【全国百强校】河北省唐山一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知复数，则（）
A．B．C．D．
2. 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）
A．B．C．D．
x0 1 2 3
y m 3 5.5 7
若求得关于y与x的线性回归方程为：，则m的值为（）A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5
4. 若直线被圆所截得的弦长为，则与曲线的公共点个数为( )
A．1个B．2个C．1个或2个D．1个或0个
5. 已知直线，平面，且，给出下列命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则.
其中正确的命题是
A．①④B．③④C．①②D．②③
6. 在中，，，求证：．证明：，
，，．其中画线部分是演绎推理的
A．大前提B．小前提
C．结论D．三段论
7. 如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（）
A．B．C．D．
8. 下列说法：
①残差可用来判断模型拟合的效果；
②设有一个回归方程：，变量增加一个单位时，平均增加5个单位；
③线性回归直线：必过点；
④在一个列联表中，由计算得，则有的把握确认这两个变
量间有关系（其中）；
其中错误的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
9. 设函数=在区间上单调递减,则实数的取值范围是
A．B．C．D．
10. 若一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）
C．D．
A．B．
11. 如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂
足为点H．则以下命题中，错误的命题是
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH垂直平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成角为45°
12. 已知函数，，若对任意，存在
使，则实数a的取值范围（）
A．[1，5] B．[2，5] C．[﹣2，2] D．[5，9]
二、填空题
13. 观察下列各式：，，，则的末四位数字为____________.
14. 椭圆在其上一点处的切线方程为
．类比上述结论，双曲线在其上一点
处的切线方程为______．
15. 直线与圆：的位置关系是_________．
16. 如图，抛物线和圆，其中，直线经过
的焦点，依次交于四点，则的值为
______．
三、解答题
17. 已知坐标平面上两个定点，，动点满足：
．
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为
，求直线的方程．
18. 如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，
，是的三等分点，
（1）求证：平面；
（2）求证：平面⊥平面；
（3）求多面体的体积．
19. 某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：
喜欢统计课程不喜欢统计课
程
合计
男生20 10 30
女生10 20 30
合计30 30 60
（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？
（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率．
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中）
20. 已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求
面积的最大值．
21. 已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）若函数在时有极值，求表达式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
22. 已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求证：.。