高中数学综合训练系列试题(15)一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1 （理）复数Bi A imi+=+-212（m A B∈R ），且A+B=0，则m 的值是（ ）A2 B 32 C －32D 2（文）已知集合{}{}|12,|35A x a x a B x x =-≤≤+=<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是 （ ）A {}|34a a <≤B {}|34a a <<C {}|34a a ≤≤D ∅ 2函数()f x =的最小正周期是 ( )A 2πB π C2π D 4π3 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+-.1,2553,034x y x y x 所表示的平面区域图形是（ ）A 第一象限内的三角形B 四边形C 第三象限内的三角形D 以上都不对4 如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（ ）A49B29C23D135 已知()321233y x bx b x =++++在R 上不是单调增函数，则b 的范围（ ）A 1b <-或2b >B 1b ≤-或2b ≥C 21b -<<D 12b -≤≤6 （理）平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n ≥3)维向量，n 维向量可用（x 1，x 2，x 3，x 4，…,x n ）表示 设a r=(a 1, a 2, a 3, a 4，…, a n )，b r =（b 1,b 2, b 3, b 4,…,b n ），规定向量a r 与b r夹角θ的余弦为cos ni ia bθ=∑ 当a r=(1,1,1,1…,1)，b r=(－1, －1, 1, 1,…,1)时，cos θ=（ ）Ann 1- Bn n 3- C n n 2- D nn 4- （文）m R n ∈，a r 、 b r 、 c r 是共起点的向量，a r 、 b r 不共线，c ma nb =+r r r，则a r 、b r 、c r的终点共线的充分必要条件是 ( )A 1-=+n mB 0=+n mC 1=-n mD 1=+n m7 把函数x sin 3x cos )x (f -=的图象向左平移m 个单位, 所得图象关于y 轴对称, 则m 的最小值为 ( ) A65π B 32π C 3π D 6π8 已知关于x 的方程：a x x =-+242log )3(log 在区间（3，4）内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ),47[log 2+∞ B +∞,47(log 2）C )1,47(log 2 D ),1(+∞ 9 在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则11931a a -的值为（ ） A 14 B 15 C 16 D 17 10 下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”； 其中正确命题的序号是A ①②B ②③C ③④D ②④11 （理）已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1 F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若e PF PF =||||21，则e 的值为（ ）A33 B 23 C 22 D 36（文）与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点（－3，24）的双曲线方程是 （ ） A 191622=-x y B 13822=-x y C 116322=-y x D 149422=-y x 12 在数列}{n a 中，21=a ，⎩⎨⎧=+=++)(2)(211为偶数为奇数n a a n a a n n n n 则5a 等于 （ ）A 12B 14C 20D 22二 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 把答案填在题中横线上 13 若指数函数()()xf x a x R =∈的部分对应值如下表：则不等式1(1)0fx --<的解集为14 若圆锥曲线15222=++-k y k x 的焦距与k 无关，则它的焦点坐标是__________ 15 若2005200522102005)21(x a x a x a a x ++++=-Λ（R x ∈），则)()()()(20050302010a a a a a a a a ++++++++Λ＝ （用数字作答）16 设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0m >，使|)(x f |≤||x m 对一切实数x 均成立，则称)(x f 为F 函数 给出下列函数：①()0f x =；②()2f x x =； ③)(x f =)cos (sin 2x x +； ④1)(2++=x x xx f ；⑤)(x f 是R 上的奇函数，且满足对一切实数1x 2x 均有||2|)()(|2121x x x f x f -≤- 其中是F 函数的序号为三、 解答题：本大题共6小题，共74分 解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤17 （本小题满分12分）设向量a ρ=(cos23°，cos67°)，b ρb=(cos68°，cos22°)，b t a u ρρρ+= (t ∈R) (1)求b a ρϖ⋅；(2)求u ρu 的模的最小值（理）某系统是由四个整流二极管（串 并）联结而成，已知每个二极管的可靠度为0.8 （即正常工作时），若要求系统的可靠度大于0 . 