高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．【答案】解：(1)将点A代入双曲线方程得4a2−1a2−1=1，化简得a4−4a2+4=0得：a2=2，故双曲线方程为x22−y2=1;由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则联立直线与双曲线得：(2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0，△>0，故x1+x2=−4km2k2−1，x1x2=2m2+22k2−1，k AP+k AQ=y1−1x1−2+y2−1x2−2=kx1+m−1x1−2+kx2+m−1x2−2=0，化简得：2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0，故2k(2m2+2)2k2−1+(m−1−2k)(−4km2k2−1)−4(m−1)=0，即(k+1)(m+2k−1)=0，而直线l不过A点，故k=−1．(2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ=2√2，得tan∠PAQ2=√22，由2α+∠PAQ=π，得k AP=tanα=√2，即y1−1x1−2=√2，联立y 1−1x1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23，y 1=4√2−53， 同理，x 2=10+4√23，y 2=−4√2−53， 故x 1+x 2=203，x 1x 2=689而|AP|=√3|x 1−2|，|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23， 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29． 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】.设双曲线C:x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x. (1)求C 的方程;(2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ，B 两点，点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M ，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M 在AB 上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|．【答案】解：(1)由题意可得ba =√3，√a 2+b 2=2，故a =1，b =√3． 因此C 的方程为x 2−y 23=1．(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0， 则x 1+x 2=2km3−k 2，x 1x 2=−m 2+33−k 2，x 1−x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(m 2+3−k 2)3−k 2．不段点M 的坐标为(x M ,y M )，则{y M −y 1=−√3(x M −x 1)y M −y 2=√3(x M −x 2)．两式相减，得y 1−y 2=2√3x M −√3(x 1+x 2)，而y 1−y 2=(kx 1+m)−(kx 2+m)=k(x 1−x 2)，故2√3x M =k(x 1−x 2)+√3(x 1+x 2)，解得x M =k√m 2+3−k 2+km3−k 2．两式相加，得2y M −(y 1+y 2)=√3(x 1−x 2)，而y 1+y 2=(kx 1+m)+(kx 2+m)=k(x 1+x 2)+2m ，故2y M =k(x 1+x 2)+√3(x 1−x 2)+2m ，解得y M =3√m 2+3−k 2+3m3−k 2=3k x M ⋅因此，点M 的轨迹为直线y =3k x ，其中k 为直线PQ 的斜率． 若选择 ① ②:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A，解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3．此时x A +x B =4k 2k 2−3，y A +y B =12kk 2−3．而点M 的坐标满足{y M =k(x M −2)y M =3k x M ， 解得x M =2k 2k 2−3=x A +x B2，y M =6kk 2−3=y A +y B2，故M 为AB 的中点，即|MA|=|MB|． 若选择 ① ③:当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点F(2,0)，此时M 不在直线y =3k x 上，矛盾．故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =p(x −2)(p ≠0)， 并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =p(x A −2)y A =√3x A，解得x A =p−√3，y A =√3pp−√3．同理可得x B =p+√3，y B =−√3pp+√3．此时x M =x A +x B2=2p 2p 2−3，y M =y A +y B2=6pp 2−3．由于点M 同时在直线y =3k x 上，故6p =3k ·2p 2，解得k =p.因此PQ//AB ． 若选择 ② ③:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3，设AB 的中点为C(x C ,y C )，则x C =x A +x B2=2k 2k 2−3，y C =y A +y B2=6kk 2−3．由于|MA|=|MB|，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y −y C =−1k (x −x C )上．将该直线与y =3k x 联立，解得x M =2k 2k 2−3=x C ，y M =6kk 2−3=y C ，即点M 恰为AB 中点，故点而在直线AB 上． 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查开放探究能力，属于压轴题．主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于难题【命题方向】圆锥曲线综合大题是属于高考历年的压轴题之一，难度较大，对学生的综合要求较高。

