高三数学模拟考试卷（附答案解析）一、单选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知p:sinx=siny，q:x=y，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为()A. y=±3xB. y=±2xC. y=±2xD. y=±x3.函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且对于任意的x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<1成立．如果f(m)>m，则实数m的取值集合是()A. {0}B. {m|m>0}C. {m|m<0}D. R4.已知数列{an}满足a1+a2+⋯+an=n(n+3)，n∈N*，则an=()A. 2nB. 2n+2C. n+3D. 3n+1二、填空题（本大题共12小题，共54分）5.不等式|2x+1|+|x−1|<2的解集为______．6.函数f(x)=x+9x(x>0)的值域为______．7.函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)的最小正周期为______．8.若an为(1+x)n的二项展开式中x2项的系数，则n→+∞lim ann2=______．9.在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为______．10.若实数x，y满足x+y≤4y≤3xy≥0，则2x+3y的取值范围是______．11.已知向量a,b满足|a|=2，|b|=1，|a+b|=3，则|a−b|=______．12.已知椭圆C：x29+y2b2=1(b>0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点．若△F1AB是等边三角形，则b的值等于______．13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>1，且a2+1为a1与a3的等差中项，S3=14.若数列{bn}满足bn=log2an，其前n项和为Tn，则Tn=______．14.已知A，B，C是△ABC的内角，若(sinA+i⋅cosA)(sinB+i⋅cosB)=12+32i，其中i为虚数单位，则C 等于______．15.设a∈R，k∈R，三条直线l1：ax−y−2a+5=0，l2：x+ay−3a−4=0，l3：y=kx，则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为．16.设函数f(x)=x2−1,x≥a|x−a−1|+a,x<a，若函数f(x)存在最小值，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题14分)如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，PD=DC=1，直线PB与平面ABCD 所成的角为π6．(1)求四棱锥P−ABCD的体积；(2)求异面直线AM与PC所成的角的大小．18.(本小题14分)已知函数f(x)=3x+b3x+1是定义域为R的奇函数．(1)求实数b的值，并证明f(x)在R上单调递增；(2)已知a>0且a≠1，若对于任意的x1、x2∈[1,3]，都有f(x1)+32≥ax2−2恒成立，求实数a的取值范围．19.(本小题14分)如图，某地一天从6∼14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b．(1)求这一天6∼14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式．20.(本小题16分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于M(x1,y1)，N(x2,y2)(x2>x1)两点．(1)若x1+x2=2p，求|MF|+|NF|的值；(2)若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；(3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由．21.(本小题18分)单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．(1)设bn=n⋅an，求数列{bn}的前n项和Sn；(2)若(1)中Sn满足(n−1)2≤m(Sn−n−1)对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案和解析1.【答案】B【解析】本题主要考查必要不充分条件的判断，属于基础题．【解答】解：充分性：当sinx=siny时，例如x=0，y=π，推不出x=y，充分性不成立;必要性：当x=y时，sinx=siny，必要性成立，即p是q的必要不充分条件．