85，请你设计至少两种不同的联结方式，并说明理由（文）如图是一个方格迷宫，甲 乙两人分别位于迷宫的A 、B 两处，现以每分钟一格的速度同时出发，在每个路口只能向东、西、 南、北四个方向之一行走 若甲向东、向西行走的概率均为41，向南 、向北行走的概率分别为31和p ，乙向东、南 、 西 、 北四个方向行走的概率均为q（1）求p 和q 的值；（2）设至少经过t 分钟，甲 、乙两人能首次相遇，试确定t 的值，并求t 分钟时，甲乙两人相遇的概率东（理）已知函数)(x f 、)(x g 对任意实数x 、y 分别满足 ①)(3)1(x f x f =+且31)0(=f ；②y xg y x g 2)()(+=+且15)6(=g ，n 为正整数 （1）求数列)}({n f 、)}({n g 的通项公式； （2）设)]([n f g c n =，求数列}{n c 的前n 项和 （文）已知等比数列{}n a ，22a =，5128a = （1）求通项n a ；（2）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且360n S =，求n 的值20 （本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中， ∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1（1）证明PA ⊥平面ABCD ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//21 （本小题满分12分）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A （1，0）、 B （0，－2），点C 满足,OC OA OB αβα=+u u u r u u u r u u u r 其中、12,=-∈βαβ且R（1）求点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 交于两点M N ，且以MN 为直径的圆过原点，求证：为定值2211b a -22 （本小题满分14分） （理）已知函数x x f ln )(=（1）求函数x x f x g -+=)1()(的最大值； （2）当b a <<0时，求证22)(2)()(b a a b a a f b f +->-（文）设函数)10(3231)(223<<+-+-=a b x a ax x x f （1）求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值； （2）当x ∈[a+1, a+2]时，不等a x f ≤'|)(|，求a 的取值范围高中数学综合训练系列试题(15)参考答案一、 选择题1 （理）C,5,5521B A i -==⇒=+∵0=+B A ，∴320)4()22(-=⇒=+--m m m （文）C 435231≤≤⇒⎩⎨⎧≥+≤-a a a2 C 242,84cos 1cos sin )sin 1(sin )(2222ππ==∴-==-=T x x x x x x f 3 A 作出其可行域知选A 4 A 94646421=⨯=⋅=P P P 5 A 0222'≥+++=b bx x y 恒成立()210)2(422≤≤-⇒≤+-=∆⇒b b b又因为'y 不恒小于0,故b 的范围为1b <-或2b > 6 （理）D nn nn n 4)2(2)111)(111(111111)1(1)1(1cos 222222-=⨯-+-=++++⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯=ΛΛΛθ （文）D 设a r 、 b r 、 c r的终点为A,B,C,1(1)()m n c ma m b c b m a b BC mBA +=⇔=+-⇔-=-⇔=r r r u u u r u u u r r rr r 即A,B,C 三点共线7 B )3cos(2)3cos(2)(ππ++=−−−−−→−+=m x y x x f m 个单位左移，∴m 可以为32π8 C )4,3(,3log 2∈+=x x x a Θ，∴)1,47(log 2∈a 9 C 1651203232)(32)2(31318999119=⨯==-=+-=-a d a d a a a a 10 D a 平行于b 所在的平面时，a,b 可能异面，故①错；直线a b 不相交时a,b 可能平行，故③错，由此排除A,B,C,选D11 （理）A 设00(,)P x y ，则()33300=⇒+=+e c x e a ex （文）A 设双曲线为λ=-16922y x ，∴116)24(9)3(22-=--=λ，故选A 12 B 14212126244254321=+=⇒=⇒=+=⇒=⇒=a a a a a 二、 填空题 13 (1,2)1 1.21.2,() 1.2()log x a f x f x x -==⇒=，∴11.2(1)0log (1)012f x x x --<⇔-<⇔<<14 )7,0(±∵25->+k k ，又曲线15222=++-k y k x 的焦距与k 无关，故焦点坐标为)7,0(± 15 2003令1=x 知12005210-=++++a a a a Λ，又10=a∴010203020050012005()()()()2004()a a a a a a a a a a a a ++++++++=++++L L ＝200312004=- 16 ①②④⑤令0=x 知③不是F 函数，其它的可以证明是F 函数 三、 解答题17 解：(1)b a ρρ⋅=cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos68°cos23°+sin68°sin23°=cos45°=22…………………6分 (2)21)22(212)(2222222++=++=+⋅+=+=t t t b t b a t a b t a u ρρρρρρρ 当t=－22时，min u ρ=22 ………………………………12分18 （理）解：方式一：系统可靠度85.02.01)(4>-=A P …………………………6分方式二：系统可靠度()85.02.01)2.01()2.01()(2222>-=-⋅-=B P ……………12分另外： （文）（1）41,14611314141=∴==∴=+++q q p p ΘΘ……（4分） （2）t=2甲 乙两人可以相遇（如图，在C D E 三处相遇） …………5分设在C D E 三处相遇的概率分别为P C P D P E ，则： P C =5761)4141()6161(=⨯⨯⨯ ………………7分 P D =961)4141(2)4161(2=⨯⨯⨯ …………………9分P E =11111()()4444256⨯⨯⨯=……………………11分P C +P D +P E =230437即所求的概率为230437………12分 19 （理）解答：（1）由)(3)1(x f x f =+，1)0(3)01()1(==+=f f f ，知)}({n f 成等比数列，∴11331)(--=⋅=n n n f …………………………………………………3分 由②中令n x =，1=y ，得2)()1(+=+n g n g ，知)}({n g 成等差数列，322)6()6()(+=⋅-+=n n g n g ，即32)(+=n n g …………………6分（2）3323)(2)]([1+⨯=+=-n n f n f g ……………………9分 133313132321-+=+--⋅=++++∴n n c c c c n n n Λ ………………12分也可北南AB CD E（文）解答：（1）212a a q ==Q ，451128a