上海市向明中学2021高一数学下学期5月月考试题（含解析）一. 填空题1.函数22cos 1y x =-的最小正周期是______． 【答案】π 【解析】 【分析】由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得()cos2f x x =，根据三角函数的周期性及其求法即可得解． 【详解】()()22cos 11cos21cos2f x x x x =-=+-=．∴由周期公式可得：22T ππ==． 故答案为：.π【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．2.若数列{}n a 满足12a =，13n n a a +=，*n N ∈，则该数列的通项公式n a =______． 【答案】123n -⨯ 【解析】 【分析】判断数列是等比数列，然后求出通项公式．【详解】数列{}n a 中，12a =，()13n n a a n N +=∈， 可得数列是等比数列，等比为3，123n n a -=⨯．故答案：123n -⨯．【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查计算能力．3.半径为2，圆心角为π4的扇形的面积为______．【答案】π2【解析】 【分析】设扇形的圆心角大小为α（rad ），半径为r ，则扇形的面积为212S r α=，由此得解． 【详解】r 2=，πα4=， 2211ππS r α22242∴==⨯⨯=．故答案为：π2．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．4.若πcos αcos α2⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=______． 【答案】1 【解析】 【详解】解：πcos αcos α2⎛⎫-=⎪⎝⎭， 可得sin αcos α=，所以tan α1=． 故答案为：1．5.实数2和8的等比中项是__________．【答案】4± 【解析】所求的等比中项为：4=± .6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若5a =，6b =，8c =，则最大内角等于________（用反三角函数值表示）【答案】1arccos20π-【解析】 【分析】先利用余弦定理求出cosC,再利用反三角函数求出C. 【详解】由题得C 是最大角，由题得cosC=253664125620+-=-⋅⋅，所以C=1arccos 20π-.故答案为：1arccos 20π-【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和反三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7.设3cos 20x +=，且3[,]2x ππ∈，则x =________ 【答案】2arccos 3π+ 【解析】 【分析】由题得2cos 3x =-，再求出02x ππ≤-≤，求出2cos()3x π-=，即可求解. 【详解】由题得2cos 3x =-，32x ππ≤≤,所以02x ππ≤-≤.所以2cos()cos()cos 3x x x ππ-=-=-=，所以x-π=2arccos 3，所以x=2arccos 3π+.故答案为：2arccos 3π+【点睛】本题主要考查解三角方程和反三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8.将函数sin y x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图像上的所有点向左平移3π个单位，最后所得图像的函数解析式为________ 【答案】1sin()26y x π=+【解析】 【分析】直接利用三角函数的图像的变换解答得解. 【详解】将函数sin y x=的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到1sin 2y x =，再把图像上的所有点向左平移3π个单位，最后所得图像的函数解析式为11sin +=sin()2326y x x ππ=+（）.故答案为：1sin()26y x π=+【点睛】本题主要考查三角函数图像变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9.函数arcsin tan()4y x x π=+的值域是________【答案】[1,1]22ππ--+【解析】 【分析】利用函数的单调性，结合函数的定义域求解即可． 【详解】因为函数arcsin tan()4y x x π=+的定义域是[1-，1]，函数是增函数，所以函数的最小值为：12π--，最大值为：12π+．所以函数的值域为：[12π--，1]2π+．故答案为：[12π--，1]2π+．【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的值域的求法，考查计算能力．10.当[0,3]x π∈时，设关于x 的方程sin 2|sin |x x m +=（m ∈R ）根的个数为n ，那么n 的取值构成的集合为________（用列举法表示）【答案】{0,2,4,5,6} 【解析】 【分析】方程sin 2|sin |m x x =+，[0x ∈，3]π的实数根个数，即直线y m =与sin 2|sin |y x x =+，[0x ∈，3]π的交点个数，画出图象，数形结合得答案．【详解】方程的根的个数等价于直线y m =与sin 2|sin |y x x =+的交点个数，[0x ∈，3]π，由题得3sin ,[0,]sin 2sin sin ,(,2]3,(2,3]x x y x x x x sinx x πππππ∈⎧⎪=+=-∈⎨⎪∈⎩，函数的图像如图所示，可以看到交点的个数可能为0,2,4,5,6. 故答案为：{0,2,4,5,6}【点睛】本题主要考查方程的根的个数问题，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.11.已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，且115a b +=，n b +∈Z ，设n n b c a =，则数列{}n c 的前n 项和n S =________【答案】1(7)2n n + 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式把n b a 转化到1(1)n a b +-，再把n b 转化11b n +-，然后由已知和等差数列的前n 项和可求结果． 