专题15 三角形中的范围与最值问题【方法技巧与总结】1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。

解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.2.解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围.【题型归纳目录】题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：角平分线问题题型七：中线问题题型八：四心问题题型九：坐标法题型十：隐圆问题题型十一：两边夹问题题型十二：与正切有关的最值问题题型十三：最大角问题题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题题型十五：托勒密定理及旋转相似题型十六：三角形中的平方问题题型十七：等面积法、张角定理【典例例题】 题型一：周长问题例1．（2022·云南·昆明市第三中学高一期中）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设sin cos()6a C c A π=-．(1)求A ；(2)从三个条件：①ABCb =a =ABC 周长的取值范围．例2．（2022·重庆·高一阶段练习）已知向量(3sin ,cos )a x x =，(1,1)b =，函数()f x a b =⋅． (1)求函数()f x 在[]0,π上的值域；(2)若ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2f A =，1a =，求ABC 的周长的取值范围．例3．（2022·浙江·高三专题练习）锐角ABC 的内切圆的圆心为O ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .()222tan b c a A =+-，且ABC 的外接圆半径为1，则BOC 周长的取值范围为___________.例4．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π． (1)求ω的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围．题型二：面积问题例5．（2022·贵州黔东南·高一期中）在面积为S 的△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. (1)求C 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，记2Sm a =，求m 的取值范围.例6．（2022·浙江·高二阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,cos 2a b c A A =． (1)求角A ；(2)若点D 满足34AD AC =，且2BC =，求BCD △面积的取值范围．例7．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）在ABC 中，D 的边BC 的中点，32,2cos cos2()2AD C A B =-+=． (1)求角C ；(2)求ABC 面积的取值范围．例8．（2022·江苏省天一中学高一期中）在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，若2cos 24a cb C ==-，.ABC 是锐角三角形，则ABC 面积的取值范围是___________.题型三：长度问题例9．（2022·辽宁·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin sin 3sin c a b C A B a B +--+=．(1)求角C 的大小；(2)设1m ，若ABC 的外接圆半径为4，且2a mb +有最大值，求m 的取值范围．例10．（2022·河南·模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．22cos 22C C =，4c =，a b +=．(1)求ABCS ；(2)求11a b-的取值范围．例11．（2022·江苏·高三专题练习）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2A+C =B ，ABC的面积S . (1)求边c ；(2)若ABC 为锐角三角形，求a 的取值范围.例12．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知()()cos ,cos ,3sin ,cos a x x b x x ==-，()f x a b =⋅，(1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()12f A =，且a =22b c +的取值范围.例13．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量,sin c a x B b c -⎛⎫=⎪+⎝⎭，,sin b c y A c a -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，且x y ；②π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入横线上并解答．在锐角三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，． (1)求角C ；(2)若ABC 的面积为2a b +的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例14．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC 为锐角三角形，求)2b c a-的取值范围．例15．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin Bc a C b c a b-=+-，②23cos cos cos 24A C A C --=tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔ (2)求2a c -的范围．例16．（2022·浙江·模拟预测）在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，sin sin b A C B =，则ac 的最小值为________．例17．（2022·安徽黄山·二模（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．例18．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，角B 是钝角，则2()a c ab -的取值范围是________.例19．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3sin c b A =，则2()a b ab+的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[4,6]C ．[4,2D ．[4,2题型四：转化为角范围问题例20．（2022·河北秦皇岛·二模）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-.(1)求A ；(2)求cos cos B C -的取值范围.例21．（2022·广东茂名·模拟预测）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()cos cos a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状并给出证明； (2)若a b ，求sin sin sin A B C ++的取值范围．例22．（2022·浙江温州·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知1,a b ==. (1)若π4B ∠=，求角A 的大小； (2)求πcos cos 6A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围.例23．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知函数()223sin 4sin cos cos f x x x x x =+-．(1)求函数()f x 的最大值；(2)已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足224B c af a π++⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin sin sin A B C ⋅⋅的取值范围．例24．（2022·山西·模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2(cos )c a b C =-. (1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，求22sin sin A C +的取值范围.例25．