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2019-2020学年江苏省扬州中学高一下学期5月月考数学试卷 (解析版)

2019-2020学年江苏省扬州中学高一第二学期5月月考数学试卷一、选择题(共12小题).1.直线x+y+2=0的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°2.在△ABC中,a=4,b=4,A=30°,则B=()A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150°3.若方程x2+y2﹣2x﹣m=0表示圆,则m的范围是()A.(﹣∞,﹣1)B.[﹣1,+∞)C.(﹣1,+∞)D.(﹣∞,﹣1] 4.在△ABC中,若a cos B=b cos A,则△ABC的形状一定是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形5.已知x>1,则x+的最小值为()A.3B.4C.5D.66.两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是()A.相离B.相交C.内切D.外切7.过点(﹣1,﹣3)且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为()A.2x+y﹣1=0B.x﹣2y﹣5=0C.x﹣2y+7=0D.2x+y+5=0 8.已知角α+的终边与单位圆x2+y2=1交于P(x0,),则sin2α等于()A.B.C.D.9.设P点为圆C:(x﹣2)2+y2=5上任一点,动点Q(2a,a+2),则PQ长度的最小值为()A.B.C.D.10.设点A(﹣2,3),B(3,1),若直线ax+y+2=0与线段AB有交点,则a的取值范围是()A.B.C.D.11.如图,AD是某防汛抗洪大坝的坡面,大坝上有一高为20米的监测塔BD,若某科研小组在坝底A点测得∠BAD=15°,沿着坡面前进40米到达E点,测得∠BED=45°,则大坝的坡角(∠DAC)的余弦值为()A.B.C.D.12.Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=4,△ABD中,∠ADB=120°,则CD 的取值范围()A.[2+2]B.(4,2+2]C.[2]D.[2]二、填空题(共4小题).13.求过点(2,3)且在x轴和y轴截距相等的直线的方程.14.已知直线y=k(x+4)与曲线有两个不同的交点,则k的取值范围是.15.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:x+2y=0与圆C:(x﹣a)2+(y﹣b)2=5相切,且圆心C在直线l的上方,则ab最大值为.16.已知在△ABC中,AB=AC=,△ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2=3PA2=3,则△ABC面积的最大值为.三、解答题:本大题共6小题,计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a﹣2)y﹣1=0.(Ⅰ)若l1⊥l2,求实数a的值;(Ⅱ)当l1∥l2时,求直线l1与l2之间的距离.18.已知圆C经过抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点.(1)求圆C的方程;(2)设直线2x﹣y+2=0与圆C交于A,B两点,求|AB|.19.已知a,b,c分别为非等腰△ABC内角A,B,C的对边,.(1)证明:C=2B;(2)若b=3,,求△ABC的面积.20.如图,有一直径为8米的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种水果,已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍,但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要,该光源照射范围是∠ECF=,点E,F的直径AB上,且∠ABC=.(1)若CE=,求AE的长;(2)设∠ACE=α,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.21.已知圆C和y轴相切于点T(0,2),与x轴的正半轴交于M、N两点(M在N的左侧),且MN=3;(1)求圆C的方程;(2)过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=4相交于点A、B,连接AN和BN,记AN 和BN的斜率为k1,k2,求证:k1+k2为定值.22.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x﹣y+4=0和圆O:x2+y2=4,P是直线l上一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为M,N.