线性规划问题的数学模型
工序 花瓶种类 占用材料 （OZ） 艺术加工 （小时） 储存空间 （一单位） 利润值 （元）
大花瓶
小花瓶 每周可用能力
2
1 160
1/3
1/3 40
3
2 260
12
10 ——
B表示大花瓶每周生产的数量，S表示小花瓶每周生产的数量。
第三章 线性规划 数据、模型与决策 (第二版)
第三章 线性规划 数据、模型与决策 (第二版) 幸运的是，线性规划能解决这些组合梦魇问题。据有形估计，建
立在线性规划基础上的计算机规划系统每年为联合航空公司在直
线性规划问题的数学模型
一家玻璃产品生产公司生产带有花样图案的彩色玻璃 花瓶。每一个花瓶经过艺术玻璃吹风机从液态加工而 成，然后进入储藏室冷却至室温，花瓶有大和小两种 尺寸，但是生产过程几乎相当，而且使用同一种材料。 不论尺寸，每一个花瓶都需要20分钟的艺术加工，每 周艺术加工工作时间为40小时；大小花瓶每个个需彩 色玻璃2 OZ和1 OZ。每周可用的玻璃为160 OZ。另外， 一个小花瓶占用2单位储存空间，大花瓶占用3个单位 储存空间，一共有260个单位储存空间。大小花瓶的利 润贡献率分别为12元/个和10元/个。问应该怎样安排 第三章 线性规划 数据、模型与决策 (第二版) 生产，才能使利润值最大。
各种油的使用量：
A种油= A1+A2 B种油= B1+ B2
C种油= C1+ C2
目标是取得最大化的利润，两种燃料的销售收入为： 30×(A1+ B1+ C1)+35×(A2+ B2+ C2)
第三章 线性规划 数据、模型与决策 (Байду номын сангаас二版)
而三种油的成本为： 8×(A1+A2)+10×(B1+ B2)+12×(C1+ C2 ) 利润是销售收入和成本之差，作为目标函数可以表示如下：
第三章 线性规划
3.1 线性规划问题概述 3.2 线性规划问题的图解法 3.3 单纯形法
3.4 对偶问题
3.5 敏感性分析
第三章 线性规划
数据、模型与决策 (第二版)
3.2线性规划问题的图解法
3.2.1 图解法的过程介绍 3.2.2 规划问题求解的几种可能结果 3.2.3 图解法延伸
解决线性规划问题的步骤
定义问题和收集数据。 建立模型，用恰当的数学式子表示问题
求出问题的最优解
第三章 线性规划 数据、模型与决策 (第二版) 进行敏感性分析，检查条件发生变化是会发生的情况。
确定潘得罗索工业公司的产品组合
潘得罗索工业公司是一家墨西哥公司，截至在1998年的销售，公 司生产了全国胶合板产量的四分之一，与其他胶合板生产厂商一 样，潘得罗索工业公司的许多产品根据厚度和所用木材的质量而 有所不同。因为产品在一个竞争的环境中进行销售，产品的价格 由市场决定，所以产品的价格每月都有很大的变化。结果导致每 项产品对公司整体利润的贡献也有很大的变动。 从1980年开始，潘得罗索工业公司管理部门每个月使用线性规划 指导下个月的产品组合决策。线性规划的数学模型考虑了这一决 策的所有相关限制条件，包括生产产品所需的有限的可得数量。 然后对模型求解，找出可行并且最大可能利润（largest possible profit）的产品组合。 采用线性规划后，潘得罗索工业公司的成绩是显著的。改进的产 第三章 线性规划 数据、模型与决策 (第二版) 品组合使公司的总利润增加了20%，线性规划得其他贡献包括更
第三章 线性规划
数据、模型与决策 (第二版)
图解法的步骤：
其中一个变量作为横坐标轴，另一个变量作为纵坐标轴，画出平 面直角坐标系，并适当选取单位坐标长度，由于变量是非负的， 因此，画出坐标系的第一象限即可。 出各约束条件在坐标轴上对应的直线，找出可行域（常用阴影区 域标识）。
图标目标函数，z是一个待求的目标函数值。目标函数常用一组 平行虚线表示，离坐标原点越远的虚线表示的目标函数值越大。
A：最多占25% A：最少占20%
B：最少占30% B：最多占50%
C：最多占40% C：最少占30%
数据、模型与决策 (第二版)
燃料1售价为30元/升，燃料2 售价为35元/升， 该公司有一向长期合同，每天供应两种原料， 各10，000升。请建立该问题的数学规划模型。
解题过程：
决策变量为加入到两种燃料种的各种油的量：
数据、模型与决策 (第二版)
直线把图分为两部分，直线上方的点都不符合约束条件， 而直线上和直线下方的点都满足约束条件。
第三章 线性规划 数据、模型与决策 (第二版)
