诚信考试 沉着应考 杜绝违纪
浙江大学2009–2010学年 秋冬 学期
《 高等数学 》课程期末考试试卷
开课学院： 理学院 ，考试形式： 闭 卷，允许带___________入场 考试时间： 2010 年 1 月 23 日,所需时间： 120 分钟
考生姓名： _____学号： 专业： ______
一、填空题（每个空格3 分，共33 分）
1.设函数⎩
⎨⎧<+≥-=0 ,0
,1)(2x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k -1 。

2.计算极限：11
lim 21--→x x x = 2 ；)sin 11(lim 0x
x x -
→= 0 。

3.设函数x x y sin =，则
=dx
dy
sin cos x x x +；=22dx y d 2cos sin x x x -。

4.设1=-y
xe y ，则==0|x dx
dy
e 。

5.5
001.1的近似值为 1.0002 。

6.函数)1ln(+-=x x y 的单调增加区间为 (0,+∞) 。

7.设矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=1 2 4 16 5 2 2 4 2 2 1 A ，则A 的秩为 3 。

8.假设有100件产品，其中有70件为一等品，30件为二等品。

从中一次随机
地抽取3件，则恰好有2件一等品的概率为217030
3100 C C C 。

9.甲、乙二人各投篮一次，设甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，则甲、乙二人至少有一人投中的概率为 0.88 。

二、（本题 6分）欲造一个容积为250m 3的圆柱形无盖蓄水池，已知池底的单位面积造价是周围的单位面积造价的两倍。

要使水池造价最低，问其底半径与高应是多少？
解： 设所做的圆柱形底半径为r ，高为h ，侧面造价为1单位，则总造价
2()22P r r rh ππ=+．
由2V r h π=得到2V
h r
π=，代入上式消去h ，得
22()2V
P r r r π=+，(0,)r ∈+∞． 令22()4=0V
P r r r
π'=-
，得到唯一驻点r =
点，即底面半径r ===
三、计算不定积分与定积分（每小题 5分，共 15分）
1.
解：()3
222
111(1)23x x C =+=++⎰
2.解：
()()()()11sin 2sin 22cos 2221111
cos(2)cos 2cos(2)sin 22224
x xdx x x d x xd x x x x dx x x x C =
=-=-+=-++⎰⎰⎰⎰
3.解：
()()()(
)2420
4
42
4
2404
sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx x x x x π
π
π
πππ
ππ
π
π
=
=-=
-+-=
-+-=++--=⎰
⎰
⎰⎰⎰
四、（本题5分）求由直线x y =与曲线2
x y =所围成平面图形的面积。

解： ()1201
6
S x x dx =-=⎰
五、矩阵与行列式计算（每小题6分，共 12分）
1.求与矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=1 10 1
A 可交换的矩阵
B 。

解：设 , a b B c d ⎛⎫
= ⎪⎝⎭则
,
1 0 1 0 , 1 1 1 1 AB BA a b a b c d c d =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , -a b b a b c d d a c b d -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭
可得 0,,
b d a ==
即 0, a B c a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭其中,a c 为任意值。

2.计算行列式：3 1 2 14 0 215
4 0 32 3 1 2-
2
1 3 2
2 1
3 22 1
3 23 0
4 53 0 4 53 0 4 512 0 412 0 450 6 81
2
1 3
2 0 1 72 0 1 7345
5
68921
7
==--=-=
六、（本题 8分）求解线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-++--=++--=++-8
42 32 32 65 32 432143214321x x x x x x x x x x x x
°231
5
60777231248077721231212312000001231207772077721231200000410112
12312722
01110111770000000000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
→---→--- ⎪ ⎪
⎪ ⎪------⎝
⎭⎝⎭
---⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝
⎭⎝⎭
⎛
⎫- ⎪
--⎛⎫
⎪ ⎪→---→--- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
解为134234427
,27x x x x x x ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=+-⎪⎩
其中34,x x 可取任意实数。

七、随机事件概率计算（每小题7分，共 14分）
1. 甲、乙、丙三厂向某商场供应某种商品，分别占该商场总进货量的40%，35%和25%。

又已知甲、乙、丙三厂该种产品的次品率分别为0.02，0.03，0.04。

现某人购一件该种产品发现是次品，则三厂家应承担多大责任？
解：设： 1A 为事件“甲厂生产商品”； 2A 为事件“乙厂生产商品”；
3A 为事件“丙厂生产商品”； B 为事件“商品是次品”； 则
111112233()(/)
(/)()(/)()(/)()(/)
0.40.02
0.281
0.40.020.350.030.250.04
P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++⨯=
=⨯+⨯+⨯
222112233()(/)
(/)()(/)()(/)()(/)0.350.03
0.368
0.40.020.350.030.250.04
P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =
++⨯=
=⨯+⨯+⨯
333112233()(/)
(/)()(/)()(/)()(/)
0.250.04
0.351
0.40.020.350.030.250.04
P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =
++⨯=
=⨯+⨯+⨯
2. 某彩票每周开奖一次，每注获大奖的机会为十万分之一，若某人每周买一注彩票，坚持十年（每年按52周计算），问该人十年中一次都未中大奖的概率。

解：
52051
(1)10.00520.9948
10((1)1)P x x x αα=-≈-=+≈+当很小时，
八、（本题 7分）如果电源电压在不超过200V 、200～240V 之间和超过240V 三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别是0.1、0.001和0.2，设电源电压)25,220(~2N X ，求该电子元件损坏的概率（其中7881.0)8.0(≈Φ）。

解：
()()()()()()200220(200)0.810.80.2119;
25240220200220(200240)2525 0.80.820.810.5762;
240220(240)1(240)110.80.211925P X P X P X P X -⎛⎫
≤=Φ=Φ-=-Φ= ⎪⎝⎭
--⎛⎫⎛⎫
≤≤=Φ-Φ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=Φ-Φ-=Φ-=-⎛⎫
≥=-≤=-Φ=-Φ= ⎪⎝⎭
;
电子元件损坏的概率：
0.21190.10.57620.0010.21190.20.0641;P =⨯+⨯+⨯≈。