哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高三第一次联合模拟考试理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数21ii+的模为( ) A.12B.2C.2D.22.已知集合{}29A x y x ==-，{}B x x a =≥，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A.(],3-∞-B.(),3-∞-C.(],0-∞D.[)3,+∞3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A.14B.12C.13D.234.已知1sin 33a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 6a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A.13B.13-C.22D.2-5.中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,4-，则它的离心率为( ) A.5B.2C.3D.56.()52121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是( )A.12B.12-C.8D.8-7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A.32B.92C.1D.38.已知函数()()3cos 0f x x x ωωω=+>的图象的相邻两条对称轴之间的距离是2π，则该函数的一个单调增区间为( )A.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入8521m=，6105n=，则输出m的值为( )A.148B.37C.333D.010.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD－，该四棱锥的侧面积为43，则该半球的体积为( )A.43πB.23π82π42π11.已知抛物线2:2C y x=，直线1:2l y x b=-+与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是( )A.15- B.25- C.45- D.85-12.在ABC△，90C=∠°，24AB BC==，,M N是边AB上的两个动点，且1MN=，则CM CN⋅u u u u r u u u r的取值范围为( )A.11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[]5,9 C.15,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC△中，2AB=，7AC=23ABCπ=∠，则BC=______________.14.若,x y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1yx+的最大值为______________.15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A 、B 、C ，已知： ①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C 学科； ③在长春工作的教师教A 学科；④乙不教B 学科. 可以判断乙教的学科是______________.16.已知函数()21ln 2f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，给出以下几个命题：①010x e <<；②01x e>；③()000f x x +<；④()000f x x +>；其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项数列{}n a 满足：2423n nn S a a =+-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设211n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[]20,10--，需求量为100台；最低气温位于区间[)25,20--，需求量为200台；最低气温位于区间[)35,25--，需求量为300台。

公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表： 最低气温(℃) [)35,30--[)30,25--[)25,20--[)20,15--[]15,10--天数112536162(1) 求11月份这种电暖气每日需求量X (单位：台)的分布列；(2) 若公司销售部以每日销售利润Y (单位：元)的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？19.如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA PD =，底面ABCD 为矩形，点M 、E 、N 分别为线段AB 、BC 、CD 的中点，F 是PE 上的一点，2PF FE =.直线PE 与平面ABCD 所成的角为4π.(1)证明：PE ⊥平面MNF ；(2)设AB AD =，求二面角B MF N --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过抛物线2:4M x y =的焦点F ，1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且1126F F F F ⋅=u u u u r u u u u r.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与抛物线M 相切，且与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB △面积的最大值. 21.已知函数()x f x e =，()ln g x x =，()h x kx b =+.(1)当0b =时，若对任意()0,x ∈+∞均有()()()f x h x g x ≥≥成立，求实数k 的取值范围；(2)设直线()h x 与曲线()f x 和曲线()g x 相切，切点分别为()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，其中10x <. ①求证：2x e >；②当2x x ≥时，关于x 的不等式()11ln 0a x x x x -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围.22.已知曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C的参数方程为：132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，点()3,0A .(1)求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； (2)设曲线1C 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，求AP AQ ⋅的值. 23.已知不等式25211x x ax -++>-. (1)当1a =时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为R ，求a 的范围.三省三校一模考试（数学理科）答案 一．选择题：CABBA BDABD CA 二．填空题： 13.1 14.3215.C 16.①③ 三．解答题：17. （本题满分12分）解：（Ⅰ）令1n =，得2111423a a a =+-，且0n a >，解得13a =.当2n ≥时，221114422n n n n n n S S a a a a ----=-+-，即2211422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得11()(2)0n n n n a a a a --+--=，Q 0n a >，12n n a a -∴-=， 所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列， 故3(1)221n a n n =+-⨯=+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：22111111()1444(1)41n n b a n n n n n n ====--+++， 12+n n T b b b ∴=++L 11111111(1)(1)422314144nn n n n =-+-++-=-=+++L .18．（本题满分12分）解：（1）由已知X 的可能取值为100,200,300 X 的分布列为（2） 由已知 ①当订购200台时，E()[20010050(200100)]0.22002000.835000Y =⨯-⨯-⨯+⨯⨯=(元) ② 当订购250台时，E()[20010050(250100)]0.2[20020050(250200)]0.4Y =⨯-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯+[200250]0.437500⨯⨯=（元）综上所求，当订购250台时，Y 的数学期望最大，11月每日应订购250台。