2.【答案】D【解析】本题主要考查双曲线渐近线方程和性质，属于基础题．【解答】解：由双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的离心率为2，可得ba=1．∴双曲线的渐近线方程为y=±x.3.【答案】B【解析】解：令g(x)=f(x)−x，因为f(x)为奇函数，所以g(x)为R上的奇函数，不妨设x1<x2，由f(x1)−f(x2)x1−x2<1成立可得f(x1)−f(x2)>x1−x2，即f(x1)−x1>f(x2)−x2，所以g(x1)>g(x2)，即g(x)在R上单调递增，由f(m)>m得g(m)>0=g(0)，所以m>0．故选：B．结合已知可构造函数g(x)=f(x)−x，然后判断函数g(x)的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在求解不等式中的应用，属于中档题．4.【答案】B【解析】本题考查数列的通项an与前n项和的关系，属于基础题．【解答】解：∵a1+a2+⋯+an=n(n+3)，当n=1时，a1=4，当n≥2时，an=n(n+3)−(n−1)(n+2)=2n+2，n=1时，a1=4也适合此式，∴an=2n+2．5.【答案】(−23,1)【解析】解：由2x+1=0，得x=−12；由x−1=0，得x=1．①当x≥1时，原不等式转化为：2x+1+x−1=3x<2，解得x<23，无解；②当−12≤x<1时，原不等式转化为：−2x−1+x−1=−x−2<2，解得x>−4，∴−12≤x<1．③当x<−12时，原不等式转化为：−2x−1+1−x=−3x<2，解得x>−23，∴−23<x<−12．综上所述，不等式|2x+1|+|x−1|<2的解集为−23<x<1．故答案为：(−23,1)．利用零点分段讨论法能求出不等式|2x+1|+|x−1|<2的解集．本题考查含绝对值不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，仔细解答，注意零点分段讨论法的合理运用．6.【答案】[6,+∞)【解析】解：因为x>0，所以f(x)=x+9x≥2x⋅9x=6，当且仅当x=3时取等号，所以函数的值域为[6,+∞)．故答案为：[6,+∞)．由已知结合基本不等式即可直接求解．本题主要考查了基本不等式在求解函数最值或值域中的应用，属于基础题．7.【答案】2π【解析】解：因为：f(x)=sinx+cosx=2sin(x+π4)所以：T=2π1=2π．故答案为：2π．先利用辅助角公式对函数进行整理，再结合函数y=Asin(ωx+φ)的周期公式即可得到结论．本题主要考查函数的周期公式．函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为：T=2π|ω|．8.【答案】12【解析】解：展开式中含x2项的系数为Cn2=a2=n(n−1)2，所以n→∞lim ann2=n→∞lim n(n−1)2n2=n→∞lim n−12n=n→∞lim(12−12n)=12，故答案为：12．根据二项式定理求出a2，然后根据极限的运算性质即可求解．本题考查了二项式定理的应用，涉及到极限的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．9.【答案】35．【解析】解：由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数共A55=120种，组成的数是奇数共C31A44=72种，所以，取出的数是奇数的概率72120=35．故答案为：35．先计算由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数的总情况数，再计算组成的数是奇数的情况数，最后利用古典概型公式计算即可．本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．10.【答案】[0,11]【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立y=3xx+y=4，解得A(1,3)，令z=2x+3y，作出直线2x+3y=0，由图可知，当直线2x+3y=0过O时，z有最小值为0，平移直线直线2x+3y过A时，z有最大值为2×1+3×3=11．∴2x+3y的取值范围是[0,11]．故答案为：[0,11]．由约束条件作出可行域，令z=2x+3y，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．11.【答案】7【解析】解：∵|a+b|2=a2+b2+2a⋅b=5+2a⋅b=3，∴a⋅b=−1，∴|a−b|=a2+b2−2a⋅b=4+1+2=7．故答案为：7．对|a+b|=3两边平方即可求出a⋅b的值，然后即可求出|a−b|=(a−b)2的值．本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．12.