3”小
P(

3)

C11C22 C63

1 20
“
4” 表示其中一个球号码等于 “4”，另两个都比“4”小
∴ P( 4)
Y
1
2
3
4
P
1
1
2
1
5
5
5
5
一般地，假定随机变量X有n个不同的
取值，它们分别是x1,x2,…，xn，且
P(X=xi)=pi,i=1,2,3,…,n,①
则称①为随机变量X的概率分布列，简 称为X的分布列。
①可以用下表表示：
X
x1
x2
… xn
P
p1
p2 … pn
我们将这个表称为随机变量X的概率分布 表。它和①都叫做随机变量X的概率分布。
1
3 P(2
1)
P(
1)
P(
1)
1 1 4 12

1 3
P(2 4) P(2 9)
P( 2) P( P( 3) 1
12
2)
1 1
12 6

1 4
∴ 2 的分布列为：
2
0
1
4
9
1
1
1
1
P
3
3
4
12
例題講解
从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产 品被抽到的可能性相同，在下列两种情况下，分别求出直到取出合格品为止 时所需抽取的次数 的分布列．
“ 3” 表示第一、二次都取到次品，第三次取到合格品
A123 26
∴
P(
3)
A32C110 A133
5
143
∴ 随机变量 的分布列为：
同理可得
P(
4)
A33C110 A143
1
286

1
P
10 13
2
3
4
5
5
1
26
143
286
例題講解
从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设 各个产品被抽到的可能性相同，在下列两种情况下，分别求出直到取 出合格品为止时所需抽取的次数 的分布列．
7
5
(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)(4,5)(3,5)(2,5)(1,5)
9
6
(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2) (6,1)(5,6)(4,6)(3,6)(2,6)(1,6)
11
思考：求两颗骰子出现最小点数 Y的概率分布？
例一5：袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、
1 －1
1 2
0
1
1
2
3 2
P
1
1
1
1
1
1
12
4
3
12
6
12
例6： 已知随机变量 的分布列如下：
－2 －1 0 1
23
P
1
1
1
1
1
1
12
4
3
12
6
12
解：分⑵别由求2出随 2机可变得 量2 ⑴的取1值为120、；1、⑵4、92 2 的分布列．
P(2 0) P( 0)
3 2 10 13 13
···

3 13
n1

10 13
···
C11C32 C63

3 20
“ 5” 表示其中一个球号码等于 “5”，另两个都比“5”小
∴ P( 5)
C11C42 3
C63
10
“ 6”
表示其中一个球号码等于 “3”，另两个都比“3”小
∴
P( 6)
C11C52 C63

1 2
∴ 随机变量 的分布列为：

3
4
5
⑴每次取出的产品都不放回此批产品中；
⑵每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；
解：⑴ 的所有取值为：1、2、3、4．
“ 1” 表示只取一次就取到合格品
∴
P(
1)

C110 C113

10 13
“ 2” 表示第一次取到次品，第二次取到合格品 ∴P( 2) C31C110 5
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.1随机变量及其概率分布
问题情境
1、在一块地里种下10棵树苗，成活的棵数X 是0,1，2，…，10中的某个数；
2、抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1，2，3， 4，5，6中的某个数；
3、新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男， 也可能是女。如果将男婴用0表示，将女婴 用1表示，那么抽查的结果Z是0或1中的某个 数；
例1(1)掷一枚质量均匀的硬币一次，用X表示 掷得正面向上的次数，则随机变量X的可能取 值有哪些？
解:抛掷硬币是随机试验,结果有两种可能,一 种是正面向上,另一种是反面向上,所以变量X 的取值可能是1(正面向上),也可能是0(反面 向上),故随机变量X的取值构成集合{0,1}
(2)一实验箱中装有标号为1，2，3，3， 4的五只白鼠，从中任取一只，记取到 的白鼠的标号为Y,则随机变量Y的可能 取值有哪些？
●上述现象有哪些共同特点？
建构数学
一般地，如果随机试验的结果，可以 用一个变量来表示，那么这样的变量 叫做随机变量。
随机变量就是建立了一个从试验结果的 集合到实数集合的映射。
通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊 字母ξ,η,ζ）;用小写拉丁字x,y,z(加上适当 下标）等表示随机变量取的可能值。
这样，我们就可以用 随机事件发生的概率 来表示随机变量取值 的概率了
例1(1)中，{X=1}的概率可以表示为P
（{X=1}）=P{掷一枚硬币，正面向上}=， 其中P（1{X=1}）常简记为P（X=1），同 理P（X=20）=。这一结果可用下12表来描 述
X
0
1
P
1
1
2
2
在例1(2)中，随机变量Y所表示的随机事 件发生的概率也可用下表来描述
(2)一实验箱中装有标号为1，2，3，3， 4的五只白鼠，从中任取一只，记取到 的白鼠的标号为Y,则随机变量Y的可能 取值有哪些？