19．（本题满分12分）.解：（Ⅰ）取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP AD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，4PEO π∠=，OP OE =.方法一：因为//MN BC ，//OE AB ，所以MN OE ⊥，所以MN PE ⊥.又144EF PE ==，12EQ OE =，所以4EF EQ EO EP ==，所以EFQ ∆∽EOP ∆， 所以2EFQ EOP π∠=∠=，所以PE FQ ⊥.且MN FQ Q =I ，所以PE ⊥平面MNF .方法二：取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ,连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面AC ，4PEO π∠=，OP OE =.又因为//MN BC ，//OE AB ，所以MN OE ⊥，所以MN PE ⊥.以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.设AB m =，AD n =，则()0,0,P m ，()0,,0E m ，,,022n m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,44m m F ⎛⎫⎪⎝⎭， 于是()0,,PE m m =-u u u r,,,244n m m MF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r .所以0PE MF ⋅=u u u r u u u u r，所以PE MF ⊥，且MN MF M =I ，所以PE ⊥平面MNF（Ⅱ）取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面AC ，所以OP ⊥平面AC ，4PEO π∠=，OP OE =.以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系O xyz -.设AB AD m ==，则()0,0,P m ，()0,,0E m ，,,02m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,022m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,44m m F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 于是()0,,PE m m =-u u u r ，0,,02m BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，,,244m m m BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u ur .设平面BMF 的一个法向量为=1n (),,x y z ，则00BM BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11u u u u r u u u rn n ， 从而020244my m m m x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令1x =,得()1,0,2=1n .而平面NMF 的一个法向量为=2n ()0,,PE m m =-u u u r.所以cos ,⋅<>==121212=n n n n n n 20．（本题满分12分）.解: （Ⅰ）(0,1),1F b ∴=Q ，又1126F F F F ⋅=u u u r u u u u r，226,c c ∴==又222,2a b c a -=∴=，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）设直线l 与抛物线相切于点00(,)P x y ，则2000:()42x x l y x x -=-，即20024x x y x =-， 联立直线与椭圆200222414x x y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，整理得22340001(1)404x x x x x +-+-=. 由240016(1)0x x ∆=+->，得2008x <<+设1122(,),(,)A x y B x y ，则：34001212220016,14(1)x x x x x x x x -+==++.则120|||AB x x =-==原点O 到直线l的距离2d =故OAB ∆面积1||2S d AB =⋅=202000111x x +=≤=+， 当且仅当24400016(1)x x x +-=，即204x =+取等号，故OAB ∆面积的最大值为1. 21．（本题满分12分）解（Ⅰ）:当0b =时：()h x kx = 由()()()f x h x g x ≥≥知：ln x e kx x ≥≥依题意：ln x e xk x x ≥≥对(0,)x ∈+∞恒成立 设/2(1)()(0),()x x e e x m x x m x x x -=>∴= 当(0,1)x ∈时/()0m x <；当(1+)x ∈∞，时/()0m x >，min [()](1)m x m e ∴==设/2ln 1ln ()(0),()x xn x x n x x x -=>∴= 当(0,)x e ∈时/()0n x >；当(+)x e ∈∞，时/()0n x <，max 1[()]()n x n e e∴== 故：实数k 的取值范围是1[]e e， （Ⅱ）由已知：()'x fx e =，()'1g x x=①：由()1111x xy e e x -=-得：()()1111xxh x e x e =+-⋅ 由()2221ln y x x x x -=-得：()221ln 1h x x x x =+- 故()11212111ln x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩Q 10x <，()1110x e x ∴-<，2ln 1x ∴>，故：2x e >②：由①知：12x x e-=，()11111xe x x -=+且21x e >>由()11ln 0a x x x x -+-≥得：()11ln a x x x x -≥-，()2x x ≥ 设()()2ln G x x x x x x =-≥()'1ln 1ln 0G x x x =--=-<()G x ∴在)2,x +∞⎡⎣为减函数，()()2222max ln G x G x x x x ∴==-⎡⎤⎣⎦由()12221ln a x x x x -≥-得：()()12211ln a x x x -≥-∴()()1111a x x -≥-又10x <1a ∴≤22.解：（本小题满分10分） （Ⅰ）4cos ρθ=Qθρρcos 42=∴222cos ,sin x y x y ρρθρθ=+∴==Q x y x 422=+∴1C ∴的直角坐标方程为:x y x 422=+13,23),2x t y x y ⎧=-⎪⎪∴=-⎨⎪=⎪⎩Q 2C ∴的普通方程为)3(3--=x y （Ⅱ）将x y x t y t x 4,23,21322=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=代入 得：)213(443)213(22t t t -=+-t t t 212932-=+-∴ 032=--∴t t3,12121-=⋅=+∴t t t t由t 的几何意义可得：32121===⋅⋅t t t t AQ AP 23．（本小题满分10分）（Ⅰ）当1a =时：不等式为:25211x x x -++>-等价于：:11552222252112521125211x x x x x x x x x x x x ⎧⎧⎧<--≤≤>⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪-+-->--+++>--++>-⎩⎩⎩或或 解得：:11552222x x x <--≤≤>或或 所以：不等式的解集为:∞∞（-,+) （Ⅱ）设函数()2521f x x x =-++=1442156225442x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩设函数()1g x ax =-过定点（0，-1） 画出),()f x g x （的图像，由数形结合得a 的范围是14[4,)5-2018年三省三校一模考试（数学理科）答案 一．选择题：CABBA BDABD CA 二．填空题： 13.1 14.3215.C 16.①③ 三．解答题：17. （本题满分12分）解：（Ⅰ）令1n =，得2111423a a a =+-，且0n a >，解得13a =. ……1分 当2n ≥时，221114422n n n n n n S S a a a a ----=-+-，即2211422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得11()(2)0n n n n a a a a --+--=，Q 0n a >，12n n a a -∴-=， ……4分 所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，故3(1)221n a n n =+-⨯=+. …….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：22111111()1444(1)41n n b a n n n n n n ====--+++， ……9分12+n n T b b b ∴=++L 11111111(1)(1)422314144nn n n n =-+-++-=-=+++L . ……12分18．（本题满分12分）解：（1）由已知X 的可能取值为100,200,300 X 的分布列为…….4分（2） 由已知①当订购200台时，E()[20010050(200100)]0.22002000.835000Y =⨯-⨯-⨯+⨯⨯=(元) …….7分② 当订购250台时，E()[20010050(250100)]0.2[20020050(250200)]0.4Y =⨯-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯+[200250]0.437500⨯⨯=（元）…….11分综上所求，当订购250台时，Y 的数学期望最大，11月每日应订购250台。