函数的零点
1、函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

方程f(x)=0有实数根↔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点↔函数y=f(x)有零点
注意：零点是一个实数,不是点。

练习：函数23)(2
+-=x x x f 的零点是（ ）
Ａ．()0,1
Ｂ．()0,2
Ｃ．()0,1，()0,2
Ｄ.１，２
方程f(x)=0的根的个数就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的个数。

方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标。

方法：①（代数法）求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 练习：Ⅰ求零点 ①y=x ³-1, ② y=2^x-1, ③y=lg(x ²-1)-1, ④y=2^|x|-8, ⑤y=2+log 3x
Ⅱ结合函数的图像判断函数f(x)=x ³-7x+6的零点 Ⅲ判断函数f(x)=lnx+2x 是否存在零点及零点的个数 2、一元二次方程和二次函数
例，当a>0时，方程ax ²+bx+c=0的根与函数y=ax ²+bx+c 的图象之间的关系如下表：
练习：如果函数f(x)= ax ²-x-1仅有一个零点，求实数a 的范围。

3、零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。

例1：观察二次函数f (x)=x ²- 2x - 3的图象: ① 在区间[-2，1]上有零点_______；
f (-2)=_____，f (1)=_____，
f (-2) · f(1)___0（< 或 > 或 =） ② 在区间[2，4]上有零点_______；
f (2) · f(4)___0（< 或 > 或 =）
例1图 例2图
例2：观察函数 y = f (x)的图象:
①在区间[a ，b]上___(有/无)零点；
f (a) · f(b)___0（< 或 > 或 =） ②在区间[b ，c]上___(有/无)零点；
f (b) · f(c)___0（< 或 > 或 =）
练习：①判断函数f(x)=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点?
4、函数最值：
最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x0∈I ，使得f(x0) = M ，那么，称M 是函数y=f(x)的最大值． 方法：利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值
如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b). 练习：①函数
f （x ）=
)1(11
x x --的最大值是______ ②函数f （x ）=ax （a ＞0，a ≠1）在［1，2］中的最大值比最小值
大2a
，则a 的值为______
③设a 为实数，函数f （x ）=x2+|x －a|+1，x ∈R. （1）讨论f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）的最小值.
④已知二次函数f （x ）＝（lga ）x2＋2x ＋4lga 的最大值为3，求a 的值.。