x3 x1+i普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学(三)本试卷满分150 分，考试时间。

120 分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．一、选择题：本题共12 小题。

每小题5 分。

共60 分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，则下列运算结果为纯虚数是A.(1+i )i -iB.(1-i)i -i⎪⎧⎫⎪ C．(1+i )i +D．(1-i)i +i1+ii2.已知集合A= ⎨x⎩ = 1⎬，B= {x ax -1 = 0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值集合为⎪⎭A．{0,1} B．{-1, 0} C．{-1,1} D．{-1, 0,1}3.已知某科研小组的技术人员由7 名男性和4 名女性组成，其中3 名年龄在50 岁以上且均为男性．现从中选出两人完成一项工作，记事件A 为选出的两人均为男性，记事件B 为选出的两人的年龄都在50 岁以上，则P (B A)的值为1 3 4 5A．B．C．D．7 7 7 74.运行如图所示的程序框图，当输入的m=1 时，输出的m 的结果为16，则判断框中可以填入A．m < 15? B．m <16 ?C．m > 15? D．m > 16 ?-1 223bπ⎪⎩(x25.已知双曲线222= 1(a > 0, b > 0 )，F1，F2是双曲线的左、右焦点，A(a ，0)，Pa b为双曲线上的任意一点，若SPF A= 2SPF A，则该双曲线的离心率为A．B．2 C．D．36.若a>1>b>0，－1<c<0，则下列不等式成立的是A.2b < 2-aB.logab < logb (-c) C.a2 <b2 D.c2 < log a7.已知等差数列{a }的前n 项和为S ，且a +a =10，若点P (a ,S)在函数y =mx2 的n n 2 4 3 5图像上。

