蒲丰投针 ―― Monte Carlo 算法
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书面作业（P51）
1. 在一条笔直的流水线上，有5个机器人，它们顺序间 隔为1千米。试在流水线上设置一个零件供应站，使 得各机器人到供应站的距离总和为最短，并求出这 个最短距离总和。若有奇数个机器人，又将如何？ 2. 丈夫和他的妻子上街购物，他们决定在下午4:00到 5:00之间在某一街角相会。他们约好当其中一人先 到后，一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则 离去。试问这对夫妇能相遇的概率为多少（假定他 们到达约定地点的时间是随机的，且都在约定的一 小时内）？ 3. 设计一种蒙特卡罗模型用于估计无理数 ln2 的近似 值。(提示：ln2 等于1/(1+x)在[0,1] 上的定积分)
古典概型不仅要求基本事件的出现等可能 性，而且要求样本空间为有限集。但实际问题 却经常碰到无限样本空间的情形。对于无限样 本空间的情形，常可转化为几何概型来解决。 所谓几何概型主要用长度、面积、体积等有关 几何的直观概念来解决问题。古典概型与几何 概型的相同点：两者基本事件发生的可能性都 是相等的；古典概型与几何概型的不同点：古 典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求 基本事件有无限多个。 12
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三、（补充）蒙特卡罗模型
问题的提出：
蒲丰投针问题的重要性并非是为了求得比 其它方法更精确的π值，而是在于它是第一个 用几何形式表达概率问题的例子。计算π的这 一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而 且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的 先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前 导。 具体内容参见文件：
数学建模理论与实践
—— 基于几何学的数学建模
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基于几何学的数学建模
一、几何优化模型 二、普通几何概几何优化模型
问题的提出：
我们都知道，平面几何里有一个基 本公理：平面上两点之间的连线，线段 最短。这里的最短，就是一种几何优化 思想。
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一、几何优化模型
问题的提出： 现在的问题是： 例1：在一条笔直的流水线上，有5个机器人。现要 在流水线上设置一个零件供应站，使得各机器人到供 应站的距离总和为最短，问供应站应设在哪里？一般 地，如果有n 个机器人，供应站又应设在哪里？ 例2：在一条笔直的流水线上，有 7 个点分别有机器 人3、2、2、1、2、4、3个，现要在流水线上设置 一个零件供应站，使得各机器人到供应站的距离总和 为最短，供应站应设在哪里？若最后一个点上多 1 个机器人，将如何？若最后一个点上多 3 个机器人， 4 又如何？
二、普通几何概率模型
问题的提出：
对于复杂的实际问题，解题的关键是要建 立概率模型，找出随机事件与所有基本事件相 对应的几何区域，把问题转化为几何概型的问 题，利用几何概型公式求解。
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二、普通几何概率模型
例子及其解答
假设小王家订了一份报纸，送报人可能在 下午1:30到2:30之间把报纸送到小王家，而小 王离家去工作的时间在下午2:00到3:00之间， 问小王在离开家前能得到报纸（称为事件）的 概率是多少?
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二、普通几何概率模型
问题的提出：
概率，又称为几率、或然率，是反映某种 事件发生的可能性大小的一种数量指标．它介 于0和1之间。这里的事件是指随机现象中出 现的某个可能结果。概率论是研究随机现象统 计规律的一门数学分支学科，它有着悠久的历 史。其中以古典概型特别成熟。
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二、普通几何概率模型
问题的提出：
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二、普通几何概率模型
例子及其解答
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二、普通几何概率模型
例子及其解答
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二、普通几何概率模型
例子及其解答
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二、普通几何概率模型
例子及其解答
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三、（补充）蒙特卡罗模型
问题的提出： 蒙特卡罗方法（Monte Carlo），也称统计模拟 方法，是在二次世界大战期间随着科学技术的发展和 电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论 为基础的一类非常重要的数值计算方法。蒙特卡罗方 法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、 社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用。 蒙特卡罗方法的名字来源于世界著名的赌城 — — 摩纳哥的蒙特卡罗。其历史起源可追溯到1777年 法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周率的方法 —— 随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。
一、几何优化模型
模型假设 1. 流水线在一条笔直的直线上
2. 机器人、供应站都是一个质点，没有长度
建模目的
最佳的供应站设点位在哪？
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一、几何优化模型
例1的求解：
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一、几何优化模型
例1的求解：
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一、几何优化模型
例1的求解：
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一、几何优化模型
例1的求解：
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一、几何优化模型
例2的求解：
在若干点上机器人有重复，考虑将此种情 形化成例1的情况，问题迎刃而解！具体此略。