1．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：
(1)射线y＝3x(x≤0)；
(2)圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．
【解】 (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝3x，
得ρsin θ＝3ρcos θ，

∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.

又x≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，
∴射线y＝3x(x≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)．
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＋2ax＝0，得
ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，
即ρ(ρ＋2acos θ)＝0，
∴ρ＝－2acos θ，
∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为
ρ＝－2acos θ.
2．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程：

(1)ρ＝5cos θ；(2)ρ2＝tan θ.
【解】 (1)由ρcos θ＝5，得x＝5.
(2)x2＋y2＝yx(x≠0)，即x(x2＋y2)－y＝0(x≠0)．又在极坐标方程ρ2＝tan θ中，极点(0,0)也满足方程，
即曲线过原点，所以直角坐标方程是x(x2＋y2)－y＝0.
3．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，曲线C1，C2相交于
A，B两点．
(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；
(2)求弦AB的长度．

【解】 (1)曲线C2：θ＝π4(ρ∈R)表示直线y＝x；
曲线C1：ρ＝6cos θ化为直角坐标方程，即x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.
(2)因为圆心C1(3,0)到直线的距离d＝322，r＝3，所以弦长AB＝32.
4．求点A(2，π3)到直线l：ρsin(θ－π6)＝－2的距离．
【解】 A(2，π3)的直角坐标为(1，3)，
l：ρsin(θ－π6)＝－2，ρ(32sin θ－12cos θ)＝－2.
即： x－3y－4＝0.
故A(1，3)到l：x－3y－4＝0的距离为|1－3－4|12＋32＝3.

5．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos




θ－
π

3

＝1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

【解】 (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1，
即x＋3y＝2，
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．

当θ＝π2时，ρ＝233，所以N(233，π2)．
(2)∵M的直角坐标为(2,0)，N的直角坐标为(0，233)．
∴P的直角坐标为(1，33)．P的极坐标为(233，π6)．
所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．
6．在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于Q点，
求Q点的轨迹方程．
【解】 以圆心O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系，设Q(ρ，θ)，P(1,2θ)．
因为S△OAQ＋S△OQP＝S△OAP.

即12·3·ρ·sin θ＋12·1·ρ·sin θ

＝12·3·1·sin 2θ.
整理得：ρ＝32cos θ.
7．(2018·南京质检)在极坐标系中，圆C：ρ＝10cos θ和直线l：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交
于A、B两点，求线段AB的长．
【解】 分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C：x2＋y2＝10x，即(x－5)2＋y2＝25，圆
心C(5,0)；

直线l：3x－4y－30＝0，因为圆心C到直线l的距离d＝|15－0－30|5＝3，所以AB＝225－d2＝8.
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8．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，试求PQ的最
大值．
【解】 ∵ρ＝12sin θ，
∴ρ2＝12ρsin θ，
∴x2＋y2－12y＝0，
即x2＋(y－6)2＝36.

又∵ρ＝12cos(θ－π6)，

∴ρ2＝12ρ(cos θcosπ6＋sin θsinπ6)，
∴x2＋y2－63x－6y＝0，
∴(x－33)2＋(y－3)2＝36.
∴PQ的最大值为6＋6＋32＋32＝18.