考察直线与圆锥曲线的位置关系，考察椭圆、双曲线和抛物线的性质，考察定值，定直线，面积最值，存在性与恒成立等问题。

解题要充分利用数形结合数学思想，转化与化归数学思想，考察逻辑推导数学素养，对运算能力和逻辑推导能力要求较高 【得分要点】一、基础题型：韦达定理型（又叫“五个方程”型） “五个方程”（过去老高考对韦达定理型的直观称呼。

） 1. 一直一曲俩交点。

2. 直线有没有？是那种未知型的？已知过定点00x y （，）。

则可设为00y-y =k(x-x )，同时讨论k 不存在情况。

如 3.曲线方程有没有？俩交点：设为()()1122,,,A x y B x y4.联立方程，消y 或者消x ，建立一元二次方程，同时不要忘了判别式2x ()00b xc '''++=∆>（。

（3）a ）。

或者2y ()00b y c '''++=∆>（。

（3）a ）。

5. 得到对应的韦达定理1212(4)(5)..........x x x x +== 或1212(4)(5)y ..........y y y +==6. 目标，就是把题中问题转化为第六个关于韦达定理的方程或者不等式，代入求解二、圆锥曲线中直线设法+，此时包含了斜如果所过定点在x轴上，为（m，0），也可以设为x=ty m率不存在的情况，但是反而不包含x轴这条直线。

把两种设法都展示出来供参考。

+，当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：y=k x m依旧得讨论k是否存在情况当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。