【详解】123n n b b b b S a a a a =+++⋯+1112131[(1)][(1)][(1)][(1)]n a b a b a b a b =+-++-++-+⋯++-11111111[(1)][(1)1][(2)1][(1)1]a b a b a b a b n =+-+++-+++-+⋯+++-- 111112(1)(na nb n n n a b =+-+++⋯+-=+ (1))2n n n --+(1)14(7)22n n n n n -=+=+． 故答案为：1(7)2n n +．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式和前n 项和的应用，利用分组求和法是解决本题的关键．12.将函数()2sin2f x x =的图象向右平移ϕ (0)ϕπ<<个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()124f x g x -=的1x 、2x ，有12x x -的最小值为6π，则ϕ=______． 【答案】3π或23π 【解析】 【分析】 先求解()g x 解析式，根据()()124f x g x -=可知一个取得最大值一个是最小值，不妨设()1f x 取得最大值，()2g x 取得最小值，结合三角函数的性质12x x -的最小值为6π，即可求解ϕ的值；【详解】由函数()2sin2f x x =的图象向右平移ϕ，可得()2sin(22g x x ϕ=- ) 不妨设()1f x 取得最大值，()2g x 取得最小值，1222x k ππ∴=+，232222x k πϕπ-=+，k Z ∈． 可得()1222x x ϕπ-+=12x x -的最小值为6π，即126x x π-=±． 23πϕπ∴±+=得3πϕ=或23π故答案为：3π或23π．【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于中档题．二. 选择题13.函数cos y x x =-的部分图像是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】试题分析：由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别．解：设y=f （x ），则f （﹣x ）=xcosx=﹣f （x ），f （x ）为奇函数； 又时f （x ）＜0，此时图象应在x 轴的下方故应选D ．考点：函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象．14.下列三角方程的解集错误的是（ ） A. 方程3sin x ={|(1),}3k x x k k ππ=+-∈Z B. 方程cos 2x ={|22,}x x k k π=±∈ZC. 方程tan 2x =的解集是{|arctan 2,}x x k k π=-+∈ZD. 方程2sin(515)30x -︒=（x 是锐角）的解集是{15,27,87}︒︒︒ 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的图像和性质逐一分析得解. 【详解】对于A ，3sin 0x =>，可得x 在(0,2)π的解为3π或23π， 可得3sin x =的解集为{|23x x k ππ=+或223x k ππ=+，}{|(1)3k k Z x x k ππ∈==+-，}k Z ∈则A 正确；对于B ，方程cos 1x =>，方程无解，则B 错误；对于C ，方程tan 2x =的解集为{|arctan 2x x k π=+，}{|arctan 2k Z x x k π∈==-+，}k Z ∈， 则C 正确；对于D ，方程2sin(515)0x -︒-=，即sin(515)x -︒=， 可得51536060x k -︒=︒+︒或515360120x k -︒=︒+︒，k Z ∈， 可得锐角15x =︒，27︒，87︒，即有解集是{15︒，27︒，87}︒，则D 正确． 故选：B ．【点睛】本题考查三角方程的解法，注意运用诱导公式和三角函数的图象和性质，考查运算能力，属 于基础题．15.已知函数()cos(sin )f x x =，()sin(cos )g x x =，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]- B. ()f x 为奇函数，()g x 为偶函数C. ()f x 的值域为[cos1,1]，()g x 的值域为[sin1,sin1]-D. ()f x 与()g x 都不是周期函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可． 【详解】A ．()f x 与()g x 的定义域都是R ，故A 错误，B ．()cos(sin())cos(sin )cos(sin )()f x x x x f x -=-=-==，则()f x 是偶函数，故B 错误，C ．1sin 1x -，1cos 1x -，()f x ∴的值域为[cos1，1]，()g x 的值域[sin1-，sin1]，故C 正确，D ．(2)cos(sin(2))cos(sin )()f x x x f x ππ+=+==则()f x 是周期函数，故D 错误，故选：C．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合复合函数性质之间的关系，利用三角函数的单调性，奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．16.若数列{}n a满足212nnapa+=（p为正常数，n N*∈），则称{}n a为“等方比数列”.甲：数列{}n a是等方比数列；乙：数列{}n a是等比数列，则A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】试题分析：显然是等比数列一定是等方比数列，是等方比数列不一定是等比数列，故甲是乙的必要不充分条件，选B. 考点：充要条件.三. 解答题17.已知数列{}n a满足12a=，112n n a a+=-（*n∈N），令11n n b a=-. （1）求证：数列{}n b是等差数列；（2）求数列{}n a的通项公式. 【答案】（1）证明略；（2）11n a n=+（*n∈N）. 