(1)若PM⊥PN,求点P坐标;(2)若圆O上存在点A,B,使得∠APB=60°,求点P的横坐标的取值范围;(3)设线段MN的中点为Q,l与x轴的交点为T,求线段TQ长的最大值.参考答案一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,计60分.每小题所给的A.B.C.D.四个结论中,只有一个是正确的,1.直线x+y+2=0的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【分析】由直线的方程可得直线的斜率,由倾斜角和斜率的关系可得答案.解:直线x+y+2=0可化为y=﹣x﹣,∴直线的斜率为﹣,∴α=150°故选:D.2.在△ABC中,a=4,b=4,A=30°,则B=()A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150°【分析】由A的度数求出sin A的值,再由a与b的值,利用正弦定理求出sin B的值,即可求出B的度数.解:∵a=4,b=4,A=30°,∴由正弦定理=得:sin B===,∴B>A,故选:B.3.若方程x2+y2﹣2x﹣m=0表示圆,则m的范围是()A.(﹣∞,﹣1)B.[﹣1,+∞)C.(﹣1,+∞)D.(﹣∞,﹣1]【分析】根据题意,由二元二次方程表示圆的条件可得(﹣2)2﹣4×(﹣m)>0,变形解可得m的取值范围,即可得答案.解:根据题意,若方程x2+y2﹣2x﹣m=0表示圆,则有(﹣2)2﹣4×(﹣m)>6,即4+4m>0,解可得m>﹣1,即m的取值范围为(﹣3,+∞),故选:C.4.在△ABC中,若a cos B=b cos A,则△ABC的形状一定是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【分析】应用正弦定理和已知条件可得,进而得到sin(A﹣B)=0,故有A﹣B=0,得到△ABC为等腰三角形.解:∵在△ABC中,a cos B=b cos A,∴,又由正弦定理可得,∴,sin A cos B﹣cos A sin B=0,sin(A﹣B)=0.故选:D.5.已知x>1,则x+的最小值为()A.3B.4C.5D.6【分析】利用基本不等式即可得出.解:∵x>1,∴+8=5.当且仅当x=3时取等号.故选:C.6.两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是()A.相离B.相交C.内切D.外切【分析】分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r,然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d,比较d与R﹣r及d与R+r的大小,即可得到两圆的位置关系.解:把x2+y2﹣8x+6y+9=8化为(x﹣4)2+(y+3)2=16,又x2+y2=9,所以两圆心的坐标分别为:(8,﹣3)和(0,0),两半径分别为R=4和r=3,因为4﹣2<5<4+3即R﹣r<d<R+r,所以两圆的位置关系是相交.故选:B.7.过点(﹣1,﹣3)且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为()A.2x+y﹣1=0B.x﹣2y﹣5=0C.x﹣2y+7=0D.2x+y+5=0【分析】两直线垂直斜率乘积为﹣1,再根据已知条件从选项判断答案.解:设直线l为x﹣2y+3=0,求直线m.因为两直线垂直,斜率乘积为﹣1,故与直线l 垂直的斜率为﹣2,排除B、C选项,又点(﹣1,﹣3)在直线m上,所以答案为D选项.故选:D.8.已知角α+的终边与单位圆x2+y2=1交于P(x0,),则sin2α等于()A.B.C.D.【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义,诱导公式、二倍角的余弦公式,求得sin2α的值.解:角α+的终边与单位圆x2+y2=1交于P(x4,),∴sin(α+)=,∴sin2α=﹣cos2(α+)=﹣1+8=﹣1+2×=﹣,故选:B.9.设P点为圆C:(x﹣2)2+y2=5上任一点,动点Q(2a,a+2),则PQ长度的最小值为()A.B.C.D.【分析】根据题意,根据点Q的坐标可得点Q在直线x﹣2y+4=0上,分析圆C的圆心和半径,求出圆心(2,0)到直线x﹣2y﹣6=0的距离,由直线与圆的位置关系分析可得答案.解:根据题意,设点Q(x,y),则x=2a,y=a+2,有x=2y﹣4,即x﹣2y+4=0恒成立,故点Q在直线x﹣2y+4=0上,圆心(2,0)到直线x﹣2y+7=0的距离d==,故选:A.10.设点A(﹣2,3),B(3,1),若直线ax+y+2=0与线段AB有交点,则a的取值范围是()A.B.C.D.【分析】由题意利用直线的斜率公式,求得实数a的取值范围.解:∵点A(﹣2,3),B(3,1),若直线ax+y+2=3与线段AB有交点,而直线AB经过定点M(0,﹣2),且它的斜率为﹣a,即﹣a≥=1,或﹣a≤=﹣,故选:D.11.如图,AD是某防汛抗洪大坝的坡面,大坝上有一高为20米的监测塔BD,若某科研小组在坝底A点测得∠BAD=15°,沿着坡面前进40米到达E点,测得∠BED=45°,则大坝的坡角(∠DAC)的余弦值为()A.B.C.D.