ArcGIS中的实现： Polynomial Interpolation趋势面分析
Global Polynomial (GP) is a quick deterministic interpolator that is smooth (inexact). There are very few decisions to make regarding model parameters. It is best used for surfaces that change slowly and gradually. However, there is no assessment of prediction errors and it may be too smooth. Locations at the edge of the data can have a large effect on the surface. There are no assumptions required of the data. Local Polynomial (LP) is a moderately quick deterministic interpolator that is smooth (inexact). It is more flexible than the global polynomial method, but there are more parameter decisions. There is no assessment of prediction errors. The method provides prediction surfaces that are comparable to kriging with measurement errors. Local polynomial methods do not allow you to investigate the autocorrelation of the data, making it less flexible and more automatic than kriging. There are no assumptions required of the data.
（二）趋势面参数的确定（最小二乘法）
使每一个观测值与趋势值的残差平方和为最小，即
ˆ Q ( zi zi ) min
i 1
n
2
按建立多元线性方程的方法，使Q对系数b0，b1，…，bn求 偏导，并令这些偏导数等于零，得趋势面的正规方程组，解 正规方程组，即可求出系数，从而得到趋势面方程
Polynomial Interpolation趋势面插值算法
参考《地理信息系统算法基础》张宏 P163-166 基本思想：用多项式表示的线或面按最小二乘法原理 对数据点进行拟合。用多项式方程作为趋势面方程是 因为任何函数在一定范围内总可以用多项式来逼近， 并可调整多项式的次数来满足趋势面分析的需要，一 般来说，多项式的次数越高则趋势值越接近于观测值， 而剩余值越小。
样条函数spline function
一类分段（片）光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数。 简称样条。 样条一词来源于工程绘图人员为了将一些指定点连接成一条光顺曲 线所使用的工具，即富有弹性的细木条或薄钢条。由这样的样条形成 的曲线在连接点处具有连续的坡度与曲率。 分段低次多项式,在分段处具有一定光滑性的函数插值就是模拟以上 原理发展起来的，它克服了高次多项式插值可能出现的振荡现象，具 有较好的数值稳定性和收敛性，由这种插值过程产生的函数就是多项 式样条函数。样条函数的研究始于20世纪中叶，到了60年代它与计算 机辅助设计相结合，在外形设计方面得到成功的应用。样条理论已成 为函数逼近的有力工具。它的应用范围也在不断扩大，不仅在数据处 理、数值微分、数值积分、微分方程和积分方程数值解等数学领域有 广泛的应用，而且与最优控制、变分问题、统计学、计算几何与泛函 分析等学科均有密切的联系。
Thin-plate splines薄板样条函数法
规则样条和张力样条区别
规则样条允许用来控制表面的平滑度。一般需要计 算插值表面的二阶导数时，使用规则样条。其实现 过程与张力样条类似，不同之处在于规则样条中的 权重值用来控制表面的平滑度。权重指定三阶导数 的系数，以使表面的曲率最小。权重值越大，表面 越平滑，一阶导数（坡度）表面也越平滑。通常， 权重值取0~0.5。 张力样条（Tension）设置加权值（张力样条中的 加权值，是用来调整表面弹力的值。当加权值为0 时，为标准的薄板样条插值。加权值越大，表面弹 性越大。典型的加权值为0、1、5和10）；
样条函数”亦称“样条插值函数”实际上是一种改进的分段插值函数它不 同一般分段插值函数在各分段点处存在间断而是能保持整个曲线的光滑并 且保留分段插值函数的低次性特点 该方法适用于渐变的表面属性，如高程、水深、污染聚集度等。不适合在 短距离内属性值有较大变化的地区，那样估计结果会偏大。
