第19讲ﻩﻩ格点与割补内容概述明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积;掌握格点多边形的面积计算公式.典型问题兴趣篇1.图１9-ｌ中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：4平方厘米２平方厘米8平方厘米【分析】方法:正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝0，L＝１0,则用粗线围成图形的面积为:(0+1０÷2－1)×１=４（平方厘米)有Ｎ＝0，Ｌ=10,则用粗线围成图形的面积为:（1＋4÷2-１)×1=2(平方厘米）有N=5,L=8,则用粗线围成图形的面积为:(5+8÷２－1)×１=8(平方厘米)2．图１９－2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.５平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式:(N+L2－1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数.有Ｎ=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：（4+４÷２-1)×1=５(平方厘米) 有Ｎ=4,L=4，则用粗线围成图形的面积为:(4+4÷２－1)×1=５(平方厘米）有N=０,L=3，则用粗线围成图形的面积为:（0+3÷2－１）×１=0.５(平方厘米)3．图１9-3中每个小正方形的面积均为２平方厘米.阴影多边形的面积是多少平方厘米?答案:19平方厘米【分析】方法:交点组成了正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-１)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=7，L=１7,则用粗线围成图形的面积为：(7+7÷2-1)×2＝19(平方厘米)4．图1９-４是一个三角形点阵,其中能连出的最小的等边三角形的面积为ｌ平方厘米.三个多边形的面积分别为多少平方厘米?答案:6平方厘米６平方厘米14平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L－２)x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=0,L=８,所以用粗线围成的图形的面积为:(０×2+８-2)×１=6(平方厘米).有Ｎ＝２，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1＝6(平方厘米）.有N=４，L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：（4×2+7－2）×1＝１4(平方厘米).５．如图19-５所示,如果每个小等边三角形的面积都是１平方厘米．四边形ABCD和三角形EFＧ的面积分别是多少平方厘米?答案：20平方厘米10平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式:（2N＋Ｌ-２)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（９×2+4-2)×1=２0(平方厘米)．有N＝4,L=4，所以用粗线围成的图形的面积为:（4×2+4-2）×1=1０(平方厘米）．６．图１９－6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积.（单位：厘米)答案：32平方厘米【分析】3×２+2×4+（5-2)×(3＋1+２）=32７．如图19-７所示，在正方形A ＢＣD 内部有一个长方形.EFGH ．已知正方形A ＢＣＤ的边长是６厘米,图中线段ＡE 、AH 都等于2厘米.求长方形EFGH 的面积．答案：16平方厘米【分析】先算正方形面积６×６=36 再算左上角和右下角三角形面积２×2÷２×2＝4 后算左下角和右上角三角形面积４×4÷2×2＝16 ３6－４-1６=168．如图19-8所示,四边形ABCD 是长方形，长ＡD 等于７厘米,宽AB 等于5厘米，四边形C ＤＥF 是平行四边形.如果BH 的长是3厘米,那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？答案：２5平方厘米【分析】 CDEF S 平行四边形=DC×BC=5×7=35,HC=BC-B Ｈ＝7－3＝4，所以CDH S ＝12×CD×HC=12×5×４=10． S 阴影＝CDEF S 平行四边形-CDHS =35-１0=2５（平方厘米）.9.如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连.请问:图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?答案：50平方厘米【分析】如下图,我们将大正方形中的所有图形分成A、Ｂ两种三角形.其中含有Ａ形三角形8个,B形三角形１６个,其中阴影部分含有A形三角形４个，B形三角形８个．方形面积的12,即为12×１所以,阴影部分面积恰好为大正0×10=50(平方厘米)．10.在图19-10中,五个小正方形的边长都是２厘米,求三角形ABC的面积．答案:14平方厘米【分析】方法：转化为正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,Ｌ为图形周界上格点数.有N=３,L＝３,则用粗线围成图形的面积为：（3+3÷2-１）×4=1４（平方厘米)拓展篇1. 图1９-1１中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为ｌ平方厘米.这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：7．5平方厘米 6.5平方厘米９平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：(Ｎ+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,Ｌ为图形周界上格点数．有N＝４,L=9,则用粗线围成图形的面积为:（4＋9÷２-１）×１=7.5(平方厘米）有N=３,L=9，则用粗线围成图形的面积为：(3＋９÷2-1)×１＝６．