【分析】在△ABE中由正弦定理求得BE的值,在△BED中由正弦定理求得sin∠BDE,再利用诱导公式求出cos∠DAC的值.解:因为∠BAD=15°,∠BED=45°,所以∠ABE=30°;在△ABE中,由正弦定理得,在△BED中,由正弦定理得,又∠ACD=90°,所以sin∠BDE=sin(∠DAC+90°),故选:A.12.Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=4,△ABD中,∠ADB=120°,则CD 的取值范围()A.[2+2]B.(4,2+2]C.[2]D.[2]【分析】以AB为底边作等腰三角形OAB,使得∠AOB=120°,以O为圆心,以OA 为半径作圆,则由圆的性质可知D的轨迹为劣弧,讨论O,C与AB的位置,根据圆的性质得出CD的最值即可.解:以AB为底边作等腰三角形OAB,使得∠AOB=120°,以O为圆心,以OA为半径作圆,则由圆的性质可知D的轨迹为劣弧(不含端点),∴OM=1,OA=2,即圆O的半径为2.∴OC==2,∴CD的最小值为2﹣8.此时OC==2,∴CD的最大值为2+2.故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,计20分.只要求写出最后结果,并将正确结果填写到答题卷相应位置.13.求过点(2,3)且在x轴和y轴截距相等的直线的方程x+y﹣5=0,或3x﹣2y=0.【分析】设直线在x轴为a,y轴截距为b,当a=b=0时,直线过点(2,3)和(0,0),其方程为,即3x﹣2y=0.当a=b≠0时,直线方程为,把点(2,3)代入,得,解得a=5,由此能求出直线方程.解:设直线在x轴为a,y轴截距为b,①当a=b=0时,直线过点(2,3)和(0,6),②当a=b≠0时,把点(2,3)代入,得,故答案为:x+y﹣5=0,或2x﹣2y=0.14.已知直线y=k(x+4)与曲线有两个不同的交点,则k的取值范围是[0,).【分析】结合图形,转化为半圆的切线的斜率可得.解:如图:y=k(x+4)是过定点P(﹣4,0),当直线与半圆切于A点时,k PA===,结合图象可得:直线y=k(x+4)与曲线有两个不同的交点时,k∈[8,),故答案为:[0,).15.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:x+2y=0与圆C:(x﹣a)2+(y﹣b)2=5相切,且圆心C在直线l的上方,则ab最大值为.【分析】根据直线和圆相切求出a,b的关系式,结合基本不等式进行求解即可.解:∵直线和圆相切,∴,∴a+6b>0,从而a+2b=5,故ab的最大值为,故答案为:16.已知在△ABC中,AB=AC=,△ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2=3PA2=3,则△ABC面积的最大值为.【分析】以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,建立直角坐标系,设B(﹣a,0),C(a,0),(a>0),则A(0,),设P(x,y),运用两点距离公式可得P在两圆上,由圆与圆的位置关系的等价条件,解不等式可得a的范围,再由三角形的面积公式,结合二次函数的最值求法,可得最大值.解:以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,建立直角坐标系,则A(0,),(x+a)2+y4+(x﹣a)2+y2=3[x7+(y﹣)2]=3,即有点P既在(0,0)为圆心,半径为的圆上,可得|1﹣|≤≤1+,则△ABC的面积为S=•2a•=,故答案为:.三、解答题:本大题共6小题,计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a﹣2)y﹣1=0.(Ⅰ)若l1⊥l2,求实数a的值;(Ⅱ)当l1∥l2时,求直线l1与l2之间的距离.【分析】(Ⅰ)由l1⊥l2,得a×1+3(a﹣2)=0,由此能求出实数a=.(Ⅱ)当l1∥l2时,,求出a=3,由此能求出直线l1与l2之间的距离.解:(Ⅰ)∵直线l1:ax+3y+1=2,l2:x+(a﹣2)y﹣1=8.若l1⊥l2,则a×1+3(a﹣6)=0,(Ⅱ)当l1∥l2时,,∴直线l1:3x+3y+2=0,l2:x+y﹣1=0,即l2:8x+3y﹣3=0∴直线l1与l2之间的距离:d==.18.已知圆C经过抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点.(1)求圆C的方程;(2)设直线2x﹣y+2=0与圆C交于A,B两点,求|AB|.【分析】(1)求出抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的交点坐标,确定圆心与半径,即可求圆C的方程;(2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,再由圆的半径,利用垂径定理及勾股定理即可求出|AB|的长.