Chap1 数列的极限1. 设()01,2,n x n >=及lim n n x a →∞=,用N ε-语言, 证明: n =.证 0n x >, 0a ∴≥.(1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞=,下证0n =. 0ε∀>, 则存在0N >, 当n N >时,200n n x x ε<=-<.ε<,0ε<.0n ∴=. (2) 当0a >时, 0ε∀>, 存在0N >, 当n N >时, n x a -<.ε=<<.n ∴=综上两方面 ,即证.2. 已知lim n n x a →∞=, 用N ε-语言, 证明: n =.证 (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞=, 0ε∀>, 存在0N >,当n N >时, 2n x ε<; ε<,此即0n ==. (2) 当a ≠时,因为2222233044+=+≥>.令234M =, lim n n x a →∞=, 则对0ε∀>,存在0N >, 当n N >时,有n x a M ε-<.22n x a-=1n x a M M Mεε-≤<⋅=n ∴= 3. (算术平均收敛公式)设lim n n x a →∞=.令12nn x x x nξ+++=, 求证:lim n n a ξ→∞=. 证法1 由施笃兹公式12lim limnn n n x x x nξ→∞→∞+++=()()()12121lim1n n n x x x x x x n n -→∞+++-+++=--lim n n x a →∞==. 证法 2 由lim n n x a →∞= , 则0ε∀>, 存在10N >, 使当1n N >时, 有2n x a ε-<. ①()1112111nN N n x x x a x a x a x a x a nn++++-≤-++-+-++-令111N c x a x a =-++-, 那么1212nx x x n N c a nn n ε+++--≤+⋅ . ②存在20N >, 使当2n N >时, 有2cnε<.再令{}12max ,N N N =, 故当n N >时, 由①,②有1212222nx x x n N a nn εεεεε+++--<+⋅<+=.12lim limnn n n x x x a nξ→∞→∞++∴==.4. (几何平均收敛公式)设()01,2,n x n >=. 且lim n n x a →∞=. 证明:n a =. 证 lim n n x a →∞=, limln ln n n x a →∞∴=.再由算术平均收敛公式可知 ()121ln ln ln ln lim n x x x a nn n ee a ++→∞∴===.5. 证明: lim 1n =, 其中1a >.证 令11na α-= ,则0α>, 依伯努利不等式, 有()()11111n na n n a αα=+≥+=+-,即111n a a n--≤.要111n a ε=-≤,只要1a n ε-<.所以,有1a n ε->.取1aN ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时, 就有1a n ε-<, 1ε<. 6. 证明: 若lim n n a a →∞=, 则lim n n a a →∞=. 当且仅当a 为何值时逆命题也成立.证 由题设 lim n n a a →∞=, 知0ε∀>,0N ∃>, 当n N >时, 皆有n a a ε-<.从而当n N >时总有n n a a a a ε-≤-<,所以lim n n a a →∞=.当且仅当0a =时,逆命题也成立.7. 设a R ∈, 且1a >,用N ε-语言, 证明: lim0nn na →∞=. 证 当2n ≥时, 有()()()()()2221121111n n n n n a n n a n a a =<=----+-⎡⎤⎣⎦(由二项展开式得)要使()()2211n a ε<-- ,只需()2211n a ε>+-.即若取 ()2221N a ε⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 则当n N >时, 就有()()2211n n a n n a ε<<--, 所以lim0n n n a →∞=. 数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,1a >,a R ∈是无穷小序列. 8. 利用单调有界性证明: 设10x a =≥, 10y b =≥,且1n x +=,()112n n n y x y +=+.1,2,n = . 则lim lim n n n n x y →∞→∞=.证 0n x ≥, 0n y ≥是显然的.由112n nn n x y y x +++=≥= , 得1n n x x +=≥= ,122n n n nn n x y y y y y +++=≤= . 知{}n x 单调增加 , {}n y 单调减少 , 又1n n x y y ≤≤, 1n n y x x ≥≥,所以{}n x ,{}n y 有界. 即lim n n x A →∞=,lim n n y B →∞=存在.对12n nn x y y ++=两边取极限,得 ()12B A B A B =+⇒=. 9. 证明: 数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加 , 数列111n n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调减少 ,两者收敛于同一极限.证 记11nn x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,111n n y n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由平均值不等式()121n a a a n≤+++ ,知 ()111111111n nn n n n x x n n ++++⎡⎤⎛⎫=+⋅≤=⎢⎥⎪+⎝⎭⎣⎦,()()21111111112n n n n n n n n y n n y ++++⋅++⎡⎤⎛⎫=⋅≤=⎢⎥⎪++⎝⎭⎣⎦,即{}n x 单调增加 , {}n y 单调减少, 且1114n n x x y y =<<<= .所以{}n x ,{}n y 单调有界,必定收敛.由11n n y x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,知它们有相同的极限.即111lim 1lim 1nn n n e n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.10. 证明: 若111ln 2a n n=+++-. 则数列{}n a 收敛. 证 由上例知 11111nn e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 两边取对数得 ,()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即有不等式111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ . 则()11ln 1ln 1n n a a n n n +-=-+++11ln 101n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭, 111ln 2n a n n =+++-231ln +ln ln ln 12n n n+>++-()ln 1ln 0n n =+->即{}n a 单调减少有下界 , 所以{}n a 收敛.11. 设数列{}n x 满足: 01x =, 1n x +=1,2,3n = .证明: 数列{}n x 收敛, 并求lim n n x →∞.证01x =,1212x ==,3422x ==. 用数学归纳法可证()21112222,0,1,2n nnn x n --=== ①11212122n n n n ----<. 由①式知()10,1n n x x n -<=即{}n x 单调递增.再由①式知12n x ≤<, {}n x ∴收敛.设lim n n x a →∞=, 则1a ≥.12n x x +=两边取极限有: a =.22a a ∴= , 又0a ≠.2a ∴=, 即lim 2n n x →∞=.12. 设0a >, 10x a <<, 12n n n x x x a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1,2,3n = .证明: 数列{}n x 收敛, 并求其极限. 证 先用数学归纳法证明0n x a <<,n N ∈①当1n =时, 结论成立, 归纳假设结论对n 成立, 再证1n +时, 因为()2112n n n n x x x x a a a a +⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭,10n x a +∴<<. 即①式成立.1221n n n x x ax a a+=->-=. {}n x ∴单调递增, 且有上界. lim n n x →∞∴存在. 设为lim n n x b →∞=. 由12n n n x x x a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,两边取极限得 2b b b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭②由①式及{}n x 单调递增, 显然0b ≠, 由②式解得b a =.lim n n x a →∞∴=.。