第五章 相似矩阵及二次型一、 是非题（正确打√，错误打×）1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ )2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ )3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ )4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ )5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ )6．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. ( × )7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × )8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × )9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ )10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ )11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ )13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ )15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ )16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ )17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ )18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ )19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。

( × )20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T不是二次型. ( √ )21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。

( √ )22．二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × )23.任给二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。

( × )二、 填空题1．向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α,求两向量2α=____,3α=____,使321,,ααα两两正交. Ans: ()T 1,0,12-=α,T⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,1,213α 2.若A 是正交阵,即E A A T =,则=A _____. Ans: 1或 -13.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121001065A ,则A 的特征值为________. (-1 ,2, 3) 4.n 阶方阵A =)(ij a 的特征值为n λλλ,,,21 ,则=A _____11nn i i λλλλ==∏______,=+++nn a a a 2211_____121nn i i λλλλ=+++=∑________.5.设二阶行列式A 的特征值为2,3, λ,若行列式482-=A ,则____=λ.(-1)6.设三阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,则=--E A 14_____,=-+*E A A 23______. Ans:-15,97. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 00110002的伴随矩阵*A 有一特征值为2-，则=x . 8. 若二阶矩阵A 的特征值为1-和1，则2008A = .9.当x =___时,矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01010110x A 能对角化.(-1,见教材)10.设A 为2阶矩阵, 1α,2α是线性无关的二维列向量, 01=αA , 2122ααα+=A ,则A 的非零特征值为_______.提示:由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1200)()(2,12,1ααααA 知A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1200相似, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1200非零特征值为1. 11、设A 为正交矩阵，λ 为A 阵的特征值，则 λA E -=__________.12、设3阶方阵A 的特征值为互不相同,若0=A 行列式则A 的秩为___2__13. 二次型32312123222144)(x x x x x x x x x a f +++++=经过正交变换Py x =可化为 标准型216y f =, 则 a =__2___14.二次型()222123123121323,,222f x x x x x x x x x x x x =+++++的秩是______； 二次型432143212),,,(x ax x x x x x x f -=的秩为2，则=a .15.已知二次型yz xz xy z y x a f 222)(222-++++=,a 的取值为__2a ___时f 为正定, a 的取值为___1a -__时f 为负定.16. 二次型322322214332x x x x x f +++=经过正交变换=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ______⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 化为标准形=f _______,从而1),,(321=x x x f 表示的曲面类型是_________. Ans: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3212121212132100001y y y x x x ,23222152y y y f ++=,椭球面 三、 选择题1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21(-A 有一特征值为( A ).(A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a .2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的 特征向量最多有(A )个线性无关.(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个.3.特征值一定是实数的矩阵是(B )(A)正交矩阵 (B) 对称矩阵(C)退化矩阵 (D) 满秩矩阵4. 设α是矩阵A 对应于其特征值λ的特征向量，则其对角化矩阵AP P 1- 对应于λ的特征向量为( D ).(A)α1-P ； (B)αP ； (C)αT P ； (D)α .5. 若A 为n 阶实对称矩阵，且二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 正定，则下列结论不正确的是( D ) .(A) A 的特征值全为正；(B) A 的一切顺序主子式全为正；(C) A 的元素全为正；(D)对一切n 维列向量x ，Ax x T 全为正.6.下列各式中有(A )等于22212136x x x x ++。

(A) ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21213421,x x x x ； (B) ()112213,23x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(C) ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21213511,x x x x ； (D) ()112211,43x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 7.矩阵（ C ）是二次型22212136x x x x ++的矩阵。

(A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3111；(B)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421；(C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3331； (D)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3151； 8.设A 、B 为同阶方阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21，且BX X AX X T T =，当（ D ）时，B A =。

(A))()(B r A r =； (B)A A =T ；(C)B B =T ； (D)A A =T 且B B =T ；9.A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是（ D ）。

(A)0>A ； (B)存在n 阶矩阵C ，使C C A T =；(C)负惯性指标为零； (D)各阶顺序主子式均为正数； 10.1)()()(),,(22221,21--++-+-=n a x a x a x x x x f n n 是( B )。

(A)非正定二次型 ；(B)正定； (C)负定； (D)不定；11．正定二次型),,(,21n x x x f 的矩阵应是（ B ）。

(A)非对称且左右对角线上元素都是正数；(B)对称且各阶顺序子式都是正数；(C) 对称且所有元素都是正数；(D) 对称且矩阵的行列式是正数；12．使实二次型 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x k k k k k z y x 0101),,( 正定的参数k 应该是( C )。

(A)0>k ； (B)02>k ； (C)不存在； (D)0<k ；13．阶矩阵A 为正定的充分必要条件是( C )。

(A) 0>A ； (B) 存在n 阶矩阵,使A=C C T ；(C) A 的特征值全大于0； (D) 存在n 维列向量α≠0,有0>ααA T ；14.次型232221321)2()1()1()(x k x k x k x x x f -+-++=，当( B )时是正定的。

(A) k>0； (B) k>2； (C) k>1； (D) k=1；15.设A ，B 为正定矩阵，则( D )。

(A)AB 、B A +都正定； (B)AB 正定，B A +不一定正定；(C)AB 不一定正定，B A +正定； (D) AB 和B A +都不一定正定；16.设A ，B 都是n 阶实对称矩阵,且都正定,那么AB 是( C )(A)实对称矩阵 (B) 正定矩阵(C)可逆矩阵 (D) 正交矩阵17.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B的关系为( B )(A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似.18. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A , 则在实数域上与A 合同矩阵为（ D ） (A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 (B)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112 (D) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221 19.设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是 ( B )(A) 01≠λ (B) 02≠λ (C) 01=λ (D) 02=λ20.n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是 ( C )(A) 所有k 级子式为正),,2,1(n k = (B) A 的所有特征值非负(C) 1-A 为正定矩阵 (D)秩(A )=n。