最优解为： B=20, S=100 将B和S值代入目标函数中得：
Z=12×20+10×100=1240
所以最大利润值是1240。
工商管理硕士（MBA）系列教材
《数据、模型与决策》相关教学课件 免财富值！！
第二篇 规划和优化模型
第三章 线性规划
数据、模型与决策 (第二版)
第三章 线性规划
第三章 线性规划
数据、模型与决策 (第二版)
学习目的
线性规划是运筹学的一个重要分支。通过对本章的学习要求：
能够掌握线性规划问题中的主要概念 能够掌握线性规划问题中的线性规划的标准形式 能够掌握线性规划问题的求解方法——图解法及单纯 形法
C1≤0.4×(A1+B1+C1)
A2≥0.2×(A2+B2+C2) B2≤0.5×(A2+B2+C2)
C2≥0.3×(A2+B2+C2)
长期供货合同约束： A1+B1+C1≥10,000
A2+B2+C2≥10,000
第三章 线性规划
非负约束：
数据、模型与决策 (第二版)
确定最优解。因为最优解是可行域中使目标函数值达到最优的点， 当目标函数直线由原点开始向右上方移动时，z值开始增大，一 直移到目标函数直线与可行域相切时为止，切点就是最优解的点。 第三章 线性规划 数据、模型与决策 (第二版)
3.2.2规划问题求解的几种可能结果
无穷多最优解 无界解 无解或者无可行解
A1为原料1中加入A种油的升数。 A2为原料2中加入A种油的升数。 B1为燃料1中加入B种油的升数。 B2为燃料2中加入B种油的升数。
第三章 线性规划 数据、模型与决策 (第二版) C1为燃料1中加入C种油的升数。
燃料1和燃料2 的产量为： 燃料1：A1+B1+C1 燃料2：A2+B2+C2
第三章 线性规划
数据、模型与决策 (第二版)
决策变量为个项目的投资数额，设为xi ( i =1,2,3,4,5)
目标函数：
min z = ( 0.1x1 + 0.06x2 +0.18x3 + 0.12x4+ 0.04x5 )
第三章 线性规划
数据、模型与决策 (第二版)
约束条件：
各项目投资总和为1,000,000元 x1 + x2 + x3 + x4+ x5 = 1,000,000 所得红利最少为80,000元 0.05 x1 + 0.08 x2 + 0.07 x3 + 0.06 x4+ 0.1 x5≥ 80,000 增加额不低于140,000元 1x1 + 0.17 x2 + 0.14 x3 + 0.22 x4+0.7 x5≥140,000 平均信用度不低于6 (11 x1 + 8 x2 + 10 x3 + 4 x4+10 x5)/5≥6
航空业的成本控制
那时，联行在其11个航班订票处，有超过4，000名的机场销售代 表和支持人员。在十个最大的机场大约有一千名顾客服务代表， 有些时兼职的，每班2到8个小时不等，大部分是全职的，每班8 现实或10小时，有许多个不同的上班时间。每个订票处都有一天 24小时营业（通过电话订票。然而，每个地点提供所需水平服务 的雇员数量在一天24小时种的变化很大，或许美国半个小时就会 有很大的变化。 为了更有效率的满足服务要求，在每个地点为所有工作人员设计 动作排成，是一个组合的梦魇。一旦一名雇员上了班，就会工作 一个班次，只有就餐和每个两个小时的短暂的休息时间，给定24 小时的一天中每半个小时各的服务所需的最小雇员数，在七天一 周中，24小时一天中每个班次需要多少雇员并且合适上班呢？
约束条件 2B+S≤160 1/3B+1/3S≤40
3B+2S≤260
B≥0, S≥0 目标函数：
max z =12B+10S
第三章 线性规划
数据、模型与决策 (第二版)
数学模型表述如下 目标函数 材料约束 max z =12B+10S 2B+S≤160
时间约束
储存约束 非负约束
投资项目 1 2 3 4 5
第三章 线性规划
风险% 10 6 18 12 4
红利% 5 8 7 6 10
增长% 10 17 14 22 7
信用度 11 8 10 4 10
数据、模型与决策 (第二版)
A集团的目标为：投资风险最小，每年红利至少是80,000元，最 低平均增长率14%，最低平均信用度为6，请用线性规划方法描述 该问题。
第三章 线性规划
数据、模型与决策 (第二版)
3.1 线性规划问题概述
3.1.1 线性规划问题中的主要概念 3.1.2 线性规划问题的数学模型
第三章 线性规划
数据、模型与决策 (第二版)