设成此时直线不包含斜率不存在，。

注意适当的对此补充讨论+。

y=mx k设成，此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。

+y tx=m设“双变量”时，第一种设法较多。

因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实际上也没有特别大的计算优势。

如第1题。

重要！双变量设法，注意以下这个规律：一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。

这也是证明直线过定点的理论根据之一。

经典真题汇总及解析1．（2021·甘肃省武威第二中学高三开学考试（理））如图，已知点(1,0)F，直线l：1x=-，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，若QP QF FP FQ⋅=⋅(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点(1,0)M -作直线m 交轨迹C 于A 、B 两点.记直线FA 、FB 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k +的值； 【答案】(1)24y x =(2)0【分析】（1）设点(,)P x y ，则(1,)Q y -，由QP QF FP FQ ⋅=⋅，则可列出方程，化简即为答案；（2）由题意知，直线m 斜率存在且不为0，故可设直线m ：(1)y k x =+，联立直线与抛物线C ,设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则可得212242k x x k-+=，121x x ⋅=，用12x x 、表示出12k k +，即可求出答案. （1）设点(,)P x y ，则(1,)Q y -，由QP QF FP FQ ⋅=⋅得：(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y +⋅-=-⋅-， 即22(1)2(1)x x y +=--+化简得C ：24y x =； （2）由题意知：直线m 斜率存在且不为0，设直线m ：(1)y k x =+，与抛物线方程联立2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩得：2222(24)0k x k x k -++=，则0k ≠且0∆>，∴11k -<<且0k ≠，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则212242kx x k-+=，121x x ⋅=， ∴12121211y y k k x x +=+--1212(1)(1)11k x k x x x ++=+--1212220(1)(1)x x k x x -=⋅=--.2．（2021·河南·高三开学考试（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)过抛物线C 焦点的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，已知点()3,2A ，求AM AN ⋅取得最大值时直线l 的方程. 【答案】(1)24y x =；(2)330x y +-=.【分析】(1)根据抛物线的定义和标准方程即可求出p 的值；(2)设直线l 为1x ty =+，和抛物线方程联立，结合韦达定理表示出AM AN ⋅，根据二次函数性质即可求出其最大值和此时l 的方程． （1）抛物线C 的焦点到准线的距离为2，所以222pp⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2p =所以抛物线C 的方程为24y x =； （2）抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0. 设点()11,M x y ，()22,N x y ，由题意知直线l 的斜率不等于0，且过点()1,0F ，所以设直线l 的方程为1x ty =+，由24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩得2440y ty --=， 2Δ16160t =+>恒成立，由韦达定理得124y y t +=，124y y =-， ∴()()()()12123322AM AN x x y y ⋅=--+--()()121212123924x x x x y y y y =-+++-++()22221212121239244444y y y y y y y y ⎛⎫=⋅-+++-++ ⎪⎝⎭()()()22121212121232924164y y y y y y y y y y -⎡⎤=-+-++++⎣⎦ ()()22224311648948412841216433t t t t t -⎛⎫⎡⎤=-++--+=--+=-++ ⎪⎣⎦⎝⎭所以当13t =-时，AM AN ⋅取得最大值为163， 此时直线l 的方程为330x y +-=.3．（2021·河南·高三开学考试（理））已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点()06,P y 到焦点F 的距离0||2PF y =． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且斜率为3l 与抛物线C 交于A ，B 两点，点M 为抛物线C 准线上一点，且3MA MB ⋅=，求MAB △的面积． 【答案】(1)212x y =(2)283363【分析】（1）由题知000223620p y y py p ⎧=+⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，进而解方程即可得答案；（2）结合（1）得直线l 的方程为3330x -=，进而与抛物线方程联立得A ，B 的坐标分别为(23,1)，(63,9)-，再设M 的坐标为(,3)t -，进而结合向量数量积的坐标运算t 3=33-再分别计算||AB 与点M 到直线l 的距离即可得面积.（1）解：因为抛物线2:2(0)C x py p =>上一点()06,P y 到焦点F 的距离0||2PF y =，所以，抛物线的定义得0||2p PF y =+．所以，000223620p y y py p ⎧=+⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，解得036y p =⎧⎨=⎩．所以，抛物线的方程为212x y =； （2）解：由（1）知点(0,3)F ，所以直线l 的方程为3330x y -．