a q ==31164,4,2q q a ∴=∴==112311422n n n n a a q ---∴==⋅= …………………………5分（2）2322log log 223n n n b a n -===- 1[2(1)3](23)2n n b b n n +-=+---=Q {}n b ∴是以11b =-为首项，2为公差的等差数列，(123)3602n n nS -+-∴==223600n n ∴--=，20n ∴=或18n =-（舍去） 20n ∴= ……12分20 证明： （Ⅰ） 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中， 由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2知PA ⊥AB同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD …………3分 （Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ， 由PA ⊥平面ABCD知EG ⊥平面ABCD 作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角又PE : ED=2 : 1，所以.3360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =︒===从而 ,33tan ==GH EG θ .30︒=θ……………7分 （Ⅲ）解法一 以A 为坐标原点，直线AD AP 分别为y 轴 z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图 由题设条件，相关各点的坐标分别为).0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(a a C a a B A -).31,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D所以 2131(0,,),(,,0).3322AE a a AC a a ==u u u r u u u r 31(0,0,),(,,).22AP a PC a a a ==-u u u r u u u r 31(,,).22BP a a a =-u u u r设点F 是棱PC 上的点，31(,,),01,2PF PC a a a λλλλλ==-<<u u u r u u u r 其中则3131(,,)(,,)2222BF BP PF a a a a a a λλλ=+=-+-u u u r u u u r u u u r)).1(),1(21),1(23(λλλ-+-=a a a 令 12BF AC AE λλ=+u u u r u u u r u u u r 得 1112122233(1),1,221124(1),1,223311(1).1.33a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλ⎧⎧-=⎪⎪-=⎪⎪⎪⎪+=++=+⎨⎨⎪⎪⎪⎪-=-=⎪⎪⎩⎩即解得 .23,21,2121=-==λλλ 即 21=λ时，13.22BF AC AE =-+u u u r u u ur u u u r亦即，F 是PC 的中点时，BF u u u r 、AC u u u r 、 AE u u u r共面又 BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC ……………12分 解法二 当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC ，证明如下， 证法一 取PE 的中点M ，连结FM ，则FM//CE ① 由 ,21ED PE EM ==知E 是MD 的中点 连结BM BD ，设BD ⋂AC=O ，则O 为BD 的中点 所以 BM//OE ②由① ②知，平面BFM//平面AEC 又 BF ⊂平面BFM ，所以BF//平面AEC证法二因为 11()22BF BC CP AD CD DP =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1313()()222231.22AD CD DE AD AD AC AE AD AE AC =++=+-+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u ur u u u r所以 BF u u u r 、AE u u u r、AC u u u r 共面又 BF ⊄平面ABC ，从而BF//平面AEC21 解答：（1）解：设(,),,(,)(1,0)(0,2)C x y OC OA OB x y αβαβ=+=+-u u u r u u u r u u u r因为则1122=+∴=-⎩⎨⎧-==∴y x y x βαβαΘ即点C 的轨迹方程为x+y=1 ……4分02)(:11)2(22222222222222≠-=--+-⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a b b a a x a x a b b y ax y x 由题意得得由2222221222212211,2:),,(),,(a b b a a x x a b a x x y x N y x M -+-=--=+则设12122222122212122222222222,0,022()(1)(1)1()2101120,2 12MN OM ON x x y y a a a b x x x x x x x x b a b ab a a b a b⋅=+=+∴+--=-++=+-=----=∴-=u u u u r u u u rL L 因为以为直径的圆过原点即即为定值分22（文）解答：（1）∵f ′(x)=－x 2+4ax －3a 2=－(x －3a)(x －a),由f ′(x)>0得：a<x<3a由f ′(x)<0得，x<a 或x>3a ，则函数f(x)的单调递增区间为（a, 3a ），单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞） 列表如下：∴函数f(x)的极大值为b ，极小值为－3a 3+b …………………………7分 （2）]2,1[)(,)2(34)(2222++'∴+--=-+-='a a x f a a x a ax x x f 在Θ上单调递减，因此44)2()(,12)1()(min max -=+'='-=+'='a a f x f a a f x f ∵不等式|f ′(x)|≤a 恒成立， ∴ 154:,4412<≤⎩⎨⎧-≥-≤-a aa a a 解得 即a 的取值范围是154<≤a …………14分。