练习1.如图在铁路建设中需要确定隧道两端A,B的 距离，请你设计一种测量A,B距离的方法？
B
取某一点C , 测量得出 AC, BC距离为b, a以及 角C为，则
由余弦定理得：
A

a
b
C
AB a b 2abcos
2 2
要测量对岸A、B两点之间的距离，选取 【例1】 相距 3 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°, ∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B之间的距离.
思维启迪 分析题意，作出草图，综合运用正、
余弦定理求解.
解 如图所示在△ACD中，
∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°， ∴AC=CD= 3km. 在△BCD中，∠BCD=45°， ∠BDC=75°，∠CBD=60°.
BC 3 sin 75 sin 60 6 2. 2
在△ABC中，由余弦定理，得
解:设缉私船用t h在D处追上走私船， 则有CD=10 3 t，BD=10t. 在△ABC中，∵AB= 3 -1，AC=2， ∠BAC=120°, ∴由余弦定理， 得BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC
=（ 3 -1）2+22-2×（ 3 -1）×2×cos 120°=6, 即∠CBD=90°+30°=120°，
2 2
10 A
50 40

BC 28
∴我舰的追击速度为14海里/小时，
B
又在△ABC中由正弦定理得：
AC BC sin B sin A
AC sin A 5 3 故 sin B BC 14

B 38
故我舰航行的方向为北偏东 50 38 12
思想方法 感悟提高
BC cos sin 解RtABD, 得，BD AB sin BAD sin( ) 28cos30 sin 60 42(m) sin(60 30 )
CD=BD-BC=42-28=14(m) 答：山的高度约为14米。
题型三 与角度有关的问题 [例3].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A
AB 2 ( 3)2 ( 6 2 )2 2 3 6 2 cos 75 2 2 3 2 3 3 5, AB 5(km). A、B之间的距离为 5 km .
2.实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标
视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 叫仰角,
3. =200tan 30°= 200 3
tan 30 200 , 3
在Rt△ABD中，AD= 200 3 ，∠BAD=30°，
3
则BD=AD· tan∠BAD=
BC CD BD 200 200 400 . 3 3
200 3 3
练习1: 在山顶铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角α＝ 60° ，在 塔底C处测得A处的俯角β＝30°。 已知铁塔BC部分的高为28m，求 出山高CD. 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念
建立三角函数模型.
2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个 平面上利用三角函数求值. 3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.
题型二 与高度有关的问题 [例2].在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的
俯角分别是30°，60°,则塔高为
A . 400 m 3 B . 400 3 m 3 C. 200 3 m 3
由已知：在Rt△OAC中，OA=200， ∠OAC=30°，则OC=OA· tan∠OAC
在△BCD中，由正弦定理，得
sin BCD BD sin CBD 10t sin120 1 , CD 2 10 3t
6 2
2sin120 2 ∴BC= 6 ， 由正弦定理， sin ABC ABC 45
∴∠BCD=30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追上走
目标视线在水平视线 下方 叫俯角（如图①）.
(2)方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角，
如B点的方位角为α（如图②）.
3、方向角：指北或指南 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角，叫 方向角，如图
3、坡角：坡面与水平面所成
的角的度数. 4、坡度：坡面上升量与前进
量的比值.
1.2 正弦定理余弦定 理应用举例
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量: ①距离问题、②高度问题、③角度问题、 ④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.
题型一 与距离有关的问题
引例：如图，A,B两点在河两岸，现有经纬仪和 钢卷尺两种工具，如何测量A,B两点距离？
通过测量得： AC 50m, A 750 , C 500 , 求AB的距离（精确到 0.1m）
练习
2.我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正 由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ C
解：如图，在△ABC中由余弦定理得：
BC 2 AC 2 AB 2 2 AB AC cos BAC 1 20 12 2 12 20 ( ) 2 784
B
C

A
D
解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根 BC AB 据正弦定理， sin( ) sin(90 )
BC sin(90 ) BC cos 所以，AB sin( ) sin( )
3 1
n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的
方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3
n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以
10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,
问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 分析 如图所示，注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC中求出BC， 再在△BCD中求∠BCD.