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6狭义相对论习题思考题

习题66-1.设固有长度m 50.20=l 的汽车,以m /s 0.30=v 的速度沿直线行驶,问站在路旁的观察者按相对论计算该汽车长度缩短了多少?解:l l =,由泰勒展开,2112x =-+∴22112u c ≈-,2140021 1.25102u l l l l m c-∆=-=⨯=⨯。

6-2.在参考系S 中,一粒子沿直线运动,从坐标原点运动到了m 105.18⨯=x 处,经历时间为s 00.1=t ∆,试计算该过程对应的固有时。

解:以粒子为S '系,利用t '∆=∆0.866t s '∆==。

6-3.从加速器中以速度c v 8.0=飞出的离子在它的运动方向上又发射出光子。

求这光子相对于加速器的速度。

解:设加速器为S 系,离子为S '系,利用:21xx xv u v uv c'+='+,则:220.80.811x x x v u c c v c uv c c c c'++==='⨯++ 。

6-4 1000m 的高空大气层中产生了一个π介子,以速度0.8vc =飞向地球,假定该π介子在其自身的静止参照系中的寿命等于其平均寿命62.410s -×,试分别从下面两个角度,即地面上观测者相对π介子静止系中的观测者来判断该π介子能否到达地球表面。

解:(1)地面上的观察者认为时间膨胀:有t ∆=,∴66410410.8)t s a -∆=⨯ 由860.83104109601000l v t m m -=∆=⋅⨯⋅⨯=<,∴到达不了地球;(2)π介子静止系中的观测者认为长度收缩:有l l =,∴.8)1016l m == 而682.4100.8310576600s v t m m-=∆=⨯⋅⋅⨯=<,∴到达不了地球。

6-5 长度01m l =的米尺静止于'S 系中,与x ′轴的夹角'θ=30°,'S 系相对S 系沿x 轴运动,在S 系中观测者测得米尺与x 轴夹角为=θ45°。

试求:(1)'S 系和S 系的相对运动速度。

(2)S 系中测得的米尺长度。

解:(1)米尺相对S '静止,它在,x y ''轴上的投影分别为:0cos 0.866m xL L θ''==,0sin 0.5m y L L θ''==。

米尺相对S 沿x 方向运动,设速度为v ,对S系中的观察者测得米尺在x 方向收缩,而y 方向的长度不变,即:x L L =,y y L L '=故:tany y xxL L L L L θ''===。

把ο45θ=及,yL L ''代入,则得:0.50.866=,故 :0.816v c =(2)在S 系中测得米尺长度为0.707m sin 45y L L ==︒。

6-6 一门宽为a ,今有一固有长度0l (0l >a )的水平细杆,在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动。

若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门,则该杆相对于门的运动速率u 至少为多少?解:门外观测者测得杆长为运动长度,l l =1a ≤时,可认为能被拉进门,则:a l ≤解得杆的运动速率至少为:u =6-7 两个惯性系中的观察者O 和O '以0.6c (c表示真空中光速)的相对速度相互接近,如果O 测得两者的初始距离是20m ,则O '测得两者经过多少时间相遇? 解:O测得相遇时间为t∆:0200.6L t v c ∆==O ' 测得的是固有时t '∆:∴tt γ∆'∆==88.8910s -=⨯,或者,O '测得长度收缩:00.8L L L L L t v'===∆=8080.80.8208.8910s 0.60.6310L t c -⨯'∆===⨯⨯⨯ 6-8一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行.如果宇航员希望把这路程缩短为3光年,则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?解:33,5l l '====∴45v c ==6-9.两个宇宙飞船相对于恒星参考系以0.8c 的速度沿相反方向飞行,求两飞船的相对速度。

解:设宇宙船A 为S 系,测得恒星的速度为0.8x v c =,宇宙船B 为S '系,测得恒星的速度为'0.8xv c =-,两个飞船的相对速度为u ,根据洛伦兹速度变换公式:''21x x x v uv uv c+=+,有:20.80.80.81c u c cu c -+=-+得:0.9u c = 。

6-10.从S 系观察到有一粒子在01=t 时由m 1001=x 处以速度c v 98.0=沿x 方向运动,s 10后到达2x 点,如在S '系(相对S 系以速度c u 96.0=沿x 方向运动)观察,粒子出发和到达的时空坐标2211,,,x t x t ''''各为多少?(0='=t t 时,S '与S 的原点重合),并算出粒子相对S '系的速度。