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边是,,a b c ，且1,cos cos 1a b A B =-=，若,A B 变化时，2sin 2sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围是______例26．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））锐角ABC 中，π3A =，角A 的角平分线交BC 于点M ，2AM = ,,则BM CM ⋅ 的取值范围为_________.例27．（2022·辽宁·高一期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan a b A =，且B 为钝角，则B A -=______，sin sin A C +的取值范围是______．例28．（2021·云南师大附中高三阶段练习（理））如图所示，有一块三角形的空地，已知7,12ABC BC π∠==千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝________；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使6DBE π∠=，则BD ＋BE 最小值为________平方千米．例29．（2021·浙江·舟山中学高三阶段练习）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，2AC CB ==P 是ABC 内一动点，120BPC ∠=︒，则ABC 的外接圆半径r =______，AP 的最小值为____________．例30．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）在锐角ABC 中，22a b bc -=，则角B 的范围是________，556sin tan tan A B A-+的取值范围为__________.例31．（2022·新疆喀什·一模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2A B =，且A 为锐角，则1cos c b A+的最小值为（ ）A．1 B ．3 C ．2 D ．4例32．（2021·北京·高三专题练习）在锐角ABC 中2A B =，B ，C 的对边长分别是b ，c ，则bb c+的取值范围是（ ） A ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭例33．（2022•石家庄模拟）如图，平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，1AB =，2BC =，AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为 ．题型五： 倍角问题例34．（2021·安徽·芜湖一中高一期中）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2C B =，则c b的取值范围为______.例35．（2021·全国·高三专题练习（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为______.例36．（2020·全国·高二单元测试）已知ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是,,A B C 的对边.若2A B =，则ab ba+的取值范围是_________.例37．（2020·陕西·无高一阶段练习）已知ABC ∆是锐角三角形，若2A B =，则ab的取值范围是_____.例38．（2019·四川·成都外国语学校高二开学考试（文））已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则22c b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围为______例39．（2021·江西鹰潭·一模（理））已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2A B =，则22ac b ab+的取值范围为__________．例40．（2022•芜湖模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则2()b ac b+最小值是 ．例41．（2022•道里区校级一模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为 ．题型六： 角平分线问题例42．（2022·河北保定·高一阶段练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=.(1)求A 的大小；(2)若BC A 的角平分线交BC 于点D ，求AD 的最小值.例43．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且满足（a +2b ）cos C +c cos A =0. (1)求角C 的大小；(2)设AB 边上的角平分线CD 长为2，求△ABC 的面积的最小值.题型七： 中线问题例44．（2022·江苏省天一中学高一期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22222sin 2sin sin 2sin sin cos cos2A B C B C C C ---=-.(1)求角A ；(2)若AD 是ABC 的中线，且2AD =，求b c +的最大值.例45．（2022·山西运城·高一阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,cos sin a b c B a B =+.(1)若8,a ABC =的面积为D 为边BC 的中点，求中线AD 的长度； (2)若E 为边BC 上一点，且1,:2:AE BE EC c b ==，求2b c +的最小值.例46．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tan tan .cos aB C c B=+ (1)求角C 的大小；(2)若边2c =，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的取值范围．例47．（2022·山东滨州·二模）锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2sin cos C a A B =．(1)求A ；(2)若2b =，D 为AB 的中点，求CD 的取值范围．例48．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））在①3(cos )sin b c A C-，②1tan (1)2tan a Cb B =+，③πsin cos()6c B b C =-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________． (1)求C ；(2)若ABC 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值．例49．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①2sin cos sin b C B c B =+，②cos cos 2B bC a c=-两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________. (1)求角B ；(2)若a c +=D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.例50．（多选题）（2022·甘肃定西·高一阶段练习）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有：（ ） A ．3AB AC ⋅= B ．2210b c +=C ．3cos 15A ≤<D ．∠BAD 的最大值为60°题型八： 四心问题例51．（2022·山东泰安·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点O 是ABC 的外心，cos 3||||AO AB AO AC a C AB AC π⋅⋅⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若ABC 外接圆的周长为，求ABC 周长的取值范围，例52．（2021·河南南阳·高三期末（理））在 ABC sin sin cos sin B CC C A++=.(1)求A ；(2)若 ABC 的内切圆半径2r =，求+AB AC 的最小值.例53．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知O 是三角形ABC 的外心，若2||||2()||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=，且2sin sin B C +=m 的最大值为（ ） A ．34B ．35C ．23D ．12例54．（2022·全国·高三专题练习）已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（ ） A ．3 B ．35C ．75D ．32例55．