太原理工大学2013级《线性代数》复习自测题2014年4月复习题（一）1-5题为判断题1．向量组A：，，与向量组B：，，等价。

（ ）2．齐次线性方程组的非零解向量的分量全部不为零。

（ ）可以经过初等变换化为。

（ ）4．如果，那么成立。

（ ）5．已知阶方阵的特征值为；的特征值为；的特征值为，那么。

（ ）6-10题为单项选择题6．已知非齐次线性方程组无解，并且其增广矩阵的秩等于4，那么系数矩阵的秩等于 （ ）（Ａ）3；　（Ｂ）2；　（Ｃ）1；　（Ｄ）0。

7．已知三阶方阵，则的逆矩阵等于 （ ）（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。

8. 若、都是阶矩阵，并且可逆，那么（ ）（Ａ）和相等；（Ｂ）和不相等；（Ｃ）和相似；（Ｄ）和不相似。

9．设二阶正定矩阵的特征值不相同，那么方程表示 （ ）（Ａ）圆；　（Ｂ）椭圆；　（Ｃ）双曲线； （Ｄ）抛物线。

10.若阶矩阵的每行元素之和都等于，则的每行元素之和都等于（）（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；　（Ｄ）。

11-15题为填空题11．若方阵满足，则的特征值等于 。

12．若，则行列式 。

13．已知向量组线性无关，则向量组，，也线性无关的充分必要条件是常数满足 。

14．已知是线性空间上的线性变换，并且，。

则 。

15．已知通过向量组线性表示的方式不唯一，则常数应该满足的条件为 。

16．计算行列式。

17．求解线性方程组。

18．已知矩阵，求正交矩阵，使得。

19．已知，，，求解矩阵方程。

20．证明向量组，，线性无关；将向量用线性表示；如果，求出。

复习题（一）解答1. ×。

因为的秩为，而的秩为，所以它们不等价。

2. √。

因为的秩为，所以方程组存在非零解，基础解系中只有一个向量，方程通解为，对于任意非零解应该满足，即非零解向量的分量全部不等于零。

3. √。

因为为方阵，所以与是同型矩阵，而，所以与等价，因此可以经过初等变换化为。

4．√。

矩阵与其伴随矩阵是可交换的，而当矩阵可交换时成立。

5. √。

利用以及即可。

6. Ａ。

因为方程组无解，所以，并且，所以系数矩阵的秩等于3。

7. C。

根据逆矩阵的定义，直接验证即可。

注意可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍为上三角矩阵，所以B,D一定错误。

8. Ｃ。

因为，所以和相似。

9. B。

因为为二阶正定矩阵，所以通过正交变换后，二次型化为，并且，所以方程表示椭圆。

10.Ｄ。

阶矩阵的每行元素之和都等于，当且仅当，其中（此时是的一个特征值）。

因此由知，所以的每行元素之和都等于。

. 。

若是的特征值，则由可知，所以。

12. 。

。

13. 。

设，即，而线性无关，所以，此方程组仅有零解当且仅当行列式，所以。

（记，，，可直接写出行列式，其中第列就是用线性表示的系数。

）14. 。

因为向量，而是线性变换，它保持线性运算，所以。

15. 。

线性表示方式不唯一说明向量组是相关的，三个向量组成的行列式一定为0。

16．（利用行列式的性质，化为上三角，也可以结合展开定理降阶。

或者二者联合使用。

（四阶行列式的计算是必须掌握的内容）17．。

（线性方程组的求解要求掌握）18．因为，所以的特征值为。

对于，解方程组，得到一个特征向量，同理，对于分别得到特征向量，。

将分别单位化后的向量记为，则。

（求特征值与特征向量，并与对角矩阵相似的内容要求掌握）19．因为，而都可逆，所以，按照伴随矩阵方法或者初等变换的方法可求得，，所以。

（求逆矩阵的方法要求掌握）20．记，所以 线性无关，并且。

如果，由于 线性无关，因此表示法唯一，所以，解得。

或者因为，也得到此结果。

注意此题的解法：以给定的向量为列写出一个矩阵（即使所给定的向量是行向量），对作初等行变换，将化为行最简型矩阵,一切答案就显而易见了。

从17-20题的解答可以看出，利用初等变换可以（1）解线性方程组；（2）求矩阵的特征向量；（3）求矩阵的逆；（4）求矩阵的秩；（5）判断向量组的线性相关性，求向量组的秩和其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