【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义证明数列{}n b是等差数列；（2）先求出数列{}n b的通项，再求数列{}n a的通项公式.【详解】（1）+111111111121n n n nn n b a a a a b +=-=-------=11=1111n n n n n a a a a a --=---是一个常数， 所以数列{}n b 是等差数列. （2）由题得11=121b =-，数列{}n b 是公差为1的等差数列， 所以111(1),11n n n b n n a a n=+-==∴=+-. 【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且满足222a c b +-=. （1）求角B 的大小； （2）若2b =，求△ABC 的面积S 最大值及取得最大值时角A 的大小. 【答案】（1）6B π=；（2）当512A π=时，△ABC 的面积S 最大值14.【解析】 【分析】（1）由已知利用余弦定理可得cos B =，结合范围(0,)B π∈，可求B 的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求得：1ac ，当且仅当1a c ==时等号成立，此时，5212BA ππ-==，进而根据三角形的面积公式即可得解．【详解】（1）由题得222,2cos ,cos a c b ac B B +-=∴=∴=因为0,6B B ππ<<∴=.(2)6B π=，b =，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得：22233a c ac -=+-，∴可得：2223323a c ac ac ac -=+--，可得：1ac ，当且仅当1a c ==时等号成立，此时，5212BA ππ-==， 1111sin 12224ABC S ac B ∆∴=⨯⨯=，即ABC ∆的面积S 的最大值为14，取得最大值时角A 的大小为512π． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.已知海岛在海岛北偏东，，相距20海里，物体甲从海岛以海里/小时的速度沿直线向海岛移动，同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小时的速度移动．（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向； （2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离．【答案】（1）203-（22021海里． 【解析】【详解】试题分析：（1）设经过t 小时，物体甲在物体乙的正东方向，因为2054=小时，所以05t <<．则物体甲与海岛A 的距离为102AE t =-海里，物体乙与海岛A 距离为4AF t =海里．在AEF ∆中由正弦定理可求得t 的值．（2）在AEF ∆中用余弦定理求EF ，再根据二次函数求EF 的最小值． 试题解析：解：（1）设经过t (05)t <<小时，物体甲在物体乙的正东方向．如图所示，物体甲与海岛A 的距离为102AE t =-海里，物体乙与海岛A 距离为4AF t =海里，60,75,45EAF AFE AEF ∠=︒∠=︒∠=︒，AEF ∆中，由正弦定理得：sin sin AE AF AFE AEF =∠∠，即2024sin 75sin 45t t-=︒︒，则203t =-（2）由（1）题设，202AE t =-，4AF t =， 由余弦定理得：2222cos EF AE AF AE AF EAF =+-⋅∠221(202)(4)2(202)42t t t t -+-⨯-⨯⨯228160400,t t =-+∵05t <<，∴当207t =时，min 2021EF =海里． 考点：1正弦定理；2余弦定理；3二次函数求最值．20.已知函数22()sin(2)2sin ()34f x x x ππωω=+--，0>ω. （1）当12ω=时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）对于(,]x a a π∈+，a 为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，求实数ω的值；（3）在（2）的条件下，若不等式|()|1f x t +<在[0,]3x π∈恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）5[2,2]66k k ππππ-+，k ∈Z ；（2）1ω=；（3）(0,1)t ∈.【解析】 【分析】（1）利用和与差公式化简，结合正弦函数的图象及性质即可求解函数()f x 的单调递增区间； （2）根据(x a ∈，]a π+，求解内层函数的范围，结合()1f x =-恰好有两个不等实根，即可求解实数ω的值；（3）根据（2）中ω的值；可得()f x 解析式，[0x ∈，]3π上，求解()f x 的值域，不等式|()|1f x t +<成立，即可求解实数t 的取值范围． 【详解】(1) 2222()sin(2)2sin ()sin 2cos cos2sin 1cos(2)34332f x x x x x x πππππωωωωω=+--=+-+-1sin 21sin(2)123x x x πωωω=+-=+- （1）当12ω=时，可得函数()sin()13f x x π=+-令22232k x k πππππ-++，得52266k x k ππππ-+∴函数()f x 的单调递增区间为5[26k ππ-，2]6k ππ+，k Z ∈． （2）当(x a ∈，]a π+时，()sin(2)13f x x πω=+-，其周期22T ππωω== 关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，即()0f x =恰好有两个不等实根，∴ππω= 可得1ω=；（3）根据（2）中1ω=；可得()sin(2)13f x x π=+-[0x ∈，]3π，2[33x ππ∴+∈，]π，那么()f x 的值域为[1-，0] 不等式|()|1f x t +<成立， 即1()1t f x t --<<-∴11 10tt--<-⎧⎨->⎩此时(0,1)t∈【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，三角函数的化简以及转化思想的应用，函数闭区间上的最值应用．。