【答案】6【解析】解：过F2的直线交椭圆C于A，B两点，设|AF2|=m，|BF2|=n，由椭圆的定义可得|AF1|=2a−m，|BF1|=2a−n，又因为△F1AB是等边三角形可得|AF1|=|BF1|，所以可得2a−m=2a−n，可得m=n，即AB⊥x轴，可得m=b2a=33⋅2c，而由椭圆的方程可得a=3，c2=a2−b2=9−b2，解得：b2=6，解得b=6，故答案为：6．设|AF2|，|BF2|，由椭圆的定义可得|AF1|，|BF1|的表达式，再由△F1AB是等边三角形可得AB⊥x轴，可得A的纵坐标，进而可得a，b，c的关系，再由a，b，c之间的关系求出b的值．本题考查椭圆的性质的应用及等边三角形的性质的应用，属于中档题．13.【答案】n(n+1)2【解析】解：由题可得，2(a1q+1)=a1+a1q2a1+a1q+a1q2=14，而q>1，解得：a1=2q=2，所以an=2n，即bn=log2an=n，所以Tn=n(n+1)2．故答案为：n(n+1)2．先根据等比数列{an}的前n项和的基本量的计算求出an，即可得到数列{bn}的通项公式，再根据等差数列的前n项和公式即可解出．本题考查了数列的通项公式和求和公式，属于基础题．14.【答案】π3【解析】解：(sinA+icosA)(sinB+icosB)=sinAsinB+sinAcosBi+sinBcosAi−cosAcosB=−(cosAcosB−sinAsinB)+(sinBcosA+cosBsinA)i=−cos(A+B)+sin(B+A)i=cosC+sinCi=12+32C，∵C是△ABC的内角，∴C=π3．故答案为：π3．根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，以及复数的四则运算，即可求解．本题主要考查三角函数的恒等变换，以及复数的四则运算，属于基础题．15.【答案】5+2【解析】本题考查了圆的轨迹方程，考查了转化思想．根据直线l1，l2的方程易知l1⊥l2，而直线l1，l2分别过定点A，B，所以l1与l2的交点M在以AB为直径的圆上，直线l3过定点(0,0)，即可利用圆心到(0,0)的距离加半径解出．【解答】解：因为a×1+(−1)×a=0，所以l1⊥l2．而直线l1：ax−y−2a+5=0即a(x−2)−y+5=0过定点A(2,5)，l2：x+ay−3a−4=0即x−4+a(y−3)=0过定点B(4,3)，所以l1与l2的交点M在以AB为直径的圆上，可求得圆心为(3,4)，半径为2，方程为(x−3)2+(y−4)2=2，因为l3：y=kx为过原点的直线，所以M到l3的距离的最大值为(3−0)2+(4−0)2+2=5+2．故答案为：5+2．16.【答案】[−2,2]【解析】解：当x<a时，函数f(x)=|x−a−1|+a=a+1−x+a=−x+2a+1，函数f(x)在(−∞,a)上单调递减，则f(x)>f(a)=a+1，当a≥0时，函数y=x2−1在[a,+∞)上单调递增，则y≥a2−1，∵f(x)存在最小值，∴a+1≥a2−1，化简可得−1≤a≤2，∵a≥0，∴0≤a≤2，当a<0时，函数y=x2−1在[a,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故当x=0时，函数y=x2−1有最小值为02−1=−1，∵f(x)存在最小值，∴a+1≥−1，故a≥−2，而a<0，所以−2≤a<0，综上所述：−2≤a≤2，故a的取值范围为[−2,2]．故答案为：[−2,2]．根据分段函数的单调性分类讨论，即可求解．本题主要考查分段函数的应用，考查分类讨论的思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵PD⊥底面ABCD，∴直线PB与平面ABCD所成的角为∠PBD=π6，又PD=1，∴DB=3，又底面ABCD是矩形，且DC=1，∴BC=2，∴四棱锥P−ABCD的体积为13×2×1×1=23；(2)取AD的中点N，连接NC，NP，又M为BC中点，∴AN=DN=MC=22，且AN//MC，∴四边形AMCN为平行四边形，∴AM//NC，∴直线AM与PC所成的角即为NC与PC所成的角，即直线AM与PC所成的角为∠PCN=θ或其补角，又NP=NC=12+1=32，又PC=1+1=2，∴cosθ=12PCNC=2232=33，∴θ=arccos33，∴异面直线AM与PC所成的角的大小为arccos33．【解析】(1)根据线面角的定义，锥体的体积公式即可求解；(2)将两异面直线平移成相交直线，再结合解三角形知识即可求解．本题考查线面角的定义，锥体的体积公式，两异面直线所成角，属基础题．18.