所以，联立方程2333012x x y⎧-=⎪⎨=⎪⎩得21090y y -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则11y =，29y =，1210y y +=， 点A ，B 的坐标分别为(23,1)，(3,9)-．设点M 的坐标为(,3)t -，则(23,4)MA t =，(63,12)MB t =-，所以(23)(63)4123MA MB t t ⋅=-+⨯=，解得t 3=-或33-所以1212||||||1061622ppAB AF BF y y y y p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点M 到直线l 的距离为|63|t d -=73d =93．当73d =MAB △的面积为1||2832S d AB =⋅=当93d =MAB △的面积为1||3632S d AB =⋅=4．（2022·湖北·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()()121,0,1,0F F -，动点M 满足1222MF MF +=.记点M 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)经过1F 且不垂直于坐标轴的直线l 与C 交于,A B 两点，x 轴上点P 满足PA PB =，证明：1ABF P为定值，并求出该值.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析，22【分析】（1）利用椭圆的定义求点M 的轨迹方程C ；（2）设出直线l 为：()1,0y k x k =+≠，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，从而表达出弦长AB ，再求出AB 中点，进而表达出AB 的垂直平分线，求出P 点坐标，得到1F P 的长，得到1ABF P为定值. （1）由椭圆的定义可知：M 的轨迹为以()()121,0,1,0F F -为焦点的椭圆，且1222MF MF +=则可得222a =1c =， 所以2222,211a b a c ==-=-=，所以C 的方程为2212x y +=（2）设直线l 为：()1,0y k x k =+≠，则联立2212x y +=得：()2222124220k x k x k +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，()121222212ky y k x x k k +=++=+， 则())2222222242222141121212k k k AB k k k k -+⎛⎫+-- ⎪+++⎝⎭， AB 中点坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以AB 的垂直平分线为222121212k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 令0y =得：2212kx k =-+，所以22,012k P k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，22122111212k k F P k k +=-=++，()22212211222112k AB k k F Pk ++==++5．（2022·河南·新安县第一高级中学模拟预测（文））已知椭圆C ：2222+x y a b＝10a b >>（）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12，M 为椭圆C 上一动点，FAM △33(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 的直线l ：y =kx +1与椭圆C 的另一个交点为N ，P 为线段MN 的中点，射线OP 与椭圆交于点D ．点Q 为直线OP 上一动点，且2OP OQ OD ⋅=，求证：点Q 到y 轴距离为定值．【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）按照题目所给的条件即可求解；（2）作图，联立方程，将M ，N ，P ，Q ，D 的坐标用斜率k 表示出来， （1）设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的几何性质知，当点M 位于椭圆的短轴端点时，FAM △ 的面积取得最大值，此时1()2FAMSa cb =+ ，133()2a c b ∴+=()3 3.a c b ∴+=． 由离心率12ca =得2a c =，3bc ∴=，解得1c =，2a =，3b =∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意作下图：设()11,M x y ，()22,N x y ．由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234880k x kx ++-=．∴点()0,1在这个椭圆内部，所以0∆>，122843kx x k +=-+，122843x x k =-+， ()212122286224343k y y k x x k k ∴+=++=-+=++，∴点P 的坐标为2243,4343k k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭当0k ≠时，直线OP 的斜率为34k -，∴直线OP 的方程为34y x k =-，即43kx y =-， 将直线OP 的方程代入椭圆方程得22943Dy k =+，2221643D k x k =+，设点4,3k Q y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由 2OP OQ OD ⋅=得22222443169433434343k k k y y k k k k ⎛⎫-⋅-+⋅=+ ⎪++++⎝⎭，化简得()222216916943343k k y k k ++⋅=++，化简得3y =，∴点Q 在直线3y =上，当直线l 的斜率0k =时，此时(0,1)P ，3)D ，由2OP OQ OD ⋅=得(0,3)Q ，也满足条件， ∴点Q 在直线3y =上； 所以点Q 到y 轴距离为定值【点睛】本题的难点在于联立方程，把M ，N ，P ，Q ，D 点的坐标用k 表示出来，有一定的计算量，其中由于OP 与椭圆有两个交点，在表示OD 的时候用2OD 表示，可以避免讨论点D 在那个位置.6．（2022·河南·高三开学考试（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的内接正方形的面积为487，且长轴长为4． (1)求C 的方程．