第一章 质点运动学一 选择题1． 下列说法中，正确的是 （ ） A. 一物体若具有恒定的速率，则没有变化的速度 B. 一物体具有恒定的速度，但仍有变化的速率 C. 一物体具有恒定的加速度，则其速度不可能为零D. 一物体具有沿x 轴正方向的加速度，其速度有可能沿x 轴的负方向 解：答案是D 。

2. 某质点作直线运动的运动方程为x =3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作 （ ） A. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 B. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 C. 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 D. 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 解：答案是D3. 如图示，路灯距地面高为H ，行人身高为h ，若人以匀速v 背向路灯行走，则人头影子移动的速度u 为（ ）A.v H h H - B. v h H H - C. v H h D. v h H解：答案是B 。

设人头影子到灯杆的距离为x ，则 H h x s x =-，s h H Hx -=， v hH Ht s h H H t x u -=-==d d d d 所以答案是B 。

4. 一质点的运动方程为j i r )()(t y t x +=，其中t 1时刻的位矢为j i r )()(111t y t x +=。

问质点在t 1时刻的速率是 （ ）A.d d 1tr B.d d 1tr C. 1d dt t t=r D.122)d d ()d d (t t ty t x =+解 根据速率的概念，它等于速度矢量的模。

本题答案为D 。

5. 一物体从某一确定高度以v 0的初速度水平抛出，已知它落地时的速度为v t ，那么它的运动时间是 （ ）A. g 0v v -t B. g20v v -t C.g 202v v -t D. g2202v v -t解：答案是C 。

灯s选择题3图gt t ty =-=202v v v ，g t t /202v v -=，所以答案是C 。

6. 质点作圆周运动时，下列说表述中正确的是 （ ） A. 速度方向一定指向切向，加速度方向一定指向圆心 B. 速度方向一定指向切向，加速度方向也一般指向切向 C. 由于法向分速度为零，所以法向加速度也一定为零 D. 切向加速度仅由速率的变化引起 解 答案是D 。

质点作圆周运动时，一般有切向加速度和法向加速度，总加速度是它们的矢量和，加速度的方向一般既不指向圆心也不指向切向。

A 、B 和C 显然都是错误的，而切向加速度是由速度大小的变化引起的，因此D 是正确的。

7. 在做自由落体运动的升降机内，某人竖直上抛一弹性球，此人会观察到 （ ） A. 球匀减速地上升，达最大高度后匀加速下落 B. 球匀速地上升，与顶板碰撞后匀速下落 C. 球匀减速地上升，与顶板接触后停留在那里 D. 球匀减速地上升，达最大高度后停留在那里 解：答案是B 。

升降机内的人与球之间没有相对加速度。

所以答案是B 。

8. 某人在由北向南行驶，速率为36 km ⋅ h –1的汽车上，测得风从西边吹来，大小为10 m⋅ s –1，则实际风速大小和方向为：（ ）A. 0B. 14.14 m ⋅ s –1，西南风 C. 10 m ⋅ s –1，西南风 D. 14.14 m ⋅ s –1，西北风解：答案是D 。

如图所示，由题意可知，已知牵连速率v 0为36 km ⋅ h –1（即10 m ⋅ s –1），而相对速率v '为10 m ⋅ s –1，所以绝对速率v 为14.14 m ⋅ s –1，方向指向东南。

所以答案是D 。

二 填空题1. 一质点沿x 轴运动，运动方程为x =3+5t +6t 2-t 3 (SI 单位)。

则质点在t =0到t =1s 过程中的平均速度v =______________m/s ；质点在t =1s 时刻的速度v =______________ m/s 。

解 根据平均速度定义,101650101=-+=--=∆∆=x x t x v m/s 。

质点在任意时刻的速度23125d d t t tx-+==v ，因此质点在t =1s 时刻的速度14131125)1(2=⨯-⨯+=v m/s 。

选择题8图2. 两辆车A 和B ，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出发，并且由出发点开始计时，行驶的距离 x 与行驶时间 t 的函数关系式：24t t x A +=，3222t t x B += (SI 单位)，则：(1) 它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是______________； (2) 出发后，两辆车行驶距离相同的时刻是____________________； (3) 出发后，B 车相对A 车速度为零的时刻是__________________． 解：答案：（1）A ；（2）t = 1.19 s ；（3）t = 0.67 s （1）两车的速度分别为t tx AA 24d d +==v 264d d t t tx BB +==v 可得：t = 0时 B A v v > ，即刚开始时A 车行驶在前面。

(2) 由B A x x =，可得t = 1.19 s (3) 由B A v v =，可得 t = 0.67 s3. 一质点以初速v 0，抛射角为θ0作斜抛运动 ，则到达最高处的速度大小为_____，切向加速度大小为______，法向加速度大小为_______，合加速度大小为_______。