Thin-plate splines薄板样条函数法
Density Estimation密度估算 （kernel/line/point)
简单密度估计步骤：
①将格网置于点分布图上 ②将落在每个单元的点值相加 ③将单元点值总和除以单元大小，即得每个单元的密度
核密度估算：核密度估计是一种统计方法,是利用已知的数据
点进行估计。方法是在每一个数据点处设置一个核函数,利用该核函数 (概率密度函数)来表示数据在这一点邻域内的分布。对于整个区域内的 所有要计算密度的点,其数值可以看作是其邻域内的已知点处的核函数 对该点的贡献之和。因此,对于任意一点x,邻域内的己知点xi 对它的贡 献率取决于x到xi 的距离,也取决于核函数的形状以及核函数取值的范围 (称为带宽)设核函数为K,其带宽为h,则x点处的密度估计为:
核密度估算：背景
参考 核密度估计法在西藏人口空间分布研究中的应用.pdf
传统的人口密度分析方法今天看来还存在一定的局限性,也就是这种称 为“等值区域法”的人口密度统计方法。
其前提假设条件是:人口在各个统计单元(例如:各级行政区域)内是均 匀分布的。 各个统计单元的人口密度的计算是通过用该单元的统计人口总数除以 该单元的面积得到的。 按这种方法生成的西藏自治区分地区人口密度统计图,其局限性在于: 一方面造成各个统计单元(地区)内部人口密度均一,而另一方面不同的 统计单元之间人口密度呈现阶梯状不连续现象,这和实际的人口密度分 布现象是不符合的。 运用核密度估计方法,对人口密度的空间分布进行计算,使得人口密度 分布呈现连续分布的自然状态。对称的单峰值在0处的光滑函数,其中,高 斯函数使用最为普遍,同时也可以使用如表1所示的各种函数作为核函 数
上述的核密度函数中,带宽的选择是关键,它决定了生成的密度图形 的光滑性。带宽选择的小,则生成的图形比较尖锐;带宽选择的大,生成 的图形则比较平缓,会掩盖密度的结构。所以,带宽的选择需要经过多次 试验研究才能最终确定。
径向基函数Radial basis function
以xc为中心，x到xc的径向距离为半径所形成的‖x-xc‖构成的函数 系(是x到xc之间欧氏距离的单调函数 , 可记作 k(||x-xc||) )称为径向 基函数。其作用往往是局部的 , 即当x远离xc时函数取值很小。 考虑径向基函数插值在一些不同领域的来源: 最早可能是Krige ,他在1951 年把矿藏的沉积看成是一个各向同性 的稳定的随机函数的实现. 从而导出了广泛应用于矿藏分析的Kriging 方法. 在这方面的进一步深入的理论工作主要是由Mathron 完成的. 1971 年Hardy 用径向基函数Multi-Quadric来处理飞机外形设计 曲面拟合问题, 取得了非常好的效果. 1975 年Duchon 从样条弯曲能最小的理论出发导出了多元问题的 薄板样条. 这些从不同领域导出的方法, 事实上都是径向基函数的插值方 法, 他们所用的径向基函数有: 1)Kriging 方法的Gauss 分布函数 2)Hardy 的Multi2Quadric多二次曲面函数 3)Duchon 的薄板样条
趋势面参数的确定（最小二乘法）
（三）趋势面拟合程度的检验
F检验
U为回归平方和，Q为 残差平方和（剩余平方 和），p为多项式的项 数（但不包括常数项b0）
U/p F Q /(n p 1)
拟合指数I
( zi zi ) 2 ˆ 100% I 1 ( z z )2 i
Splines for spatial interpolation are conceptually similar to splines for line smoothing except that in spatial interpolation they apply to surfaces rather than lines. Tine-plate splines create a surface that passes through the points and has the least possible change in slope at all points. 薄板样条函数以最小曲率面拟合控制点。薄板样条函数的估算由下式 计算：
Lecture 5
地统计空间插值算法1
Polynomial Interpolation趋势面插值算法 IDW Interpolation反距离权重法 Density Estimation密度估算（kernel/line/point) Thin-plate splines薄板样条函数法
(regularized splines规则样条/regularized splines with tension规则张力样条
核密度估算：
参考 核密度估计法在西藏人口空间分布研究中的应用.pdf
人口密度是一个在二维空间分布的变量,所以,上述的核密度函数可以扩 展到二维的情况,形成一个双变量的密度函数。在ArcGIs的空间插值功 能里,对于二维数据,核函数通常表示为