河北省唐山一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x−y+1=0的倾斜角为()A. π6B. π4C. 3π4D. 5π62.已知直线l1:(3+a)x+4y=5−3a与l2：2x+(5+a)y=8平行，则a等于()A. −7或−1B. 7或1C. −7D. −13.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，若△AF1F2的面积为√3，且∠F1AF2=4∠AF1F2，则椭圆方程为()A. x23+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y2=1 D. x24+y23=14.直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是()A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 不能确定5.抛物线y=12x2上与焦点的距离等于3的点的纵坐标是()A. 114B. 238C. 2D. 526.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P(6,8)在双曲线的渐近线上，且满足PF1⊥PF2，则C的方程为()A. x216−y29=1 B. x23−y24=1 C. x236−y264=1 D. x264−y236=17.m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列正确的是()A. 若m//n，m⊥α，则α⊥βB. 若α//β，m⊥n，则m⊥αC. 若α//β，m⊂α，则m//nD. 若m//n，m⊂α，则α//β8.已知直线l:4x−3y−12=0与圆(x−2)2+(y−2)2=5交于A，B两点，且与x轴、y轴分别交于C，D两点，则()A. 2|CD|=5|AB|B. 8|CD|=4|AB|C. 5|CD|=2|AB|D. 3|CD|=8|AB|9.已知点A(−2,0),B(2,0)，若圆(x−3)2+y2=r2(r>0)上存在点P(不同于点A,B)，使得PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则实数r的取值范围是()A. (1,5)B. [1,5]C. (1,3]D. [3,5)10.直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切，则a+b+ab的最大值为()A. 1B. −1C. √2+12D. √2+111.三棱锥P−ABC中，M，N分别是AB，PC的中点，若MN=BC，PA=√3BC，则异面直线PA与MN所成角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°12.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线√3x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为()A. √22B. √3−12C. √32D. √3−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如下图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6,O′C′=2，则原图形OABC的面积为__________．14.已知圆O:x2+y2=4，则过点P(1,5)且被圆O截得的弦长为2√3的直线方程为__________．15.已知椭圆C：x24+y23=1外一点M关于椭圆的左、右焦点的对称点分别为A，B，点N满足线段MN的中点在椭圆上，则|AN|+|BN|的值为_____．16.已知动点P(x,y)满足√x2+y2=|3x−4y+3|，则点P的轨迹为______________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.一个空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的外接球的表面积．18.已知直线l的斜率为√3，在x轴上的截距是−7，求l的方程．219.已知直三棱柱ABC−A1B1C1，∠ACB=90°，CA=CB=CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且短轴长为2．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=x+√2与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．21.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为12和4√6，高为6．(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程;(2)若线段MN的端点N的坐标为(10,4)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．22.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(1,y0)(y0>0)在抛物线C上，且|PF|=2；直线l过点(−3,2)且与为抛物线C交于A，B两点(与P不重合)，记直线PA、PB的斜率为k1，k2．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)试问k1+k2是否为定值？并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查求直线的倾斜角，考查计算能力，属于基础题．先求出斜率，再求倾斜角．【解答】解：由直线方程，得斜率为，又所以倾斜角，故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查两条直线的平行关系的运用，属于基础题．运用两条性质的平行条件建立方程即可．【解答】解：因为两条直线平行，所以(3+a)(5+a)=8，解答a=−7或−1．当a=−1时，两条直线重合，故选C．3.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．利用已知条件列出方程，求出a，b然后求解椭圆方程．【解答】解：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，若△AF1F2的面积为√3，可得bc=√3，且∠F1AF2=4∠AF1F2，∴∠AF1F2=30°，∴bc=√33，解得b =1，c =√3，所以a =2，则椭圆方程为：x 24+y 2=1．故选C ．4.答案：C解析： 【分析】本题考查两条直线位置关系的判定，是基础题．利用两条直线交点个数可得两直线相交，再由两直线的斜率之积不等于−1可知两直线不垂直，即可得出结果． 【解答】解：由方程组{2x +y +m =0x +2y +n =0可得3x +4m −n =0，由于3x +4m −n =0有唯一解，故方程组有唯一解， 故两直线相交．再由两直线的斜率分别为−2和−12，斜率之积不等于−1， 故两直线不垂直． 故选C ．5.答案：D解析： 【分析】本题考查抛物线的定义及简单几何性质，求出抛物线准线方程，由抛物线的定义知点到准线的距离等于3，从而求出纵坐标即可求解． 【解答】解：由题意，抛物线的标准方程为x 2=2y ，抛物线准线方程为：y =−12， 设点P 在抛物线上，且与焦点的距离等于3， 则P 到准线的距离为3， 则y P +12=3，即y P =52， 故选D ．