第一章
1.3 解：
(a). 2
40
1
lim
(),04T
t T T
E x t dt e dt P ∞
-∞∞→∞
-====⎰
⎰
(b) dt t x T
P T T
T ⎰-∞→∞=2)(21
lim
121
lim ==⎰
-∞→dt T T
T
T
∞===⎰⎰∞
∞
--∞
→∞dt t x dt t x E T
T
T 2
2
)()(lim
(c).
2
22
lim
()cos (),
1
11cos(2)1
lim
()lim
2222T
T T
T
T
T T T
T
E x t dt t dt t P x t dt dt T
T
∞
∞→∞
--∞
∞→∞→∞--===∞+===⎰⎰⎰
⎰
(d) 034121lim )2
1(121lim ][121lim 022
=⋅+=+=+=∞→=∞→-=∞→∞∑∑N N n x N P N N
n n N N N n N 3
4
)
2
1()(lim 202
=
==∑∑-∞
=∞
→∞n
N N n N n x E (e). 2()1,x n E ∞==∞
2
11lim []lim 112121N N
N N n N n N
P x n N N ∞→∞→∞=-=-===++∑∑ (f) ∑-=∞→∞=+=N
N
n N n x N P 21)(121lim 2
∑-=∞
→∞∞===N
N
n N n x E 2
)(lim
1.9. a). 00210,105T ππω==
=; b) 非周期的； c) 0000
7,,22m
N N ωωππ=== d). 010;N = e). 非周期的； 1.12 解：
∑∞
=--3
)1(k k n δ对于4n ≥时，为1
即4≥n 时，x(n)为0，其余n 值时，x(n)为1 易有：)3()(+-=n u n x , 01,3;M n =-=-
1.15 解：(a)
]3[2
1
]2[][][222-+
-==n x n x n y n y , 又2111()()2()4(1)x n y n x n x n ==+-， 1111()2[2]4[3][3]2[4]y n x n x n x n x n ∴=-+-+-+-，1()()x n x n =
()2[2]5[3]2[4]y n x n x n x n =-+-+- 其中][n x 为系统输入。

(b) 交换级联次序后
]2[4][2][][111-+==n x n x n y n y
]4[2]3[]3[4]2[22222-+-+-+-=n x n x n x n x ]4[2]3[5]2[2-+-+-=n x n x n x 其中][n x 为系统输入
通过比较可知，系统s 的输入－输出关系不改变 1.16 解：
(a) 不是无记忆的，因为系统在某一时刻0n 的输出还与20-n 时刻的输入有关。

(b) 输出]2[][][-⋅=n A n A n y δδ
0]2[][2=-=n n A δδ
(c) 由(b)可得，不论A 为任意实数或者复数，系统的输出均为零，因此系统不可逆。

1.21．1.22和1.23画图均略 1.26 解：
(a) 7
3
20=πω
，为有理数，∴x[n]具有周期性，且周期N ＝7 (b) π
πω161
20=
，为无理数，∴x[n]无周期性 (c) 由周期性的定义，如果存在),8
cos(
])(2
cos[
,22n N n N π
π
=+使得则函数有周期
性，即：2
2
8
12)(8
1n k N n πππ+=+ k nN N 1622
=+∴，对全部n 成立取
N 的最小值N ＝8，即为周期。

(d) )]4
1
cos()43[cos(21)4cos(
)2
cos(
][n n n n n x πππ
π
+==，与(a)同理，x[n]具有周期
性，对8)4
1cos(,8)43cos(21==N n N n 存在对存在ππ，8=∴N 基波周期 (e) 与上题同理，4,16,8321===N N N 16N ＝
周期∴ 1.27 a) 系统具有线性性与稳定性；
e). 系统具有线性性, 时不变性与因果性与稳定性； 1.28 c) 系统是无记忆的，线性的，因果的；
e) 系统是线性的，稳定的 g). 系统是线性的，稳定 1.31
解： (a) 211211()()(2)()()(2)x t x t x t y t y t y t =--∴=-- 如图PS2.17(a)所示。

(b) 311311()(1)()()(1)()x t x t x t y t y t y t =++∴=++ 如图PS2.17(b)所示。

1.33
1)正确。

设()x n 的周期为N 。

如果N 为偶数，则1()y n 的周期为/2N ；如果N 为奇数，则必须有022N N =，才能保证周期性，此时1()y n 的周期为0N N =。

2)不正确。

设()()()x n g n h n =+，其中()sin
4
n
g n π=，对所有n ，
1,()30,n
n h n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪⎩
奇偶 显然()x n 是非周期的，但1()y n 是周期的。

3)正确。

若()x n 的周期为N ，则2()y n 的周期为2N 。

4)正确。

若2()y n 的周期为N ，则N 只能是偶数。

()x n 的周期为/2N 。

1.37 a) ()()()()xy yx t x t y d t φτττφ+∞
-∞
=+=-⎰
b) ()xx t φ=()xx t φ-, 奇部为零。

c). ()(),()()xy xx yy xx t t T t t φφφφ=-=
1.42 解：
(a) 结论正确。

设两线性时不变系统如下图所示级联。

当12()()()x t ax t bx t =+时，则有
12()()()w t aw t bw t =+，于是12()()()y t ay t by t =+，因此整个系统是线性的。

若输入为0()x t t -，则由于时不变性可知系统1的输出为0()w t t -，这正是系统2
的输入，因此总输出为0()y t t -。

即整个系统是时不变的。

)
(b) 结论不对。

如系统1为()()3w t x t t =+，系统2为()()3y t w t t =-。

虽然两系统都不是线性的，但它们的级联()()y t x t =却是线性的。

c) 设系统1的输出为w(n), 系统2的输出为z(n).
11
()(2)(2)(21)(22)
24
11
()(1)(2)
24
y n z n w n w n w n x n x n x n ==+-+-=+-+-
1.46 解：a). ()(1)(1)y n n y n δ=---,n=0,y(n)=0,n=1,y(n)=1,n=2,y(n)=-1; 1
()(1)
(1)n y n u n -=--
b). ()(1)(1)y n u n y n =---,
n=0,y(n)=0, n=1,y(n)=1,n=2,y(n)=0; n=3,y(n)=1,n=4,y(n)=0, n=5,y(n)=1……;
1.47 解：
a) {}{}111()()()y n S x n c L x n C =+=+，C 为系统的零输入响应。

{}{}{}{}
111111()()()()
()()()
()}{()()()y n S x n x n y n L x n x n C y n L x n L x n C y n L x n =+-=++-=++-=
c) 00/2,1,(),2,()(1)/2,n n even
y n n y n n n odd ⎧==⎨-⎩
3. 非增量线性系统；
4. ()()()/y t x t tdx t dt =+, 非增量线性系统
5. 增量线性系统, 2
()cos ()y n n π=。