因此初等变换的方法要特别熟练掌握。

复习题（二）1-5题为判断题1．设为阶正交阵，则其伴随矩阵也一定是正交矩阵。

（ ）2. 如果维向量与的内积 ，则向量一定线性相关。

（）3. 设为阶矩阵，对任何的维列向量，有解，则可逆。

（）4. 若方阵与相似，则有 ( ). 若n阶方阵的，则对任何n维向量组 则 一定线性相关。

（ ）6-10题为单项选择题6. 设是方阵，则下列结论错误的是（ ）与行列式相同； 与的秩相同；与特征值相同； 与特征向量相同。

7. 已知为阶可逆阵，是的逆阵，则 （ ）1； ； ； 。

8. 非齐次线性方程组 ，，则 （ ）时，方程有解； 时，方程有唯一解；时，方程有唯一解； 时，方程有无穷多解9. 设是3阶方阵，中有3个列向量依次为 则（）； ；； 。

10. ，，，，其中 为任意实数，则 （ ）线性相关； 线性无关；线性相关； 线性无关。

11-15题为填空题11. 二次型正定，则的取值范围12. 已知，则 。

13. 已知是线性空间上的线性变换，；，则14. 已知是实对称矩阵的一个特征向量，则相应的特征值= 。

15. 已知向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量组的一个最大无关组为 。

16.计算四阶行列式17.线性方程组。

（1）求出它所对应的齐次线性方程组的一个基础解系；（2）求该非齐次方程组的通解。

18． 设矩阵，，且，求矩阵。

19．设，，,求的特征值。

20． 已知，，，具体求出所有的使的不全为零的常数，并求该向量组的秩和一个最大无关组。

21．证明题（1）若是齐次线性方程组的一个基础解系，证明：也是该方程组的基础解系。

（2）设都是阶正交阵，证明：也是正交阵。

复习题（二）解答1． √； 2. ; 3. ; 4. √； 5. .6. D;7. B;8. A;9. D; 10. B.11. ； 12. ； 13. ； 14.； 15.16.===-14417.(1). 齐次线性方程组的一个基础解系X=(2). 非齐次线性方程组的一个通解X=18. ；。

19. 对称阵，一定能对角化，得，由特征值性质：有的特征值为：；，，伴随矩阵的特征值为：又，即的特征值为的特征值为。

20. 是齐次线性方程求解；向量组的秩是2；最大无关组。

21. 证明：(1) 因是齐次线性方程组的解，由解的性质,也是该方程组的解,设一组数使整理是齐次线性方程组的一个基础解系，线性无关，，得有线性无关，它们也是该方程组的基础解系。

（2） 设都是阶正交阵， 即 ，所以 也是正交阵。

复习题（三）1-5题为判断题（每小题2分），向量组都线性无关。

（ ） 2．若矩阵和的乘积可逆，则和都可逆。

（ ）3．齐次线性方程组有形如的解。

（ ）4．若阶方阵满足,则对任意维列向量均有。

（ ）5．上的线性变换是一个正交变换。

（ ）6-10题为单项选择题（每小题2分）6．已知是矩阵, 是矩阵，则齐次线性方程组与（ ）（Ａ）无公共解；（Ｂ）只有公共零解；　（Ｃ）必有公共非零解；（Ｄ）同解。

7.若矩阵的特征值为 ，则下列矩阵可逆的是 （ ）（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。

8. 设,则与 （ ）（Ａ）合同，且相似；（Ｂ）合同，但不相似；（Ｃ）不合同，但相似；（Ｄ）既不合同，也不相似。

9．已知维向量组满足：秩=秩，秩，那么，向量组的秩为 （ ）（Ａ）4；（Ｂ）3；（Ｃ）2；（Ｄ）1。

10. 已知为矩阵，为矩阵，且，则 （ ）（Ａ）的行向量组线性无关，的列向量组线性无关；（Ｂ）的行向量组线性无关，的行向量组线性无关；（Ｃ）的列向量组线性无关，的行向量组线性无关；（Ｄ）的列向量组线性无关，的列向量组线性无关。