6.答案：C解析： 【分析】本题考查双曲线的标准方程与简单几何性质，主要是渐近线方程的运用，属于中档题．根据题意，设双曲线的焦点坐标为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y =±ba x ，结合题意可得ba =43，利用已知条件PF 1⊥PF 2列出关系式，求出a ，b 即可得到双曲线方程． 【解答】解：根据题意，设双曲线的焦点坐标为F 1(−c,0)，F 2(c,0)， 双曲线的方程为x 2a −y 2b =1，其焦点在x 轴上，则其渐近线方程为y =±ba x ， 又由点P(6,8)在双曲线的渐近线上，则其一条渐近线方程为：y =43x ，则有ba =43，又由P(6,8)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c −6,−8)，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −6,−8)， 满足PF 1⊥PF 2，所以(−c −6)(c −6)+64=0， 解得c =10，则a =6，b =8； 所以双曲线方程为x 236−y 264=1．故选C ．7.答案：A解析：解：对于A ，若m//n ，m ⊥α，则n ⊥α，∵n ⊂β，∴α⊥β，正确； 对于B ，若α//β，m ⊥n ，则m ⊥α，有可能m//α，不正确； 对于C ，若α//β，m ⊂α，则m//n 或m ，n 异面，不正确； 对于D ，m//n ，m ⊂α，则α//β或α，β相交，不正确． 故选A ．对四个选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查空间直线与直线、直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.答案：A解析：【分析】本题考查直线与圆的位置关系，先求出圆心到直线的距离，再求出|AB |,|CD |，即可得出结论．【解答】解：圆心到直线的距离为√16+9=2，∴|AB|=2√5−4=2．令y=0，可得x=3，令x=0，可得y=−4，∴|CD|=5，∴2|CD|=5|AB|，故选A．9.答案：A解析：【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，两圆相交的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．由题意可得两圆相交，而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，圆心距为3，由两圆相交的性质可得|r−2|<3<|r+2|，由此求得r的范围．【解答】解：根据直径对的圆周角为90°，结合题意可得以AB为直径的圆和圆(x−3)2+y2=r2有交点，显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交．而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，两个圆的圆心距为3，故|r−2|<3<|r+2|，求得1<r<5，故选A.10.答案：C解析：解：∵直线ax+by=1与圆x2+y2=1相切，∴圆心O(0,0)到直线ax+by−1=0的距离d=√a2+b2=1，即a2+b2=1，则设a=sinα，b=cosα，a+b+ab=sinα+cosα+sinαcosα=√2sin(α+π4)+12sin2α，当α=π4时，两个表达式同时取得最大值，所以a+b+ab的最大值为：√2+12，故选：C．由直线与圆相切，列出a，b的关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最值．本题考查函数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．11.答案：A解析：解：取AC中点O，连结MO、NO，设MN=BC=a，则NO//PA ，且NO =12PA =√32a ，MO//BC ，且MO =12BC =12a ， ∴∠MNO 是异面直线PA 与MN 所成角， ∵cos∠MNO =MN 2+ON 2−MO 22×MN×ON=a 2+34a 2−14a 22×a×√32a=√32， ∴∠MNO =30°．∴异面直线PA 与MN 所成角为30°． 故选：A ．取AC 中点O ，连结MO 、NO ，设MN =BC =a ，则NO//PO ，且NO =12PO =√32a ，MO//BC ，且MO =12BC =12a ，从而∠MNO 是异面直线PA 与MN 所成角，由此能求出异面直线PA 与MN 所成角．本题考查异面直线所成角，考查余弦定理在解三角形中的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．12.答案：D解析： 【分析】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力，属于中档题． 求出F(−c,0)关于直线√3x +y =0的对称点A 的坐标，代入椭圆方程可得离心率． 【解答】解：设F(−c,0)关于直线√3x +y =0的对称点A(m,n)，则{n m+c⋅(−√3)=−1,√3⋅m−c 2+n2=0 ∴m =c2，n =√32c ，代入椭圆方程可得c 24a 2+34c 2b 2=1，把b 2=a 2−c 2代入，化简可得e 4−8e 2+4=0， 解得e 2=4±2√3，又0<e <1， ∴e =√3−1． 故选D ．13.答案：24√2解析：设C′B′与y′轴的交点为D′，则O′D′=2√2，∴原平面图形是底边为6，高为4√2的平行四边形，故面积为S =6×4√2=24√2．14.答案：x =1或12x −5y +13=0解析：【分析】本题考查直线与圆的位置关系问题，属基础题．利用弦长求出弦心距，设出直线方程，注意应考虑斜率不存在的情况，即可得出结论．【解答】解：因为直线l 被圆O 截得的弦长为2√3，所以弦心距d =√r 2−(l 2)2=√4−(√3)2=1， 显然直线斜率不存在时，x =1符合，当直线l 斜率存在时，不妨设为k ，则l 的方程为y −5=k(x −1)，即kx −y +5−k =0， 由d =√1+k 2=1，得k =125，所以l 的方程为12x −5y +13=0，故答案为x =1或12x −5y +13=0．15.答案：8解析：【分析】根据已知条件，作出图形，MN 的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为2a 即可出|AN|+|BN|．【解答】解：设 MN 的中点为 D ， 椭圆 C 的左右焦点分别为 F 1，F 2，如图 ， 连接 DF 1，DF 2 ，∵F 1 是 MA 的中点， D 是 MN 的中点，∴F 1D 是 △MAN 的中位线；∴|DF 1|=12|AN|， 同理 |DF 2|=12|BN| ，∴|AN|+|BN|=2(|DF 1|+|DF 2|) ，∵D 在椭圆上，∴ 根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：|DF 1|+|DF 2|=4 ，∴|AN|+|BN|=8．故答案为8．16.答案：双曲线解析：【分析】本题主要考查了双曲线的第二定义，属于基础题．根据题意将题中等式进行变形，利用双曲线的第二定义求解即可．【解答】解：由已知得√x2+y2|3x−4y+3|5=5，相当于点P(x,y)到原点的距离与到直线3x−4y+3=0的距离之比为常数5，所以点P的轨迹是双曲线。