解:利用洛仑兹变换:2u t xt -'=,x '=, 考虑到)10=-=,有:1122610.960100 1.14710u c t x t s---⨯'===⨯;222220.96109.8 2.11u c t x c t s --⨯'===;mcc c cuut x x 14.357)96.0(1096.0100)(1222111=-⨯-=--=';mcc c c cuut x x 82222221014.2)96.0(11096.08.9)(1⨯=-⨯-=--=';'8220.980.96 1.014100.96110.98x x x v u c cv u cv c c c--===⨯--⨯m/s 。

6-11.一飞船静长0l ,以速度u 相对于恒星系作匀速直线飞行,飞船内一小球从尾部运动到头部,宇航员测得小球运动速度为v,试算出恒星系观察者测得小球的运动时间。

解:设恒星系为S 系,飞船为S '系,由题意:vl t 0='∆,∴)(1)1()(1)1()(12220222222cu v v c ul c u t x c u t c u x c u t t -+=-'∆'∆+'∆=-'∆+'∆=∆。

6-12.一个静止的0K 介子能衰变成一个+π介子和一个-π介子,这两个π介子的速率均为c 85.0.现有一个以速率c 90.0相对于实验室运动的0K 介子发生上述衰变。

以实验室为参考系,两个π介子可能有的最大速率和最小速率是多少? 解:以实验室为S 系,运动的0K 介子为S '系,利用21x x xv u v uv c'+='+,有:最大速度:max220.850.90.9920.90.8511x x x v u c c v cuv c cc c '++==='⨯++ , 最小速度min 22(0.85)0.90.2130.9(0.85)11x x x v u c c v c uv c c c c '+-+==='⨯-++ 。

6-13.一个电子从静止开始加速到c 1.0,需对它做多少功?,若速度从c 9.0增加到c99.0又要做多少功? 解:由相对论动能:220k E mc m c =-: (1)26101)0.51101)k E m c =-=⨯2.57MeV =; (2)220k E m c =60.5110=⨯2.44MeV = 。

6-14.一静止电子(静止能量为MeV 51.0)被1.3MeV 的电势差加速,然后以恒定速度运动。

求:(1)电子在达到最终速度后飞越m4.8的距离需要多少时间?(2)在电子的静止系中测量,此段距离是多少? 解:(1)∵MeVc m 51.020=,MeV E k 3.1=∴MeVE c m mc k 81.1202=+=,考虑到:2201cv m m -=,得:202m c m c =,可求得:810.96 2.8810v c m s -==⨯⋅ , 那么,s v l t 881092.21088.24.8-⨯=⨯==;(2)由l '=,有8.0.962.37l m '==。

6-15.有两个中子A 和B ,沿同一直线相向运动,在实验室中测得每个中子的速率为c β.试证明相对中子A 静止的参考系中测得的中子B的总能量为:202211c m E ββ-+=,其中0m 为S 系,实验室为S '系,中子速度为:22121ββ+='++'=c v c u u v v x x x ,代入2E mc =,有:22220211E m c ββ+===- 。

6-16.一电子在电场中从静止开始加速,电子的静止质量为kg 1011.931-⨯.(1)问电子应通过多大的电势差才能使其质量增加%4.0?(2)此时电子的速率是多少? 解:(1)由220k E mc m c =-,且eU E k =,004.00=-m m m ,有:2000.004eU mc m c m c =-=,∴2030.004 2.0510m c U V e==⨯;(2)∵01.004m m =,∴0m m=,可求得:17107.2-⋅⨯=s m v 。

6-17.已知一粒子的动能等于其静止能量的n 倍,求:(1)粒子的速率,(2)粒子的动量。

解:(1)依题意知:20c nm E k =,又∵220k E mc m c =-,∴22200m c nm c -=,有:22211(1)v c n -=+整理得:1)2(++=n n n c v ;(2)由420222c m c P E +=,而:20)1(c m n E +=,得:)2(0+=n n c m P。

6-18.太阳的辐射能来源于内部一系列核反应,其中之一是氢核(H 11)和氘核(H 21)聚变为氦核(He 32),同时放出γ光子,反应方程为:γ+→+He H H 322111已知氢、氘和He3的原子质量依次为u 007825.1、 2.014102u 和3.016029u . 原子质量单位kg 1066.1u 127-⨯=. 试估算γ光子的能量。

解:1.m uu∆=+290.0058980.97910u kg-==⨯ 根据质能方程:29822190.97910(310) 5.5MeV 1.610E mc --⨯⨯⨯∆=∆==⨯。

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