解：答案：v 0cos θ 0； 0； g ； g 。

解 在最高点，垂直方向速度为零，只有水平速度，因此最高处的速度大小为v 0cos θ0。

在最高点切向就是水平方向，法向就是竖直向下方向，因此切向加速度大小为0，法向加速度大小为g ，合加速度大小为g 。

4. 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v 的方向与水平方向夹角为30︒。

则物体在A 点切向加速度大小为________m/s 2。

答案：4.9解 本题是斜抛运动，在运动过程中加速度始终不变，因此物体在A 点的加速度大小就是重力加速度的大小g =9.8m/s 2。

切向加速度沿速度反方向，大小为g cos60︒=4.9m/s 2。

5. 一质点从静止出发沿半径为3 m 的圆周运动，切向加速度大小为3 m ⋅ s –2，则经过 s 后它的总加速度恰好与半径成45°角。

在此时间内质点经过的路程为 m ，角位移为 rad ，在1s 末总加速度大小为 m ⋅ s –2填空题4图解：答案为：1s ； 1.5 m ； 0.5 rad ； 4.2 m ⋅ s –2。

(1) 总加速度恰好与半径成45°角时a n = a t ，根据t 2t 2n )(a Rt a R a ===vs 1t==a Rt (2) m 5.1212t ==t a s (3) rad 5.0π2π2==⋅=∆RsR s ϕ (4) 1s 末22τ2n s m 3)(-⋅===Rt a R a v ，222n 2t s m 2.4s m 23 --⋅=⋅=+=∴a a a6. 若地球的自转速率快到使得在赤道上的法向加速度为g ，则一天的时间应为 小时。

（地球半径R = 6.4⨯10 6m ） 解：答案为：1.41小时。

简要提示：由：g R =2ω，Rg =ω， h 41.1s 5075π2π2====gRT ω7. 一列车以5.66 m ⋅ s –2的加速度在平面直铁道上行驶，小球在车厢中自由下落，则小球相对于车厢中乘客的加速度大小为________ m ⋅ s –2，加速度与铅垂直的夹角为_______。

解：答案为：11.3 m ⋅ s –2；300。

简要提示：如图所示，小球相对于地面的加速度，即绝对加速度是g 。

列车的加速度，即牵连加速度a 0，大小为a 0 = 5.66 m ⋅ s –2，所以小球的相对加速度a ' 为0a g a -='得a ' 的大小为： 2202s m 3.11-⋅=+='a g a与竖直方向的夹角θ为 ︒='=-30)/(sin 01a a θ三 计算题1. 半径为R 的轮子在水平面上以角速度ω 作无滑动滚动时，轮边缘上任一质点的运动学方程为j i r )cos ()sin (t R R t R Rt ωωω-+-=，其中i 、j 分别为x ，y 直角坐标轴上的单位矢量，试求该质点的速率和加速度的大小。

解：质点运动的分量方程为⎩⎨⎧-=-=t R R y tR Rt x ωωωcos sint R ty t R R t xy x ωωωωωsin d d cos d d ==-==∴v v ， tt R t R t R R y x ωωωωωωωω222222sin )cos 1()sin ()cos (+-=+-=+=∴v v v 2sin 2tRωω=v t R ta t R t a y y xx ωωωωcos d d sin d d 22====v v ， R a a a y x 222ω=+=∴2. 一质点运动的加速度为j i a 232t t +=，初始速度与初始位移均为零，求该质点的运动学方程以及2s 时该质点的速度。

解：答案为：j i r 434131t t +=；1s m )84(-⋅+=j i v简要提示：已知质点运动的加速度，可得质点的速度为 j i a 320t t dt +=+=⎰v v运动方程为 j i r r 4304131t t dt +=+=⎰v所以，2秒时质点的速度为： 1s m )84(-⋅+=j i v3. 一艘正以v 0匀速直线行驶的舰艇，关闭发动机后，得到一个与舰速反向、大小与舰速平方成正比的加速度，即d v /d t=-k v 2，k 为一常数，求证舰艇在行驶距离x 时的速率为v =v 0e -kx 。

解：已知：2d d v vk t-=对上式分离变量xt x x t d d d d d d d d vv v v ==，得到d d 2v v v k x-= vv k x d d -=两边积分d d 00⎰⎰-=v v v vk x x 得 00ln 1)ln (ln 1 v vv v k k x -=--=kx e -=0v v4. 一质点初始时从原点开始以速度v 0沿x 轴正向运动，设运动过程中质点受到的加速度a = −kx 2，求质点在x 轴正向前进的最远距离。

解：已知：x 0 = 0，v 0和a = −kx 2，运用分离变量，得：x kx kx xd d d d 22-=-=v v vv两边积分： ⎰⎰-=x x kx 02d d 0vvv v得：3/)3202kx -=-v (v 21 当v = 0时，质点前进的距离最远，即：3/120max )2/3(k x v =5. 表面平直的山坡与水平面成30°，在山脚用炮轰山腰处的目标，已知v 0 = 150 m ⋅ s –1，炮筒与水平面成60°，求击中的目标离炮位有多远？解：取坐标如图，以炮位为原点，目标为P ，离炮位的距离为s 。