3、
1 x
1 x dx x
dx
2、 (1 3 x) x
第五章 不定积分
§3 分部积分法
第二节 分部积分法
一 、 降次法
例1 求下列积分
1、 xcosxdx 3、 x2exdx
2、 xexdx
第五章 不定积分
二 、 转换法
§3 分部积分法
例2 求下列积分
1、 xlnxdx 3、 arcsixndx
性质2 非零常数可以提到积分号外，即
k(fx)d xkf(x)dx
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
例5 求下列不定积分
1、
(x 1)3 x2 dx
3、 2xexdx
5、
x4 1 x2 dx
7、
sin2
x 2
dx
2、 (ex 3coxs)dx
4、
1 x x2 x(1 x2 ) dx
a2 x2
2、 2cos2xdx
3、
3
dx x
2
4、 xex2 dx
5、 x 1x2dx
6、 tanxdx
7、
dx a2 x2
8、
dx x2 a2
9、
earctanx
dx 1x2
10、
dx x(1 2ln
x)
11、cdoxxs
sexcdx12、
dx xlnxlnlnx
第五章 不定积分
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
三 、 基本积分表
求原函数或不定积分与求导函数互为逆运算，它们 之间的关系是：
1、先积分后求导（或微分），还原
ddx[f(x)dx]f(x) 或 d[f(x)d]xf(x)dx
2、先求导（或微分）后积分，差一常数
F'(x)d xF(x)C或 dF (x)F(x)C
都有
F'(x)f(x)
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
定义2 在区间 I上，函数 f (x) 的全体原函数，称 为函数 f (x) 在区间 I 上的不定积分，记作
f (x)dx 其中 称为积分号，f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被
积表达式， x称为积分变量。 若 F (x) 是 f (x) 在区间 I上的任意一个原函数，则
大家好
章不定积分
§1不定积分的概念、性质 §2换元积分法 §3分部积分法
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
第一节 不定积分的概念、性质
一 原函数与不定积分的概念 二 不定积分的几何意义 三 基本积分表 四 不定积分的性质
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
一 、 原函数与不定积分的概念
定义1 若定义在区间 I 上的函数 f (x) 及可导函数 F ( x) 满足关系：对任一 xI ，都有
F'(x)f(x) 或 dF (x)f(x)dx 则称 F (x) 为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数。
原函数存在定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上连续，
则在区间 I 上存在可导函数 F ( x) ，使得对任 xI ，
8、c1 o 2xs d xse 2xcd txaxn C 9、s1 i2x nd xcs 2xcd xco xtC
10、sextcaxnd sxex cC
11、cs xcco xd t x cs x c C
12、 exdxexC 13、 axd x1axC,a0,a1
ln a
第五章 不定积分
6、tan2 xdx
8、
dx sin 2 x cos 2 x
22
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
例3
已知
f (x)
的一个原函数为
sin x 1 x sin x
，求
f(x)f'(x)dx
例4 设 f (x) 的原函数 F(x)0，且F(0) 1 ，当 x0 时有 f(x)F(x)si2n2x，求 f (x)
§2 换元积分法
定理2 设 x(t) 是单调可导函数，并且 '(t)0 又设 f[(t)]'(t) 具有原函数，则有换元公式
f( x ) d x f[( t)'] ( t) d t t 1 ( x )
第五章 不定积分
§2 换元积分法
一、三角函数代换法
例 求下列不定积分
1、 a2x2d(xa0)
3、
dx (a0) x2 a2
2、 4、
dx (a0) x2 a2 a2 x2 dx
x4
第五章 不定积分
二、倒代换
§2 换元积分法
例 求下列不定积分
1、
dx x( x n 1)
dx
2、 x x2n 1
第五章 不定积分
§2 换元积分法
三、简单无理函数代换法
例 求下列不定积分
1、
x 1 dx x
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
1、kdxkxC（ k是常数）
2、 xdx 1 1x1C(1)
3、 1xdxlnx C 4、 1dxx2 arctxanC
5、
dx arcsxinC
1x2
6、 coxsdxsixnC
7、 sixndx cox sC
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
第五章 不定积分
§2 换元分法
定理1 设 f (u) 具有原函数，函数 u(x) 可导，
则有换元公式
f[( x )'( ] x ) d x f( u ) d u u ( x )
第五章 不定积分
例1 求下列不定积分
§2 换元积分法
dx
1、
f (x) 的不定积分可表为
f(x)dx F(x)C
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
例1 求 3x2dx
例2 求
1 x
dx
例3 某商品的边际成本为 1002x ，求总成本函数
C(x)
二 、 不定积分的几何意义
不定积分的几何意义是对应于积分曲线族。
例4 求经过点 (1,2) ，且切线的斜率为 2x 的曲线方 程。
§2 换元积分法
例2 求下列不定积分
1、
1sinx xcosx
dx
3、 (1 x)ex dx
1 xex
5、 sin2xco5sxdx
2、
cos2x (sinxcosx)3
dx
4、 sin3 xdx
6、 cos2 xdx
7、 sin4 xdx
8、 co3sxco2sxdx
第五章 不定积分
二 、 第二类换元积分法
§1 不定积分的概念、性质
例4 求下列不定积分
1、
dx x3
3、
dx x3 x
2、 x2 xdx
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
四 、 不定积分的性质
性质1 函数代数和的不定积分对于各个函数不定积 分的代数和，即
[f(x ) g (x )d ] x f(x )d x g (x )dx