第7章 气体动理论7-1 氧气瓶的容积为32L ，瓶内充满氧气时的压强为130atm 。

若每小时需用1atm 氧气体积为400L 。

设使用过程中保持温度不变，问当瓶内压强降到10atm 时，使用了几个小时? 分析 氧气的使用过程中，氧气瓶的容积不变，压强减小。

因此可由气体状态方程得到使用前后的氧气质量。

进而将总的消耗量和每小时的消耗量比较求解。

解 已知123130atm,10atm,1atm;p p p === 1232L,V V V ===3400L V =。

质量分别为1m ，2m ，3m ,由题意可得:11m pV RT M = 22mp V RT M =233mp V RT M=所以一瓶氧气能用小时数为: ()121233313010329.6(1.0400m m p V p V n m p V -⨯--====⨯h)7-2 一氦氖气体激光管，工作时管内温度是 27C ︒。

压强是2.4mmHg ，氦气与氖气的压强比是7:1.求管内氦气和氖气的分子数密度.分析 先求得氦气和氖气各自得压强，再根据公式p nkT =求解氦气和氖气的分子数密度。

解:依题意, n n n =+氦氖， 52.41.01310Pa 760p p p =+=⨯⨯氦氖；:7:1p p =氦氖 所以552.10.31.01310Pa, 1.01310Pa 760760p p =⨯⨯=⨯⨯氦氖, 根据 p nkT =，得()5223232.1760 1.01310 6.7610(m )1.3810300p n kT --⨯⨯===⨯⨯⨯氦氦 2139.6610(m )P n kT-==⨯氖氖7-3 氢分子的质量为243.310-⨯g 。

如果每秒有2310个氢分子沿着与墙面的法线成︒45角的方向以5110cm s -⋅的速率撞击在面积为22.0cm 的墙面上,如果撞击是完全弹性的,试求这些氢分子作用在墙面上的压强.分析 压强即作用在单位面积上的平均作用力，而平均作用力由动量定理求得。

解：单位时间内作用在墙面上的平均作用力为：2cos 45F N m =︒v所以氢分子作用在墙面上的压强为27522342 3.3101010102cos 4522330(Pa)210F m N p S S---⨯⨯⨯⨯︒====⨯v7-4 一个能量为1210eV 的宇宙射线粒子,射入一氖管中,氖管中含有氦气0.10mol,如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收而变为热运动能量,问氖气的温度升高了多少? 分析 对确定的理想气体，其分子能量是温度的单值函数，因此能量的变化对应着温度的变化。

由能量守恒求解氖气的温度变化。

解: 依题意可得:23121930.1 6.0210 10 1.6102k T -⨯⨯⨯∆=⨯⨯ 氖气的温度升高了771.610 1.2810(K)0.1 6.02 1.5 1.38T --⨯∆==⨯⨯⨯⨯ 7-5 容器内储有1mol 某种气体。

今自外界输入22.0910J ⨯热量,测得气体温度升高10K ，求该气体分子的自由度。

分析 理想气体分子的能量只与自由度和温度有关。

解：理想气体的内能2AiE N k T ∆=∆ 所以，该气体分子的自由度为222 2.091056.02 1.3810A E i N k T ∆⨯⨯===∆⨯⨯7-6 2.0g 的氢气装在容积为20L 的容器内,当容器内压强为300mmHg 时,氢分子的平均平动动能是多少?分析 根据已知条件，由状态方程可求得温度，进而用公式32kt kT ε=求平均平动动能。

解：根据状态方程mpV RT M =代入数值 T ⨯⨯=⨯082.02.220760300 解得96.3K T =氢分子的平均平动动能为232133 1.381096.3210(J)22kt kT ε--==⨯⨯⨯=⨯7-7 一容器内储有氧气，其压强为51.01310Pa ⨯，温度为27 ℃，求： (1)气体的分子数密度； (2) 氧气的密度； (3) 分子的平均平动动能；(4) 分子间的平均距离 (设分子间均匀等距排列)。

分析 在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体．因此，可由理想气体的状态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解．又因为可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为30d V =，由分子数密度的含意可知01/v V n =，d 即可求出．解 (1) 单位体积分子数253/ 2.4410m v n p kT ==⨯(2) 氧气的密度-31.30kg m m pM V RT ρ===⋅ (3) 氧气分子的平均平动动能21k 3 6.2110J 2kT ε-==⨯(4) 氧气分子的平均距离93.4510m d -==⨯ 通过对本题的求解，我们可以对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量的数量级有所了解．7-8有33210 m ⨯刚性双原子分子（理想气体），其内能为26.7510 J ⨯。

(1) 试求气体的压强；(2) 设分子总数为 225.410 ⨯个，求分子的平均平动动能及气体的温度．分析 将能量公式2i E NkT =结合状态方程Np kT V=求解气体的压强。