解:(1)抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的交点分别是(1,0),(3,7),(0,3)…所求圆的圆心是直线y=x与x=2的交点(2,2),圆的半径是,(2)圆心C到直线2x﹣y+2=0的距离d=…|AB|=2=…19.已知a,b,c分别为非等腰△ABC内角A,B,C的对边,.(1)证明:C=2B;(2)若b=3,,求△ABC的面积.【分析】(1)先利用余弦定理完成边化角,然后得到关于角的等式,分析其中2B与C 的关系即可证明;(2)根据(1)的结论计算出cos B的值,然后即可计算出a的值,再根据面积公式求解三角形面积即可.解:(1)证明:由余弦定理得a2+c2﹣b2=2ac cos B,∴,由2B=π﹣C得A=B,不符合条件,(2)由(3)及正弦定理得:,∴.20.如图,有一直径为8米的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种水果,已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍,但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要,该光源照射范围是∠ECF=,点E,F的直径AB上,且∠ABC=.(1)若CE=,求AE的长;(2)设∠ACE=α,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.【分析】(1)利用余弦定理,即可求AE的长;(2)设∠ACE=α,求出CF,CE,利用S△CEF=,计算面积,求出最大值,即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.解:(1)由题意,△ACE中,AC=4,∠A=,CE=,∴13=16+AE2﹣2×,(2)由题意,∠ACE=α∈[0,],∠AFC=π﹣∠A﹣∠ACF=﹣α.在△ACE中,由正弦定理得,∴CE=,S△CEF==,∴α=时,S△CEF取最大值为4,该空地产生最大经济价值.21.已知圆C和y轴相切于点T(0,2),与x轴的正半轴交于M、N两点(M在N的左侧),且MN=3;(1)求圆C的方程;(2)过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=4相交于点A、B,连接AN和BN,记AN 和BN的斜率为k1,k2,求证:k1+k2为定值.【分析】(1)由题意设圆心的坐标为(m,2)(m>0),利用垂径定理列式求得m,即可求得圆C的方程;(2)当直线AB的斜率为0时,知k AN=k BN=0,即k1+k2=0为定值.当直线AB的斜率不为0时,设直线AB:x=1+ty,联立圆O方程,得到韦达定理,求得k1+k2为定值.解:(1)∵圆C与y轴相切于点T(0,2),可设圆心的坐标为(m,2)(m>0),则圆C的半径为m,又|MN|=3,∴,解得m=,证明:(2)由(1)知M(5,0),N(4,0),当直线AB的斜率不为0时,设直线AB:x=1+ty,设A(x1,y5),B(x2,y2),则k1+k2=综上可知,k1+k4=0为定值.22.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x﹣y+4=0和圆O:x2+y2=4,P是直线l上一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为M,N.(1)若PM⊥PN,求点P坐标;(2)若圆O上存在点A,B,使得∠APB=60°,求点P的横坐标的取值范围;(3)设线段MN的中点为Q,l与x轴的交点为T,求线段TQ长的最大值.【分析】(1)若PM⊥PN,则四边形PMON为正方形,可得P到圆心的距离为,由P在直线x﹣y+4=0上,设P(x,x+4),利用|OP|=2,解得x,可得(2)设P(x,x+4),若圆O上存在点A,B,使得∠APB=60°,过P作圆的切线PC,PD,可得∠CPD≥600,在直角三角形△CPO中,根据300≤∠CPO<900,sin ∠CPO<1,进而得出点P的横坐标的取值范围.(3)设P(x0,x0+4),则以OP为直径的圆的方程为,化简与x2+y2=4联立,可得MN所在直线方程:x0x+(x0+4)y=4,与x2+y2=4联立,化简可得Q的坐标,可得Q点的轨迹为:+=,圆心C,半径R.由题可知T(﹣4,0),可得|TQ|≤|TC|+R.解:(1)若PM⊥PN,则四边形PMON为正方形,则P到圆心的距离为,故|OP|=,解得x=﹣2,(2)设P(x,x+4),若圆O上存在点A,B,使得∠APB=60°,在直角三角形△CPO中,∵304≤∠CPO<900,∴sin∠CPO<4,∴2<≤6,解得﹣4≤x≤0,(3)设P(x3,x0+4),则以OP为直径的圆的方程为,可得MN所在直线方程:x0x+(x0+7)y=4,∴Q的坐标为(,),由题可知T(﹣4,0),∴|TC|==.∴线段TQ长的最大值为3.。

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