(2)直线l 经过点()1,1-，且斜率大于零．过C 的左焦点1F 作直线l 的垂线，垂足为A ，过C 的右焦点2F 作直线l 的垂线，垂足为B ，试问在C 内是否存在梯形21F F AB ，使得梯形21F F AB 的面积有最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)21【分析】（1）利用待定系数法求出C 的方程；（2）假设存在梯形21F F AB ．设直线:l y kx m =+，由题意得到1m k -=，分别求出点()11,0F -和()21,0F 到直线l 的距离表示出梯形21F F AB 的面积，利用基本不等式求出最大值，再联立直线l 和直线2BF 求出点2322B +⎝⎭并判断出B 、A 在曲线C的内部，符合题意. （1）设C 的内接正方形的一个端点坐标为(),x x ，则22221x x a b+=，解得22222a b x a b =+，则C 的内接正方形的面积为222222222248227a b a b a b a b ++，即()2222127a b a b =+．又24a =，所以2a =，代入()2222127a b a b =+，解得23b =，故C 的方程为22143x y +=．（2）存在梯形21F F AB 21． 理由如下：设直线:l y kx m =+，0k >． 因为直线l 经过点()1,1-，所以1m k -=，所以点()11,0F -到直线l 2211m k k k -++点()21,0F 到直线l 2211m k k k +++所以梯形21F F AB 的面积12221cos 211S F F k k θ=++（θ为直线l 的倾斜角）， 所以()222211222122122211121k S k k k k k +===≤=+-++++-+， 当且仅当21k =时，等号成立，此时，直线):212l y x =)2:2121BF y x =-，联立这两条直线的方程，解得2322x y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩因为222322122122472424724 1.583143329696++++⨯⎝⎭⎝⎭+==<=<， 所以点2322B +⎝⎭在C 的内部. 同理可证：422244A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭也在C 的内部. 故在C 内存在梯形21F F AB 21．7．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）椭圆22122:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率为6e ，过1C 的左焦点1F 的直线20l x y -+=:被圆()()2222:33C x y r -+-=（0r >）截得的张长为22 (1)求椭圆1C 的方程；(2)设1C 的右焦点为2F ，在2C 上是否存在点P ，满足2122aPF PF b=？若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标），若不存在，说明理由.【答案】(1)22162x y +=；(2)2【分析】（1）由直线与x 轴交点求得c ，再由离心率求得a ，从而可求得b 得椭圆方程；（2）由弦长求得圆的半径，设(,)P x y ，由2122a PF PF b=得P 点轨迹是圆，由该圆与已知圆2C 的位置关系确定交点个数，得出结论． （1）由已知直线l 与x 轴交点为1(2,0)F -，所以2c =，又26c e a a ===6a = 则222b a c =-所以椭圆方程为22162x y +=；（2）圆2C 的圆心为2(3,3)C ，它到直线l 的距离为33222d -+==所以弦长为22222222r d r -=-2r =（0r >）， 即圆方程为22(3)(3)4x y -+-=，设(,)P x y ，由（1）12(2,0),(2,0)F F -，22632a b ==，2122a PF PF b=即为213PF PF =，2222(2)3(2)x y x y ++-+2259()24x y -+=，所以满足2122a PF PF b=的点P 在圆M ：2259()24x y -+=，其中圆心为5(,0)2M ，半径为32R =，又222537(3)(03)2C M =-+-=， 37222R r +=+=，31222R r -=-=，显然2R r C M R r -<<+， 圆2C 与圆M 相交，有两个交点， 所以满足题意的点P 有两个．8．（2022·广东·高三开学考试）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线上一点(1,)E t -，直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于不同的两点A 、B ． (1)求抛物线C 的方程；(2)设直线EA 、EF 、EB 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，求证：1322k k k +=． 【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）利用待定系数法求出标准方程；（2）设l 的方程为x my =1+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩，利用“设而不求法”表示出13k k +，再求出2k ，即可证明.（1）由题意，知12p=，所以2p =，所以拋物线C 的方程为24y x =． （2）因为直线l 过抛物线C 的焦点(1,0)F ，由题意知，直线l 斜率不为0，所以设l 的方程为x my =1+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得244y my =+， 即2440y my --=，所以216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =-所以12131211y ty tk k x x --+=+++()()()()()()2112121111x y t x y t x x +-++-=++()()()()2112121212211x y x y t x x y y tx x +-+++-=++()()1212212122(2)424my y tm y y t m y y m y y +-+-=+++228(2)44484m tm m tm m -+-⨯-=-++222244444444tm t m t t m m --+==-⨯=-++， 因为(1,)E t -，(1,0)F ，所以201(1)2t tk -==---， 所以1322k k k +=．