由能量公式2iE N kT =求解气体的温度。

再由气体的能量为单个分子能量的总和求解单个分子的平均平动动能。

解：(1) 设分子数为N ，由能量公式2iE NkT = 再根据状态方程得52 1.3510Pa N E p kT V iV ===⨯ (2) 分子的平均平动动能 21337.510J 25kt E kT N ε-===⨯ 因为kT NE 25= 所以气体的温度为2362K 5ET Nk=＝7-9容器内有 2.66kg m =氧气，已知其气体分子的平动动能总和为54.1410J k E =⨯，求：(1) 气体分子的平均平动动能； (2) 气体的温度．分析 气体的能量为单个分子能量的总和。

由理想气体的质量和摩尔质量求出总分子数目。

则分子的平均平动动能等于气体平动动能总和除以总分子数目。

进而利用公式32kt kT ε=求气体温度。

根据1mol 理想气体的质量和分子数目可求得总分子数目。

解：(1) 由理想气体的质量与总分子数目成正比，得Am N M N = 所以AmN N M=气体分子的平均平动动能21A8.2710J k Kkt E M E N mN ε-===⨯ (2) 气体的温度2400K 3ktT kε== 7-10 2L 容器中有某种双原子刚性气体,在常温T ,其压强为51.510Pa ⨯,求该气体的内能.分析 内能公式与状态方程结合可将内能公式表述为压强与体积的函数。

解：根据状态方程mpV RT M =， 理想气体的内能为 53551.510210750(J)222m i E RT pV M -===⨯⨯⨯⨯=7-11 一容器内储有氧气,测得其压强为1atm,温度为300K.试求： （1）单位体积内的氧分子数； （2）氧气的密度； （3）氧分子质量；（4）氧分子的平均平动动能。

分析 应用公式p nkT =即可求解氧分子数密度。

应用状态方程求出质量密度。

结合氧分子数密度和质量密度求出氧分子的质量。

最后利用公式直接求解氧分子的平均平动动能。

解：(1) 5253231.013102.4510(m )1.3810300p n kT --⨯===⨯⨯⨯ (2) 5331.013103210 1.30(k g m )8.31300pM RT ρ--⨯⨯⨯===⋅⨯ (3) 26251.30 5.310(kg)2.4510m nρ-===⨯⨯(4)232133 1.3810300 6.2110J 22kt kT ε--==⨯⨯⨯=⨯()7-12温度为273K 时，求(1) 氧分子的平均平动动能和平均转动动能； (2) 3410kg -⨯氧气的内能.分析 分子的能量只与自由度与温度有关，分析分子的平动自由度和转动自由度即可求解平均平动动能和平均转动动能。

而内能只需根据内能公式求解。

解：氧分子为双原子分子。

其平动自由度3t =,转动自由度2r =.当视为刚性分子时,振动自由度0s =.所以:(1) 氧分子的平均平动动能和转动动能分别为:2321331.3810273 5.6510(J)22kt kT ε--==⨯⨯⨯=⨯2321221.3810273 3.7710(J)22kr kT ε--==⨯⨯⨯=⨯(2) 当3410kg m -=⨯时,其内能为:()32341058.312737.0910(J)232102t r m E RT M --+⨯=⋅=⨯⨯⨯=⨯⨯7-13 容积为1m 3 的容器储有1mol 氧气，以1s m 15-⋅=v 的速度运动，设容器突然停止，其中氧气的80％的机械运动动能转化为气体分子热运动动能.试求气体的温度及压强各升高了多少？分析 容器作匀速直线运动时，容器内分子除了相对容器作杂乱无章的热运动外，还和容器一起作定向运动.其定向运动动能(即机械能)为212mv .按照题意，当容器突然停止后，80％定向运动动能转为系统的内能.对一定量理想气体内能是温度的单值函数，则有关系式：T R M m m E Δ25%8021Δ2⋅=⋅⎪⎭⎫⎝⎛=v 成立，从而可求ΔT .再利用理想气体状态方程，可求压强的增量.解 由分析知215Δ0.8Δ22m E m R T M ==v ，其中m 为容器内氧气质量.氧气的摩尔质量为213.210kg mol M --=⨯⋅，解得2220.80.8 3.21015Δ0.14(K)558.31M T R -⨯⨯⨯===⨯v当容器体积不变时，由mpV RT M =得 8.310.14ΔΔ1 1.16(Pa)1m R p T M V ⨯==⨯=7-14 已知()f v 是气体速率分布函数。

N 为总分子数，n 为单位体积内的分子数。

试说明以下各式的物理意义。

（1）()d Nf v v ； （2）()d f v v ； （3）21()d Nf ⎰v v v v ； （4）21()d f ⎰v v v v ；分析 根据速率分布函数d ()d Nf N =v v中的各个物理量的概念（有的问题需结合积分上下限）比较容易理解各种公式的含义。

解：（1）()d Nf v v 表示分布在（~d +v v v ）]范围内的分子数（2）()d f v v 表示（~d +v v v ）范围内的分子数占总分之数的百分比 （3）21()d Nf ⎰v v v v 表示速率在（12v v ）之间的分子数（4）21()d f ⎰v v v v 表示速率在12v v 之间的分子平均速率。

7-15 N 个粒子的系统的速率分布函数为 d ()d Nf C N ==v v0(0,c <<为常数）v v(1)根据归一化条件定出常数C ; (2) 求粒子的平均速率和方均根速率.分析 由分布函数定义，用归一化条件定出常数C 。