2 4 x y x 2
2 x
cos 2 0
将
1 1 tg 2 2 0



2 4 x y x 2
x y
sin 2 0 tg 2 0 cos 2 0
2 4 x y x 2
2 x
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 10 30 10 30 cos 60 20 sin 60 2 2 2.32MPa

x y
2 10 30 sin 60 20 cos 60 2 1.33MPa
第七章
应力状态与强度理论
7-1 何谓应力状态 1、什么是应力状态 同一点处，不同方向斜截面上 应力也不一样， 同一点处，不同方向斜截 面上应力的集合，称为该 点的应力状态 一点处所有斜截面上的应力情况 研究应力状态：
cos2
sin 2
1 2
最大、最小正应力、切应力
主应力采用符号：
1 , 2 , 3
并且规定
1 2 3
5、按主应力分类应力状态 （1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零 （2）平面应力状态：若三个主应力中有两个不为零 .
（3）空间应力状态：三个主应力都不等于零
7-2 平面应力状态
有一对面没有应力（假设前、后一对面没有），将单元体用平 面图形表示
sin 2 x cos 2
二、 最大正应力和最大剪应力
1、最大正应力

令
当
x y
2

x y
2
cos 2 x sin 2
f ( )

d 0 d
x y sin 2 x cos 2 0 2
x y
取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
0
o 0 0 90
两个主平面相互垂直， 因此，主应力也一定互 相垂直。
正应力极值所在平面（主平面）也可由下式计算：
cos 2 0
1 1 tg 2 0
2


2 4 x y x 2
x y
sin 2 0 tg 2 0 cos 2 0
2
满足上式时，正应力取极值，比较切应力公式

可见在
sin 2 x cos 2
0
的截面上，正应力具有极值（最大或者最小）
因此，正应力极值（最大或最小）就是主应力
由
x y sin 2 x cos 2 0 2
2 x tg2 0 x y
2、研究应力状态的方法—单元体 围绕某点截取的无限小的 正六面体
dV dxdydz
当单元体边长趋于零， 单元体趋于一个点，因 此当说某“点”的应力 状态，是指单元体的应 力状态
轴向拉伸时的单元体
纯扭转时的单元体
弯曲时的单元体
弯曲与扭转组合变形时的单元体
3、应力状态的分类 一般情况下，每个基本微分面上 有三个应力分量：1 个正应力和 2 个剪应力
由切应力互等定理
x y
2 2
和三角关系式

x y
x y
cos 2 x sin 2

x y
2
sin 2 x cos 2

x y
2

x y
2
cos 2 x sin 2

x y
2
sin 2 x cos 2
只要已知基准面上的应力 由上式可以求)

的应力
也就是说，通过某点所有截面上的应力都可求。即知道一 点处的“应力状态”
例7-1 应力。
一单元体如图所示，试求在 = 30的斜截面上的
x 10MPa, y 30MPa , x 20MPa, y 20MPa, 30
假设： 1、相互平行的微面上，应力相等 2、同一面上的应力均匀
单向应力状态 三对面上，只有一对面上有，另两对面 上没有应力
平面应力状态
三对面上，有两对面上有
，另一对面上没有应力
空间应力状态：三对面上都有应力
平面应力状态和空间应力状态统称为 复杂应力状态
4、主平面和主应力
剪应力为零（ = 0）的平面叫作主平面 主平面上的正应力叫作主应力 可以证明，弹性体内任意一点一定存在 三对主平面和三个主应力，且相互垂直
代入

x y
2

x y
2
cos 2 x sin 2
2
max x y x y 2 x 2 2 min
基准面：x面，y面
基准面上应力：
x面： x， x
y面： y， y
计算时规定：
正应力以拉应力为正，压应力为负
切应力以使单元体顺时针转动为正。逆时针转动为负。 图中应力正负？
一、斜截面上的应力
在单元体中截取一个斜面，斜面角度 逆时针转过的角度为正。反之为负

从x轴开始
取三角形单元建立静力平衡方程