12EI
l3 6EI
k e
l2
12EI
l3 6EI
l2
6EI
l2 4EI
l 6EI l2 2EI
l
12EI l3
6EI l2 12EI
l3
6EI l2
6EI
l2 2EI
l
6EI l2 4EI
l
这与第二章直接刚度法通过材料力学叠加原理得到的 单元刚度矩阵完全相同。
4、两点说明
l N1N 2dx l( N 2)2 dx l N 3N 2dx l N4N 2dx
l N1N 3dx l N 2N 3dx l( N 3)2 dx l N4N 3dx
l
N
1N
4dx
l
N
2N
4dx
l l
N 3N4dx ( N4)2 dx
N1
1
3 l2
x2
2 l3
x3
N1
6 l2
x
6 l3
x2
x
3
j
写成矩阵形式 v( x) [N1N2N3N 4][ fii f j j]T
式中
N1
1
3 l2
x2
2 l3
x3
N3
3 l2
x2
2 l3
x3
N2
x
2 l
x2
1 l2
x3
N4
1 l
x2
1 l2
x3
上述位移函数可进一步缩写成 v( x) N e
式中N [ N1 N 2；N 3 N 4] e [ fii f j j]T
在挠曲线各点上产生相应的虚位移 δ和v(虚x)转角 δ（ (即x)虚
功原理中的虚变形）。根据虚功原理得到以下方程式。
qiδfi miδi q jδf j m jδ j
M( x)d(δ )
l
qiδfi miδi q jδf j m jδ j
M( x)d(δ )
l
由挠曲线的近似微分方程，弯矩可写成
v(0) i v(l ) j
根据材料力学可知，截面转角和挠度之间的关系是 ( x) v。( x)
将上述v(x)的表达式（位移函数）代入四个边界条件得到如下 四个方程式。
a0 fi
a1 i
a0 a1l a2l 2 a3l 3 f j
a1 2a2l 3a3l 2 j
a0 fi
N2
x
2 l
x2
1 l2
x3
N 2
1
4 l
x
3 l2
x2
N3
3 l2
x2
2 l3
x3
N 3
6 l2
x
6 l3
x2
N4
1 l
x2
1 l2
x3
N 4
2 l
x
3 l2
x2
N1
6 l2
12 l3
x
N2
4 l
6 l2
x
N 3
6 l2
12 l3
x
N4
2 l
6 l2
x
代入所有的 N（i i = 1, 2, 3, 4)，通过积分计算得到如下单元 刚度矩阵。
x
3 l2
x2
N3
3 l2
x2
2 l3
x3
N 3
6 l2
x
6 l3
x2
N4
1 l
x2
1 l2
x3
N 4
2 l
x
3 l2
x2
3.3 用虚位移原理求单元刚度矩阵
在平衡状态下，梁单元有挠曲线v(x)，其节点位移分别为fi、θi 、fj、θj 。给该单元的节点任意虚位移δfi 、 、δ、i δf j ，δ由 j此
3.2 形状函数
上式中的Ni（i = 1, 2, 3, 4)叫做形状函数，有时简称为形函数。 在梁单元中,它表示一个两端固定的梁只产生一个单位位移时 梁弯曲成的形状（如下图所示）。其性质将在下一章讲解。
N1
1
3 l2
x2
2 l3
x3
N1
6 l2
x
6 l3
x2
N2
x
2 l
x2
1 l2
x3
N 2
1
4 l
将上式与 P e [K相]e比 e较，得到单元刚度矩阵的表达式。
[K ]e N TEIN dx l
3.4 通过积分计算单元刚度矩阵
[K ]e
N TEIN dx EI
l
[
l
N1N
2N
3N
4]T[
N
1N
2N
3N
4]dx
l( N1)2 dx
[K ]e
EI
l N 2N1dx
l N 3N1dx l N4N1dx
M(x)
EI
d2v dx 2
d
d
dx
dx
d dx
dv dx
dx
d2v dx 2
dx
因为虚位移具有和实位移相同的性质， 因此以上方程也适用于虚位移。故
d( δ
)
d2 (δv) dx 2
dx
上述虚功原理方程式变为
δ eT P e
d2 (δv) d2v l dx2 EI dx2 dx
式中单元节点虚位移列阵 δ e [δfiδiδf jδ j ]T
2.1 虚位移原理（虚功原理）
在材料力学中，虚功原理 表述为：在虚位移中，外 力所做虚功等于内力在相 应的虚变形上所做的虚功 （虚应变能）。
2.2 虚位移和变分
在材料力学中，我们规定实位移是v，对应的虚位移就 是v*。但严格来讲，虚位移应该用变分符号表示为δv。变 分与微分有相似的地方，都具有无限小变化的意思。但严 格来讲，二者是两个完全不同的数学概念。
1、背景
在前述有限元的直接刚度法里，我们采用材料力学中的 叠加原理来求解直梁和刚架的单元刚度矩阵。但对于复 杂的二维平面甚至三维立体的力学问题，就无法采用直 接刚度法来求解单元刚度矩阵，此时我们可以采用基于 虚位移原理的变分法。
2、基本概念
2.1 虚位移原理（虚功原理）
在材料力学中，虚功原理表述为：在虚位移中，外力所 做虚功等于内力在相应的虚变形上所做的虚功（虚应变 能）。
解得
a1 a2
i
3 l2
fi
2 l
i
3 l2
f
j
1
l
j
a3
2 l3
fi
1 l2
i
2 l3
f
j
பைடு நூலகம்
1 l2
j
将所有的ai代入前述v(x)的表达式得到插值形式的位移函数。
v( x)
1
3 l2
x2
2 l3
x3
fi
x
2 l
x2
1 l2
x
3
i
3 l2
x2
2 l3
x3
fj
1 l
x2
1 l2
3、应用基于虚位移原理的变分法求解直梁 的单元刚度矩阵
3.1 位移函数
假设图示直梁单元的位移函数v(x)（插值函数）为： v( x) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3
实际上对于直梁单元，v(x) 就是在其上各点的挠度f 。
已知单元在两个节点的边界条件：
x 0 v(0) fi x l v(l) f j
1、在后面研究更复杂的弹性力学平面问题时，我们不再 采用直接刚度法，而采用基于虚位移原理的变分法。
单元节点力列阵 Pe [qimiqjmj ]T
位移函数 v( x) N e eT N T
其变分为 δv( x) δ eT N T
将以上两式代入
δ eT P e
d2 (δv) d2v l dx2 EI dx2 dx
得到 δ eTPe δ eT N TEIN edx l δ eTPe δ eT N T EIN dx e l Pe N TEIN dx e l