【答案】解：(1)∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)=1+b1+1=0，解得b=−1，经检验，b=−1符合题意，∴f(x)=3x−13x+1=3x+1−23x+1=1−23x+1，设x1<x2，则f(x1)−f(x2)=23x2+1−23x1+1=2(3x1−3x2)(3x1+1)(3x2+1)，又x1<x2，则3x1−3x2<0,3x1>0,3x2>0，∴f(x1)−f(x2)<0，则f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上单调递增；(2)依题意，[f(x)+32]min≥(ax−2)max在[1,3]上恒成立，又f(x)在R上单调递增，∴当x∈[1,3]时，f(x)+32的最小值为f(1)+32=1−231+1+32=2，当0<a<1时，(ax−2)max=a−1，则2≥a−1，解得a≥12，此时a∈[12,1)；当a>1时，(ax−2)max=a2，则2≥a2，解得1<a≤2；综上，实数a的取值范围为[12,1)∪(1,2]．【解析】(1)由f(0)=0，可求得b的值，由单调性的定义可证明f(x)在R上单调递增；(2)问题等价于[f(x)+32]min≥(ax−2)max在[1,3]上恒成立，易知f(x)+32的最小值为2，然后分0<a<1及a>1讨论即可得解．本题考查函数奇偶性与单调性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是20C°C．(2)由图可以看出，从6∼14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象，所以A=12(30−10)=10，b=12(30+10)=20．因为12×2πω=14−6，所以ω=π8．将A=10，b=20，ω=π8，x=6，y=10代入 ①式，可得φ=3π4．综上，所求解析式为y=10sin(π8x+3π4)+20，x∈[6,14]．【解析】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象性质和求解析式，属于基础题．(1)由三角函数性质根据图象直接观察可知;(2)由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，由最低点得到φ的值即可．20.【答案】解：(1)因为准线为l：x=−p2，所以|MF|+|NF|=x1+p2+x2+p2=3p；(2)设直线MN的方程x=my−p2，联立y2=2px(p>0)可得，y2−2mpy+p2=0，所以Δ=4m2−4p2>0，y1+y2=2mp，y1y2=p2，而M是线段AN的中点，所以y1=y22，解得：y1=2p2,y2=2p，即2p2+2p=2mp，解得：m=324，所以直线MN的方程为x=324y−p2，即4x−32y+2p=0；(3)直线MN的方程x=my−p2，设P(−p2,y0),Q(−p2,−y0),y0≠0，则PM：y=y1−y0x1+p2(x+p2)+y0=y1−y0my1(x+p2)+y0,QN：y=y2+y0x2+p2(x+p2)−y0=y2+y0my2(x+p2)−y0，联立可得：(x+p2)(1y1+1y2)=2m，由y1+y2=2mp,y1y2=p2，代入解得：x=2my1y2y1+y2−p2=2m×p22mp−p2=p2，所以直线PM与QN的交点在定直线x=p2上．【解析】(1)根据焦半径公式即可求出；(2)设直线MN的方程x=my−p2，与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m，从而解出；(3)设P(−p2,y0),Q(−p2,−y0)，即可求出直线PM与QN的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上．本题考查了抛物线的性质，属于中档题．21.【答案】解：(1)设单调递增的等比数列{an}的公比为q，由a2+a3+a4=28，可得a2+a4=28−a3，又由a3+2是a2，a4的等差中项．可得2(a3+2)=a2+a4=28−a3，解得a3=8，a2+a4=20，即有a1q2=8，a1q+a1q3=20，解得a1=2q=2或a1=32q=12(舍去)，所以bn=n⋅an=n⋅2n，Sn=1⋅2+2⋅22+3⋅23+...+n⋅2n，2Sn=1⋅22+2⋅23+3⋅24+...+n⋅2n+1，上面两式相减可得−Sn=2+22+23+...+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1，化简可得Sn=(n−1)⋅2n+1+2；(2)(n−1)2≤m(Sn−n−1)即为(n−1)2≤m(n−1)(2n+1−1)，因为n≥2，所以m≥n−12n+1−1对于n≥2恒成立．设cn=n−12n+1−1(n≥2)，则cn−cn−1=n−12n+1−1−n−22n−1=−1−(n−3)⋅2n(2n−1)(2n+1−1)，因为n≥3，所以−1−(n−3)⋅2n<0，(2n−1)(2n+1−1)>0，则cn−cn−1<0，即有{cn}在n≥2且n∈N*为递减数列，所以{cn}中的最大项为c2=17，所以m≥17，即m的取值范围是[17,+∞)．【解析】(1)由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和；(2)原不等式等价为m≥n−12n+1−1对于n≥2恒成立，然后构造数列，判断单调性，求得最值，可得所求取值范围．。