现代控制理论试卷 1一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打×(1)用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。

（）(2)线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的能观性不变。

（）(3)若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。

（）(4)状态反馈不改变被控系统的能控性和能观测性。

（）(5)通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时能控和能观的。

（）二、（12分）已知系统1001010,(0)00121x x x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()x t.三、(12分) 考虑由下式确定的系统：2s+2(s)=43Ws s++，求其状态空间实现的能控标准型和对角线标准型。

四、（9分）已知系统[]210020,011003x x y⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？五、(17分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性.[]xy u x x 11103211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=六、（17分）已知子系统1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求出串联后系统的状态模型和传递函数.七、（15分）确定使系统2001020240021a x x u b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦为完全能控时，待定参数的取值范围。

八、（8分）已知非线性系统 ⎩⎨⎧--=+-=2112211sin 2x a x xx x x试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。

现代控制理论 试卷 1参考答案一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1) 用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。

（√）(2) 线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的能观性不变。

（√） (3) 若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。

（×）(4) 状态反馈不改变被控系统的能控性和能观测性。

（×）(5) 通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时能控和能观的。

（√）二、（12分）已知系统 1001010,(0)00121x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()x t 解12100010012A O A O A ⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭12101,12A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭1200A tAt A t ee e ⎛⎫=⎪⎝⎭1A t t e e =…………………………..……….（2分）11210()12s sI A s ---⎛⎫-= ⎪--⎝⎭101111212s s s s ⎛⎫ ⎪-=⎪ ⎪-⎪---⎝⎭………..……….（3分） (){}2112220tA tt t t e eLsI A e ee --⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭………..……….（2分） ()11220000t At t t tt e e L sI A e e e e --⎛⎫ ⎪⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎪-⎝⎭……….……….（3分） ()(0)At x t e x =222001000001t t tt t t t e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………..……….（2分） 三、(12分) 考虑由下式确定的系统：2s+2(s)=43W s s ++，求其状态空间实现的能控标准型和对角线标准型。

解：能控标准型 []01034121x x u y x⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦= (5分) 对角线标准型2s+2111(s)=()43213W s s s s =⋅+++++ (2分)[]1010310.50.5x x u y x-⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦= (5分)四、（9分）已知系统[]210 020,011003x x y ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？解 [][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（2分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（2分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（2分）rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（3分）五、(17分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性.[]xy u x x 11103211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 解：能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3210AB B ，[]2=AB B rank ，所以系统完全能控. (4分)能观性矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111CA C ，2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡CA C rank ，所以系统完全能观.(4分) 李亚普诺夫稳定性的充要条件：对任意给定的对称正定矩阵Q ，都存在一个对称正定矩阵P ，使得Q PA P A T -=+.(4分)由李亚普诺夫方程Q PA P A T -=+，设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001Q 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22121211p p p p P ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3211A ，解得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=83858547P ，由0)det(,04711>>=P p ，知P 正定，所以系统大范围渐进稳定.(5分) 六、（17分）已知子系统1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求出串联后系统的状态模型和传递函数.解 组合系统状态空间表达式为[]1200101001,00010011010010x x u y x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦（8分）组合系统传递函数为21()()()G s G s G s = （4分）21331(1)(1)(1)(1)s s s s s s s ++=⨯=+-+-+ （5分）七、（15分）确定使系统2001020240021a x x u b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦为完全能控时，待定参数的取值范围。

解：22[,,]224448,8162244c Q B AB A B a a AB A B b b =--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(7分)1[2,4,2]21c a arankQ rank b b==， (5分)表明无论a,b 取何值，系统都是不能控的。

(3分)八、（8分）已知非线性系统 ⎩⎨⎧--=+-=2112211sin 2x a x xx x x试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。

解：显然原点为一个平衡点，根据克拉索夫斯基方法，可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=11111112cos 21cos 2121cos 21cos 211a x x a x a x F 因为 02<-；所以，当0)cos 21(42cos 21cos 212211111>--=----x a a x x时，该系统在原点大范围渐近稳定。

解上述不等式知，491>a 时，不等式恒成立。

即491>a 时，系统在原点大范围渐近稳定。

现代控制理论 试卷 2一、(10分) 判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1) 如果从高阶微分方程或传递函数变换为状态方程, 则状态方程非唯一。

（ ）(2) 对一个给定的状态空间模型，若它是输出能控的，则也是状态能控的。

（ ） (3) 若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。

（ ）(4) 状态反馈不改变系统的能观性。

（ ）(5) 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能。

（ ） 二、(12分) 线性连续系统u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=103210 ),(1)(,0)0(t t u x == 试求系统响应)(t x .三、(12分) 考虑由下式确定的系统：232(s)=33s sW s s s ++--，求其状态空间实现的能控标准型和对角线标准型。

四、（9分）已知系统[]310 030,012001x x y ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？五、(17分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性.[]110 10111x x u y x⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=六、（17分）已知子系统1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求出并联后系统的状态模型和传递函数.七、（15分）设系统的传递函数为10()(1)(2)=++G s s s s ，设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点为2,1--±j 。

八、（8分）已知系统状态模型为[]xy u x x 11101201=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 试求其传递函数。

现代控制理论 试卷 2参考答案一、(10分) 判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1) 如果从高阶微分方程或传递函数变换为状态方程, 则状态方程非唯一。

（√）(2) 对一个给定的状态空间模型，若它是输出能控的，则也是状态能控的。

（√） (3) 若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。

（×）(4) 状态反馈不改变系统的能观性。

（×）(5) 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能。

（√） 二、(12分) 线性连续系统u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=103210 ),(1)(,0)0(t t u x == 试求系统响应)(t x .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--------t t tt t t t t Ate e e e e e e e e A 222222223210得，由（8分）由 ，),(1)(,0)0(t t u x == 得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=----t t tt e e e e t x 222)(（4分）三、(12分) 考虑由下式确定的系统：232(s)=33s sW s s s ++--，求其状态空间实现的能控标准型和对角线标准型。