5(平方厘米)有N=4,L=12，则用粗线围成图形的面积为：(４＋１2÷２-1)×1=9(平方厘米)2．(１)图19-12中每个小正方形的面积是2平方厘米.阴影部分面积是多少平方厘米?(２）图1９-１３中每个小正三角形的面积是4平方厘米.阴影部分面积是多少平方厘米? 答案:１7平方厘米56平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2－1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.有N=3,L=13,则用粗线围成图形的面积为:（３+１３÷2-１)×２=17(平方厘米)【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+Ｌ-2)x单位正三角形面积,其中Ｎ为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=4，Ｌ＝8，所以用粗线围成的图形的面积为:(4×2＋8-2)×４＝56(平方厘米）．3.图19－14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？答案:１4平方厘米【分析】方法：可用公式先算出整个图形的面积,在减去中间空白部分的面积。

正方形格点阵中多边形面积公式：(N+L2-１)×单位正方形面积,其中Ｎ为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数.有Ｎ＝21，L=8，则用粗线围成图形的面积为:(21＋8÷２-1）×１=24(平方厘米)有Ｎ=5，L=１2，则用粗线围成图形的面积为:（5+1２÷２-1）×1=10（平方厘米)２4-10=14平方厘米4.如图1９-１5和图19－1６，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分,并连接这些分点．已知图19-1５中阴影部分的面积是２94平方分米.请问：图19-16中的阴影部分的面积是多少平方分米?答案：200平方分米【分析】在图１9-1５中,原正三角形被分成２５个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形,所以每个小正三角形的面积为294÷12=2４．5，所以原正三角形的面积为2４.5×２5=61２.5(平方分米)．而在图1９－16中，原正三角形被分成49块,而阴影部分含有1６块，所以阴影部分的面积为６1２．5÷49×16=2０0(平方分米)．5．如图1９－17，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？答案:32平方厘米【分析】在Ａ中做一条对角线，三角形会被平分为4部分，整个三角形面积为7２,在B中连接两条对角线，整个图形被分为9部分,B占四部分。

36×２=7２７２÷9×４＝32６.如图19-18所示,正六边形AＢCＤEF的面积是6平方厘米,M是ＡB中点，N是ＣD中点,P 是EＦ中点．请问:三角形MNP的面积是多少平方厘米？答案：2.25平方厘米【分析】如下图,我们将图19－1８分成大小、形状相同的三角形，有正六边形AＢCDEF包含有2４个小正三角形,而阴影部分ＭＮP包含有9个小正三角形.正六边形ABＣＤEF的面积为6,所以每个小正三角形的面积为6÷24=14,所以三角形ＭNP的面积为９×14=2.２5(平方厘米）.7．图19-19中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?答案:18平方厘米【分析】先算两个正方形面积４×４+6×６=52,再算两个空白三角形面积６×6÷２=18 4×(４+6)÷2=20 最后算左上角小阴影三角形面积4×(6-4)÷2=４52-18-2０+4=18８．图19-20中，三角形A ＢC 和ＤＥＦ是两个完全相同的等腰直角三角形,其中DF 长9厘米,CF 长３厘米,求阴影部分的面积.答案:27平方厘米【分析】 如图(ａ)，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形.△ABC 占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形,S ABC =9×９÷2=40.5(平方厘米),所以阴影部分的面积为40．5÷9×６=２7(平方厘米)9．图１9-21是一个边长为l 米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.５米,Ａ为上底的中点,Ｂ为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高,长为0.5米，C Ｄ长为０.3米．图中阴影部分的面积是多少平方米?答案:1724平方米 【分析】：将下图中一些点标上字母．延长ＡB 交正方形边E Ｆ于Ｈ点我们先求出梯形JI ＣK 与正方形ＩFEC 的面积和,再求出三角形A ＦH 与梯形AHED 的面积和,将前者与后者做差所得到的值即为所求阴影部分的面积JICK S 梯形=12×（1．５+1)×0.5=0.6２５，IFEC S 正方形=１×1=1．AFH S =12×AH ×ＦH=12×(A Ｂ+BH ）×(12ＦE)＝ 12×(0.5+1)-(12×1)=0．3７5，AHED S 梯形=12×(AH+DE)×HE=12×(AB+BH+CE -CD ）×（12FE)＝12×(0.5+1+1-13)×（12×１）=1324． 有S 阴影=JICK S 梯形+IFEC S 正方形-AFH S－AHED S 梯形＝0.６25＋ｌ-0.37５-1324=1724(平方米).即阴影部分的面积为1724平方米．10．在图１9-22中,每一个小正方形的面积都是1平方厘米．用粗线围成的图形面积是多少平方厘米?答案:６.5平方厘米【分析】 正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L 2－1)×单位正方形面积,其中Ｎ为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数．有N ＝4，Ｌ=7,则用粗线围成图形的面积为：（4+72-１)×1=６.5(平方厘米)11.如图１9-2３,正方形网格的总面积等于９6平方厘米,求阴影图形的面积.答案:38平方厘米【分析】 先算每个小正方形面积：96÷（６×８）＝２平方厘米。