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a （B 4π+），c =5且O 为△ABC 的外心，G 为△ABC 的重心，则OG 的最小值为（ ）A 1BC 1D例56．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的周长为9，若cos 2sin 22A B C-=，则ABC 的内切圆半径的最大值为（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D例57．（2022·全国·高三专题练习）在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．45⎡⎢⎣⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭例58．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．25D ．36题型九： 坐标法例59．（2022·全国·模拟预测（文））在Rt ABC △中，2BAC π∠=，2AB AC ==，点M 在ABC 内部，3cos 5AMC ∠=-，则22MB MA -的最小值为______．例60．（2022•南通一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围为 ．例61．M 为等边ABC ∆内一动点，且120CMB ∠=︒，则AMMC的最小值为 ．例62．（2022•江苏模拟）已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+，则||BQ 的最小值是 ．例63．（2022秋•新华区校级期末）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒，根据以上性质，函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y=-++++++-的最小值为()A．2B．3C．23-D．23+例64．（2022•唐山二模）在等边ABC∆中，M为ABC∆内一动点，120BMC∠=︒，则MAMC的最小值是()A．1B．34C．32D．33例65．（2022春•仁寿县校级期末）锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是( ) A ．1(2，6)3B ．1(2，1)C ．4[5，6)3D ．4[5，1)例66．（2022春•博望区校级月考）在等腰ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中B 为钝角，3sin cos2b a A b A -=．点D 与点B 在直线AC 的两侧，且33CD AD ==，则BCD ∆的面积的最大值为( ) A ．334B ．43C ．534D ．3例67．（2022•淮安模拟）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑⋅波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”．在ABC ∆中，120A ∠=︒，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O ，若△123O O O 的面积为3，则ABC ∆的周长的取值范围为 ．题型十： 隐圆问题例68．（2022•盐城二模）若点G 为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，则sin C 的最大值为 ．例69．（2022•江苏三模）在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，2AB =，1AD =，若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则12CB CD +的最小值为 ．例70．（2022•涪城区校级开学）若ABC ∆满足条件4AB =，2AC BC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．例71．已知A ，B 是圆22:10O x y +=上的动点，42AB =，P 是圆22(6)(8)1C x y -+-=上的动点，则|3|PA PB +的取值范围是 ．例72．（2022•合肥模拟）锐角ABC ∆中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为ABC ∆的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为( ) A ．3[2，5]3B ．4[5，6)3C ．6[5，)+∞D ．5[6，5]3例73．（2022•江汉区校级模拟）ABC ∆中3AB AC ==，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积最大值为( )A ．2233B ．52316C ．354D ．33516例74．（2022•上城区校级模拟）设a ，b 为单位向量，向量c 满足|2|||c a a b +=，则||c b -的最大值为() A ．2 B ．1 C ．3 D ．2例75．（2022春•瑶海区月考）在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为( ) A ．27 B ．16 C ．10 D ．25例76．已知圆22:5O x y +=，A ，B 为圆O 上的两个动点，且||2AB =，M 为弦AB 的中点，(22C ，)a ，(22D ，2)a +．当A ，B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,2)-∞- B ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞ C ．(2,)-+∞ D ．(-∞，0)(2⋃，)+∞题型十一：两边夹问题例77．（2022•合肥一模）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，1cos()cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为 ．例78．（2022•静安区二模）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ．已知a ，b ，c 依次成等比数列，且1cos()cos 2A CB --=，延长边BC 到D ，若4BD =，则ACD ∆面积的最大值为 ．例79．（2022•常德一模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c ab =，且3cos()cos 2A B C -+=． （Ⅰ）求角C ；（Ⅰ）延长BC 至D ，使得4BD =，求ACD ∆面积的最大值．例80．在ABC ∆中，若cos cos 2sin sin A B B A +=，且ABC ∆的周长为12． （1）求证：ABC ∆为直角三角形；（2）求ABC ∆面积的最大值．题型十二：与正切有关的最值问题例81．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2B C b a B +=．求： (1)A ；(2)a c b-的取值范围．例82．（2022·全国·模拟预测）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若220c bc a +-=，则()2114sin cos tan tan C C C A ++-的取值范围为（ ）A ．()B ．()8,9C ．4,9⎫⎪⎪⎝⎭D ．()4,9 例83．（2022·山西吕梁·二模（文））锐角ABC 是单位圆的内接三角形，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22224cos 2cos +-=-a b c a A ac B ，则ac b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．⎝D ．⎝例84．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.例85．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．C ．D ． 例86．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则bc 的取值范围为（ ） A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭题型十三：最大角问题例87．（2022春•海淀区校级期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大”．如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点(1,2)M -，(1,4)N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是( )A．7-B．1或7-C．2或7-D．1例88．（2022秋•青羊区校级期中）（理科）E、F是椭圆22142x y+=的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，EPF∠的最大值是()A．