9．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）已知椭圆2222:1,(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距与短轴长均为4． (1)求E 的方程；(2)设任意过2F 的直线为l 交E 于M ，N ，分别作E 在点M ，N 上的两条切线，并记它们的交点为P ，过1F 作平行于l 的直线分别交,PM PN 于A ，B ，求||||OA OB OP +的取值范围．【答案】(1)22184x y +=(2)(]0,1【分析】（1）根据焦距和短轴的公式求解即可；（2）设l 的方程为2x ty =+，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与椭圆的方程，根据椭圆的切线方程，联立可得()4,2P t -，设MN 的中点为(),Q Q Q x y ，根据韦达定理可得2242,22t Q t t -⎛⎫⎪++⎝⎭，再结合三角形与椭圆的性质可得,,,R O Q P 四点共线，从而化简||2||||||OA OB OP O OP Q +=，再根据,Q P 的横坐标关系，结合参数的范围求解即可（1）由题意，2224a b -=，24b =，解得24b=，28a =，故椭圆22184x y +=（2）由题意，()22,0F ，显然l 的斜率不为0，故设l 的方程为2x ty =+，()()1122,,,M x y N x y ，则221842x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，即()222440t y ty ++-=，故12242t y y t +=-+，12242y y t =-+.联立过,M N 的切线方程1122184184x x y yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即12122211212828x y x y y y y x y x y y y y +=⎧⎨+=⎩，相减可得()()1221218x y x y x y y -=-，即()()()122121228ty y ty y x y y +-+=-⎡⎤⎣⎦，化简可得4x =.代入11184x x y y+=可得()1111422422ty x y t y y -+-===-，故()4,2P t -.设MN 的中点为(),Q Q Q x y ，则122222Q y y t y t +==-+，22224222Q t x t t =-+=++，故2242,22t Q t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭.因为2222422OQtt t k t -+==-+，242OP t t k -==-，故OQ OP k k =，所以,,O Q P 三点共线.又1F 作平行于l 的直线分别交,PM PN 于A ，B ，易得PMN PAB ，取AB 中点R ，根据三角形的性质有,,,R O Q P 四点共线，结合椭圆的对称性有||2||2||||||||OR OA OB OP OQ OP OP +==22212Q Px x t ==≤+，当且仅当0=t 时取等号.故(]||0,1||OA OB OP +∈【点睛】方法点睛：根据直线与椭圆的位置关系，结合向量的性质，联立方程利用韦达定理证明三点共线与求取值范围的问题.需要根据题意联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到,P Q 的坐标，再根据三角形与向量的性质转化所求的量从而进行简化求解范围.属于难题10．（2022·上海闵行·二模）已知点12F F 、分别为椭圆22:12xy Γ+=的左､右焦点，直线:l y kx t =+与椭圆Γ有且仅有一个公共点，直线12,F M l F N l ⊥⊥，垂足分别为点M N 、.(1)求证：2221t k =+；(2)求证：12F M F N ⋅为定值，并求出该定值；(3)求OM ON OM ON +⋅-的最大值.【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析，定值为1(3)4【分析】（1）直线与椭圆联立后用根的判别式等于0列出方程，求出2221t k =+；（2）利用点到直线距离公式得到121k t F M k -++221k t F N k +=+1F M ∴2F N ，求出1212F M F N F M F N ⋅=⋅，结合第一问的结论证明出12F M F N ⋅为定值1；（3）利用向量线性运算及点12,F F 在直线l 的同侧得到12OM ON F M F N +=+，结合第二问得到122222111t k t k t F M F N k k k -+++==+++122cos 1OM ON F F k α-==+α为12,F F MN 的夹角），结合第一问结论得到224811t t OM ON OM ON k t +⋅-==++，利用基本不等式求出最值.(1)联立:l y kx t =+与22:12x y Γ+=得：()222214220k x ktx t +++-=， 由直线与椭圆有一个公共点可知：()()()222Δ4421220kt k t =-+-=，化简得：2221t k =+； (2)由题意得：()()121,0,1,0F F -，因为12,F M l F N l ⊥⊥，所以1F M ∴2F N ，故1212F M F N F M F N ⋅=⋅，其中121k t F M k -+=+，221k t F N k +=+所以2222121222222111111t k k k k t k t F M F N F M F N k k k k -+--++⋅=⋅====++++，12F M F N ⋅为定值，该定值为1；(3)11221212OM ON OF F M OF F N F M F N F M F N +=+++=+=+，由题意得：点12,F F 在直线l 的同侧，所以122222111t k t k t F M F N k k k -+++==+++12122cos 1F F MN OM ON NM F F MNk α⋅-====+（其中α为12,F F MN 的夹角），由此可知：22488411112t t OM ON OM ON k t t t tt+⋅-===≤=+++⋅，当且仅当1t t =即1,0t k ==时，等号成立，所以OM ON OM ON +⋅-的最大值为4. 【点睛】对于圆锥曲线定值问题，要能够利用题干信息用一个变量求解出要求的量，可以是直线的斜率，也可以是点的坐标，然后代入计算得到定点.。