例2 图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计， 铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力大小P和Q之间 的关系。
解：研究整个机构。 系统的所有约束都是 完整、定常、理想的。
1、几何法：使A发生虚位移 rA ，
B的虚位移 rB ，则由虚位移原理，
得虚功方程：
rA
PrA QrB 0
虚功方程 M FrB 0
arcsin M
2Fl
xB 2l cos xB 2l sin
( x轴向右为正，xB向右，
rB xB 2l sin)
当然，几何法
也可以假设 顺时针，
求解结果相同。
虚功方程 M FxB 0
内移动，不计各构 件自 衡时力F1与F2的关系。
解：给出力
F1
、F2
处的虚位移 rC、rA
几何法：ra rA re rr rA cos re
rC
re
a l / cos
y

rArC C
M 0.45 cos3
(kN m)
例8：书15-8 图示之机构中，弹簧
的刚度系数为k ，当AC 距离等于 d 时，
弹簧拉力为零。如在C点作用一水平力F，
杆系处于平衡，求距离x之值。设
，
，
杆重不AB计。BC a BD b
解：1 、以整个系统为研究对象 2、分析受力，去掉弹簧，暴露出弹簧 作用在AB与BC上的两力。
θ
θCrC D F
Fθ

rB
B
P
rD
F P ctg P
2
选择AB杆、CD杆和滑套D的系统为研究对象。

re

300
cos

rr
re
tan

300sin cos2

去掉弹簧，暴露出弹簧力 F和
F
ra re
rB F rr
F

弹簧原长 (600 300 )mm
弹簧后来长
(600

300 cos
)mm
k a
讨论： 有弹簧存在时，必须计入弹性力虚功， 此时，将弹性力视为常力。
例9：三铰拱上有载荷作用力P及力偶M， 各尺寸如图，求B铰的约束力。 解：（1）求B 铰水平约束力：
解除B 铰的水平约束，代之以水平力FBx 分析主动力：M，P，FBx ，
给虚位移，求虚位移关系：
C*为刚体CDB的瞬心，
弹簧缩短
(
300 cos
300 )mm
弹簧力 F

k
(
300
cos
300 )
由虚 位移原理：
M F
ra

F


rB

0
M Frr 0 0
[M
1.5(
1 cos
1)

0.3
sin cos2
0]

0
sin (1 cos )
re

A rr
F1
由虚功原理 F1rC F2rA 0

F1

a
F2l cos2

φD x
O
解析法：建立如图直角坐标系 yA l tan
求变分 y A

l
cos2

又rC
由虚功原理 F1rC F2yA 0
a
F1
F2l
a cos2
Py A QxB 0 ,
(Pcos Qsin )l 0
由于 任意，故 PQ tg
注意：几何法时，主动力与虚位移方向一致为正； 解析法时主动力、坐标变分各自沿坐标轴方向为正

OA
vA
vB
例3：两均质杆 OA AB l ，均不计重，构成曲柄滑块
机构。今在OA杆上作用力偶 M ，在滑块B上作用力 F ，使 机构处于平衡状态，如例图所示。试求平衡位置角 。
解：将杆BD截断，暴露出内力
F
、F
给出力
P
、
F
处的虚位移 rD、rB
几何法： rC cos rD
rC cos(90 2 ) rB cos A
由虚功原理 PrD FrB 0 0 PrC cos F 2sinrC 0 (P cos 2F sin )rC 0

2Fl

FNs

(2Fl
h
2
FN )

0
由于 是任意的，有： 2Fl
也即：
h
2
FN

0
FN
4
l h
F
讨论： 1）利用约束力不做功避免了所有约束力的出现， 这是虚位移原理解题与矢量静力学解题相比的巨大优点。
2）本题求虚位移间关系的方法为：由物理关系直接给 出法。
xD a bcos , xE a bcos
xD (a b)sin (2) xE (a b)sin (3)
4、列虚功方程： FxC T xD TxE 0 (4)
联立（1）~（4），得：
x

AC

d

F

b
2

M
FNB
而
r1 rB

1 2
,
rC rB
181
,
rB
rG
4
1rB
rE
6
1rB
rC
12
1rB

1 12
181

11 96
1 11 11

FNB

2
P1

8
P2

M 96
例11： 书15-15
用虚位移原理求图示桁架中杆BD的内力，
已知ctgθ =2。
M F 2l sin 0
注意：几何法时，主动力与虚位移方向一致为正；
解析法时主动力、坐标变分各自沿坐标轴方向为正，力偶、角度逆时针为正。
例4 均质杆OA及AB在A点用铰连接，并在O点用固定铰 支座，如图所示。两杆各长2a和2b，各重P1及P2，设在B点
加水平力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角及 。
设弹簧为原长l0 ，则：
当
d l0
时ba，,弹簧l0长度ba为dl ：
有：AC x
x a, lb
l b x a
故弹簧力 T k b x b d kb x d (1)
a a a
3、给虚位移 xC 、 求各虚位移间的关系(解析法简单)
xC 2a cos xC 2a sin
P1asin P2 2asin F2acos 0 P2 bsin F2bcos 0
由此解得：
tg

P1
2F 2P2
,
tg 2F
P2
解法二： 应用虚位移原理，几何法
先使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的一
组虚位移，如图所示。
FrB cos P2rD sin 0
代入(a)式，得：
(P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
(P1asin P2 2asin F2a cos) (P2bsin F2bcos ) 0 由于 , 是彼此独立的，所以：
B
F2
例7： 书15-7
滑套D套在光滑直杆AB上，并带动杆
CD在铅直滑道上滑动。已知=0o时，
弹簧等于原长，弹簧刚度系数为
5(kN/m)，求在任意位置（ 角）平衡
时，加在AB杆上的力偶矩M ？
解：这是一个已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系 的问题。将弹簧力计入主动力，系统简化为理想约束系统，故 可以用虚位移原理求解。
解：1、对象：系统 2、分析受力：M，F
3、给虚位移： ， rB ，求虚位移关系：

几何法(虚位移投影法或者瞬心法)：
rA l
OA
vA
rA cos(90 ) rA sin 2 rB cos
vB
2rA sin rB
解析法：
rB 2l sin
例1：螺旋压榨机中螺杆的螺距为 h 。如果
在手柄上作用一在水平面内的力偶，其
力偶矩为 2Fl ，求平衡时作用于被压榨
物体上的压力。（忽略摩擦）
解：
1、对象：由手柄、螺杆及压板组成的系统
23、、分给析系受统力以：虚主位动移力：（F和, F’s有 )及，：压s板阻h力FN
2
4、列虚功方程： W
rD 5a
rB 2a
M PrD
a 5a

FByrB

0
M Pa FBy 2a 0
FBy

1 2
P

M a

讨论：虚位移原理可用于求解约束反力，只需将约束解除，代 之以约束反力，并将其视为主动力即可。（注：每次只可解 除一个约束）
而 rB 2b , rD b
代入上式，得
tg

F 2b P2 b

2F P2
再使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的另
一组虚位移，如图所示。 图示中：
rA rD rB
FrB cos P1rC sin P2rD sin 0
例10 多跨静定梁，
M
求支座B处反力。
解：将支座B 除
去，代入相应的
约束反力
FNB
。

M