60︒B．30︒C．90︒D．45︒例89．（2022春•辽宁期末）设ABC∆的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且3 cos cos5a Bb A c-=，则tan()A B-的最大值为()A．35B．13C．38D．34例90．（2022•滨州二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面()c c b<米的C处看此树，离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大．例91．如图，足球门框的长AB 为2(1 3.66)dw dw m =，设足球为一点P ，足球与A ，B 连线所成的角为(090)αα︒<<︒．（1）若队员射门训练时，射门角度30α=︒，求足球所在弧线的方程；（2）已知点D 到直线AB 的距离为3dw ，到直线AB 的垂直平分线的距离为2dw ，若教练员要求队员，当足球运至距离点D 为2dw 处的一点时射门，问射门角度α最大可为多少？题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题 例92．（2022秋•安徽月考）17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC ∆中，若三个内角均小于120︒，当点P 满足120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上性质，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则||||||a b a b a c -+++-的最小值是( )A ．23-B ．23+C ．31-D ．31+例93．（2022•深圳模拟）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔⋅德费马(16011665)-于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC ∆的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC ∆的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为 ．例94．（2022秋•全国月考）费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为120︒．已知ABC ∆的三个内角均小于120︒，P 为ABC ∆的费马点，且3PA PB PC ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ．例95．（2022春•湖北期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC ∆内接于半径为6的圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若30ACB ∠=︒，则△A B C '''的面积最大值为 ．例96．（2022春•润州区校级期中）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC ∆内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若90ACB ∠=︒，则△A B C '''的面积最大值为 ．题型十五：托勒密定理及旋转相似例97．（2022春•五华区月考）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形．已知点B ，C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且AE AB =，点F 为EC 的中点．设2AC r =，DAC α∠=，那么下列结论：①2cos DC r α=，②2cos2AB r α=，③(1cos2)FC r α=-，④2(2)DC r r AB =-其中正确的是( )A．②③B．②④C．①③④D．②③④例98．（2022春•扬州期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，42BD=，且ACD∆为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A．8B．16C．83D．163例99．（2021秋•宝山区校级月考）凸四边形就是没有角度数大于180︒的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，AB=，31BC=，AC CD∠变化时，对角线BD的最大值为()⊥，AC CD=，当ABCA ．3B ．4C ．61+D ．723+例100．（2022•冀州市校级模拟）在ABC ∆中，2BC =，1AC =，以AB 为边作等腰直角三角形(ABD B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4例101．（2022•日照一模）如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，ACD ∆为正三角形，则BCD∆面积的最大值为( )A．232+B．312+C．322+D．31+题型十六：三角形中的平方问题例102．（2021秋•河南期末）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，23Bπ=，23b=，2223b c a bc+-=．若BAC∠的平分线与BC交于点E，则(AE=) A．6B．7C．22D．3例103．（2022•洛阳二模）已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，若满足22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为( )A ．55B ．255C ．355D ．53例104．（2022春•张家界期末）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是2222221[()]42a b c S a b +-=-，其中a ，b ，c 是ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，若sin 2sin cos B A C =且2b ，2，2c 成等差数列，则ABC ∆面积S 的最大值为( )A ．55 B ．235 C ．1 D ．255例105．（2022•晋城一模）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()S A C b c +=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为( ) A ．2B ．2C ．1D ．22例106．（2022•秦淮区模拟）在锐角三角形ABC 中，已知2224sin sin 4sin A B C +=，则111tan tan tan A B C ++的最小值为 ．例107．（2022•浙江三模）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若已知224sin()6b c bc A π+=+，则tan tan tan A B C ++的最小值是 ．例108．（2022春•鼓楼区校级期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2233cos 0a b ab C -+=，则cos cos ()A B c a b +的最小值为 ．例109．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则22224121741213b bc c b bc c -+-+的取值范围为（ ）． A ．973,537⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2819,1815⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．732,37⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．281,2181⎛⎤ ⎥⎝⎦例110．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222533a b c +=，则sin A 的取值范围是___________.题型十七：等面积法、张角定理例111．（2022秋•厦门校级期中）给定平面上四点A ，B ，C ，D ，满足2AB =，4AC =，6AD =，4AB AC =，则DBC ∆面积的最大值为 ．例112．（2022春•奎屯市校级期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．7例113．（2022•云南一模）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，2BD =，则ABC ∆的面积的最小值为( ) A ．33B ．43C ．53D ．63例114．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则23a c +的最小值为( )A ．25B ．526+C ．5D ．342+。