11-15题为填空题（每小题2分）11． 若为可逆矩阵，且，是的代数余子式，则。

12. 二次型的秩为2，则= 。

13． 四阶实对称矩阵满足，且,则 。

14． 线性空间的维数等于 。

15．设四阶方阵 ，且线性无关，。

已知，则线性方程组的通解为 。

16．计算四阶行列式。

17．求解线性方程组。

18．已知，求解矩阵方程。

19．已知矩阵与矩阵相似。

（1）求参数；（2）求正交矩阵,使。

20．讨论参数的取值，求向量组的秩和一个最大线性无关组。

21．证明题（1）已知为三阶方阵，为三维非零列向量，且，，记，证明线性无关。

（2）设为阶矩阵，且，判断是否为正定矩阵？说明理由。

复习题（三）解答1． √； 2. ; 3. ; 4. √； 5. √.6. C;7. C;8.B;9. B; 10.A.11. 1； 12. 5； 13. 8； 14.2； 15. k为任意实数16. : 17. 解: 增广矩阵所以原方程组的通解为，k为任意实数。

18. 解：由，得所以19. 解：由与相似，知是的一个特征值，所以解得，即，的特征值为对应的特征向量为单位化后得，所求正交矩阵20. 解：当是，，为一个最大线性无关组；当是，，为一个最大线性无关组；21. （1）证明：由于是矩阵的不同特征值的特征向量，所以线性无关，故可逆，记，则可逆，所以的列向量组也线性无关，即线性无关。

（2）证明：是，，对称。

由，所以只有零解，因此对，，从而，故正定。

自测题1-5题为填空题：1． 设为三阶方阵，为的伴随矩阵，且，则= .2．二次型正定，则的取值范围为 ., 所以3． 线性空间的维数等于 .，所以 4． 设三阶方阵的各行元素之和均为，向量，是线性方程组的两个解，则= .，，，，所以5． 设，则= ., 所以6-10题为单项选择题：6. 设，，，，其中 ，，，为任意实数，则（Ｂ）（Ａ） 线性相关； （Ｂ）线性无关；（Ｃ）线性相关； （Ｄ）线性无关.因为，，线性无关，所以线性无关7. 设为阶矩阵，且，，均为奇异矩阵， （Ｂ）（Ａ） ； （Ｂ） ； （Ｃ） ； （Ｄ） .因为，所以的特征值为，所以8. 已知是矩阵, 是矩阵，则齐次线性方程组与（Ｃ ）（Ａ）无公共解；（Ｂ）只有公共零解；（Ｃ）必有公共非零解；（Ｄ）同解.考虑齐次线性方程组，由于，所以有非零解9. 设矩阵，且存在矩阵使得，又，则（Ｄ）（Ａ）；　（Ｂ）；　（Ｃ）； （Ｄ）.因为，，所以方程组的基础解系所含解向量的个数等于,即，而显然，所以，所以10. 已知矩阵与相似，且，则秩与秩之和等于（ ）（Ａ）；　（Ｂ）；　（Ｃ）； （Ｄ）., 所以的特征值为，所以，（因为是单特征值），所以11-15题为判断题，正确打√，错误打×：11． 设为阶方阵，则可以经过初等变换化为. （ √）因为与 秩相同，又为阶方阵，所以与在初等变换下的标准型相同，所以可以经过初等变换化为.12． 如果可由唯一线性表示,则线性无关. （ √ ）因为可由唯一线性表示，所以方程组有唯一解，所以，所以线性无关.13． 齐次线性方程组有形如的解. （ × ）如果，其中为的列，则可由线性表示，矛盾！14．若按定义阶行列式的展开式中每一项都不为零,则. （ × ）15．若实对称矩阵与相似，则与合同. （√）因为实对称矩阵与相似，所以存在正交矩阵使得所以，所以,所以,所以与合同.16．（12分）计算四阶行列式．17．（12分）求线性方程组的通解．18．（12分） 设矩阵，其中，，求．19．（12分）求向量组 、、、的秩和一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大线性无关组线性表示．20．（12分）设矩阵相似于对角矩阵，试确定常数的值，并求可逆矩阵，使得．,所以的特征值为，因为特征值的重数为2，所以，所以，又，所以.21． （5分）设为阶方阵，且，，，证明．证明 因为所以,所以，所以，所以.22．（5分）设是非齐次线性方程组的一个解，，，是对应齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1），，，线性无关；（2），，，线性无关．证明（1）设，如果，则可由，，线性表示，这与是非齐次线性方程组的一个解矛盾！所以，所以，而，，是基础解系，所以线性无关，所以，所以，，，线性无关.（2）设, 所以，如果，则可由，，线性表示，这与是非齐次线性方程组的一个解矛盾！所以，所以，而，，是基础解系，所以线性无关，所以，结合，所以，所以，，，线性无关．2013-2014学年第二学期《线性代数》考前答疑安排时间：2014年6月23日——6月27日每天下午：2:30—6:00地点：行知楼B328（如果学校安排有变化，授课教师会另行通知）。