则过点P(a3,S5)的切线方程为A．x -y + 20 = 0 B．x +y - 30 = 0⎧x ≤tC．10x -y - 25 = 0 D．10x +y - 75 = 08.已知实数x, y 满足不等式组⎨x +y ≥ 2⎪x - 2 y + 2 ≥ 0，其中t=2⎰0sin xdx，则x2 +y2 的最大值是20A．5 B．25 C．20 D．99.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，题中描绘的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某天某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为6 寸，则这天该地的降雨量约为(精确到0．01寸)(注：平地降雨量等于器具中积水体积除以器具口面积．参考公式：台体的体积V =1S3 上+S下+ ，其中S上，S 下分别表示上、下底面的面积，h 为高)A．1．56 寸B．1．66 寸C．1．76 寸D．1．86 寸yS上S下33 10. 如图，在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，D ，E 分别为 BB 1，A 1C 1 的中点，则异面直线 AD ，CE 所成角的余弦值为 1 1 4 A ．B ．C ．D ．225511. 如图，由抛物线y 2= 8x 与圆 E ：( x - 2)2+ y 2 = 9 的实线部分构成图形Ω ，过点 P (2，0)的直线始终与图形Ω 中的抛物线部分及圆部分有交点，则 AB 的取值范围为 A ．[2，3]B ．[3，4]C ．[4，5]D ．[5，6]12．已知函数 f ( x ) = sin (ωx +ϕ)⎛ω> 0, ϕ < π⎫ 2 ⎪ 的图像与 x 轴的两个相邻交点分别为⎝ ⎭O 1，O 2(其中 O 2 在 O 1 的右边)，曲线 f ( x ) 上任意一点 A ( x 0 , y 0 ) 关于点 O 1，O 2 的对称点 π1分别为 A 1 ( x 1 , y 1 ), A 2 (x 2 , y 2 ) ，且 x 2 - x 1 = π，且当 x 0 =时，有 y 0 = ．记函数 f ( x )62的导函数为 f '( x ) ，则当 f '(α) - 2 f (α) = 1 时， cos 2α的值为 1 1 A.B ．431 C ．D ．12二、填空题：本题共 4 小题．每小题 5 分．共 20 分．13.在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点， BD = 2DC ，若 AD = λAB + μAC (λ,μ∈ R ) ，则λ+ μ=．14.已知正项等比数列{a } 的前 n 项和为 S ，且a = 1, a =4a，若对任意 n ∈ N *，不n n 1 53等式 S n + a n - k ≥ 0 (k ∈ Z ) 恒成立，则实数 k 的最大值为．15 ． 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 ， 对 于 任 意 的 实 数 x ， 都 有f ( x ) - f (2) = f (4 - x ) ， 且 当 0 ≤ x < 2 时 ， f ( x ) = ( x - 2)2， 则 方 程f ( x ) - log 2 x = 0 的解的个数为．16．甲、乙、丙、丁四人进行选择题解题比赛，已知每个选择题选择正确得 5 分，否则得 0 分．其测试结果如下：甲解题正确的个数小于乙解题正确的个数，乙解题正确的个数小于丙解题正确的个数，丙解题正确的个数小于丁解题正确的个数；且丁解题正确的2 ∑ ∑ 1 2 个数的 2 倍小于甲解题正确的个数的3 倍，则这四人测试总得分的最少分数为 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题．每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共 60 分． 17．(12 分)在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ,b , c , m = (cos A + sin A , c os C ), n = (-sin C ,cos A -sin A ), m ⋅ n = - .(1) 求角 B 的大小；π(2) 若C =3,b = 2，求S ∆ABC ．18．(12 分)某科研单位在改进某种材料配方的过程中，为了解其稳定性，需监控配制生产过程中的数据变化，检验员每天从实验记录的数据中随机抽取 10 个数据，并认为数据在正常状态下服从正态分布 N (μ，σ2)(1) 假设实验状态正常，记 X 为一天内抽取的 10 个数据在(μ- 3σ，μ+ 3σ) 外的实验次数，求 P ( X ≥ 1) 及 X 的数学期望．(2) 一天内抽检的数据中，如果出现了数据在(μ- 3σ，μ+ 3σ) 外的实验，就认为该实验存在问题，需对当天的实验配方进行调整． (i) 试说明上述监控实验过程方法的合理性．(ii) 下面是检验员在一天内抽取的 10 个实验的数据：2.953.12 2.96 3.01 2.98 2.91 3.13 3.02 2.22 2.04经计算得 x = 1 10 x i = 2.834,s = ⎛ 10 x i - 10x 2 ⎫ ⎪ ≈ 0.36 ，其中 10 i =1x i 为抽取的第 i 次实验数据， i = 1, 2,⋅⋅⋅,10 ．10 ⎝ i =1 ⎭用样本平均数 x 作为μ的估计值μ ，用样本标准差 s 作为σ的估计值σ ，利用估计值判 断是否需对当天的实验配方进行调整(精确到 0.01)．10 1∑ (10 x i - x i =1)22 1 2 3⎪ 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N (μ,σ2)，则P (μ- 3σ < Z < μ+ 3σ) ≈ 0.997 30.997 310 ≈ 0.973 ．19．(12 分)如图①，在四边形 PBCD 中，PB ∥CD ，∠PBC = 45，点 A 在边 PB 上，且满足 2PA=3AB ，AB=2CD ，AB= 如图②所示．BC ，O 为 AC 的中点．现将△PAD 沿 AD 翻折，使平面 P AD ⊥平面 ABCD ， (1) 证明：BC ⊥PO ．9(2) 点 E 在线段 BC 上，则是否存在点 E ，使二面角 G-PO-E 的余弦值为?若存在，求233出点 E 的位置；若不存在，请说明理由．20．(12 分)x 2 y 2 已知椭圆 C ： + = 1(a > b > 0)，四点P (1，1)，P (2, 0 ), P ⎛-1, 3 ⎫ ⎛ ⎪, P 4 1,3 ⎫ 中恰 a b有三点在椭圆 C 上． (1) 求椭圆 C 的标准方程．⎝2 ⎭⎝ 2 ⎭(2) 已知动直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F ，且与椭圆 C 交于 A ，B 两点，则在 x 轴上是否存在定点 Q ，使得OA ⋅QB = - 由．135 64恒成立?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理 2 21a 221．(12 分)已知函数 f ( x ) = ln (ax +1) +1(a > 0 ) ．2x(1) 当 a = 1 时，求函数 f( x ) 的单调区间；1(2) 设 g( x ) = x +，若∃x 0 ∈ [1,e ]，使得f 2x(x 0 )> g (x 0 ) 成立，求实数 a 的取值范围．(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)⎧⎪x = a + 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为⎨⎪ y = a - ⎩2 t , 2 2 t 2(t 为参数)．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ．(1) 写出直线 l 的普通方程和圆 C 的参数方程； (2) 若直线 l 与圆 C 相切于点 P ，求点 P 的直角坐标．23．[选修 4-5：不等式选讲](10 分) 已知函数 f ( x ) = 2x +1 + x - 2 ．(1)当 x ∈[-2,3] 时，求函数 f ( x ) 的值域 M.(2) 若 a > 0 ，证明： x + 2a + x -≥ 3 ．11。