极坐标与参数方程一、极坐标知识点1.极坐标系的概念（1）极坐标系如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可•但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系•（2）极坐标设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴0X为始边，射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角，记为•有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M （,）.一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数•特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0，）（€ R）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示•如果规定0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示；同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的•2.极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:⑵互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（，）（0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(,),(,2 ),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M(,)可以表示为4 45(, 2 )或(， 2 )或(-, 等多种形式,其中,只有(，)的极坐标满足方4 4 4 4 4 4 4 4程、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点 P(2,Q ), Q(2,-)之间的距离以及过它们的直线的极坐标方 程。
解：两点的直角坐标为 PC..2,、. 2),Q(...2,2),它们之间的距离 PQ 2.2. 由于直线PQ 垂直于极轴，且距离极点..2，所以直线的极坐标方程为 cos .. 2练习、已知曲线G, C 2的极坐标方程分别为 cos 3 ，n4cos > 0,0 <-，求曲线 G 与C 2交点的极坐标.2cos 32 灵解：我们通过联立解方程组( 0,0 -)解得 ，即两曲线的4cos2—6交点为(2 •. 3,—)。
61.2.已知圆C ： (x 1)2(y J 3)21,则圆心C 的极坐标为 _________________ (0, 0 2 )2答案：((2,))3练习已知点c 极坐标为(2,—),求出以C 为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程 (写出解题过3程)；解)如图所示，设 M 为圆上一点，M (,),贝y MOC3或3，由余弦定理得424 cos(§)4极坐标方程为=4cos （ 亍）。
考点2、极坐标与直角坐标方程互化例题2、已知曲线C 的极坐标方程是4sin .以极点为平面直角坐标系的原点,，点P 是曲线C 上的动点，点 Q 是直线1上的动点，求| PQ |的最小值. 解：曲线C 的极坐标方程4si n 可化为24 sin ,其直角坐标方程为 x 2 y 2 4y 0,即 x 2（y 2）24. ...... ••…（3分）直线l 的方程为x y 4 0.所以圆心到直线I 的距离d I 2 43/2 •••( 6分)42极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线x 蛋l 的参数方程是2_ （t 为参 2所以，PQ的最小值为3罷2. ................... ( 10分) 练习、设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点。
(1)求圆C的极坐标方程；(2)求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线.解：圆的极坐标方程为... 4分设点的极坐标为，点的极坐标为，•••点为线段的中点，•••，……7分将，代入圆的极坐标方程，得•••点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为的圆. ……10分练习(20151理数)(23)(本小题满分10分)选修4 — 4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中.直线：x = —2，圆：(x—1)2+ (y—2) 2= 1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系•(I ) 求，的极坐标方程；(II ) 若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求△ GMN的面积(23 )解：(I )因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。
5分(II )将代入，得，解得，。
故，即。
由于的半径为1，所以的面积为。
……10分二、参数方程1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数x f (t)①,并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x,y)都在这条曲线上y g(t)那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x f (t),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y g(t),那么x f (t)就是曲线的参数方程，在参数方程与y g(t)注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外 的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。
但当，在其他象限内类似。
25. 双曲线的参数方程（了解）x asec , /其参数方程为（为参数），其中 [0,2 ）且y bta n普通方程的互化中，必须使X, y 的取值范围保持一致注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题， 关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3.圆的参数如图所示，设圆0的半径为r ，点M 从初始位置M o 出发，按逆时针方向在圆 O 上作x r cos匀速圆周运动，设 M （x,y ），贝U（为参数）。
这就是圆心在原点 0，半径为r 的圆的参数方程，其中 的几何意义是0M 。
转过的角度。
圆心为（a,b ），半径为r 的圆的普通方程是（x a ）2（y b ）2r 2,它的参数方程为：X a rcos (为参数)。
y b r sin以坐标原点0为中心, 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为2 2每1(a b 0),其参a bx a cos数方程为（为参数），其中参数 称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方y bsi n2 2程是£务1（a b 0）,其参数方程为a bbcos asi（为参数）,其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为€ [0 , 2 ）。
（即在 2时，相应地也有以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为2 x 2a2話1(ao,b0),4•椭圆的参数方程2 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是y 2x2a b以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。
6. 抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y 22px(p:加为参数)7. 直线的参数方程)的直线I 的普通方程是y y o tan (x x °),2x x 0 t cos而过M o (X o , y o )，倾斜角为的直线I 的参数方程为(t 为参数)。
y y o t sin注：直线参数方程中参数的几何意义： 过定点M o (x o ,y o ),倾斜角为的直线I 的参数x x o t cos方程为(t 为参数)，其中t 表示直线I 上以定点 M o 为起点，任一点y y o t sinuuuuurM(x, y)为终点的有向线段 M 0M 的数量，当点M 在M o 上方时，t > 0；当点M 在M 。
下 方时，t v0;当点M 与M o 重合时，t =0。
我们也可以把参数t 理解为以M o 为原点，直 线I 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
考点3、参数方程与直角坐标方程互化例题3:已知曲线的参数方程为(为参数)，曲线的极坐标方程为.(1) 将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由. 解：(1)由得•••曲线的普通方程为•••，即•••曲线的直角坐标方程为 ....... (5分)1(a 0,b 0),其参数方程为bcota(为参数，其中 (0,2 )e &0)的参数方程为经过点M °(x o ,y °),倾斜角为((2)v圆的圆心为，圆的圆心为.••两圆相交设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段公共弦长为 ..... （10分）练习（本小题满分10分）选修4— 4 :坐标系与参数方程C ： Xcos （为参数），曲线C 2： y sinC , C 2各是什么曲线，并说明 C 与C 2公共点的个数;（2）若把C,C 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半， 分别得到曲线C 1' ,c 2'。
写出C 1 ',C 2'的参数方程。
C 1'与C 2'公共点的个数和 C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明 你的理由。
练习（2014II ） （23）（本小题满分10分）选修4-4 :坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 半圆的极坐标方程为•（1） 求得参数方程；（2） 设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（ 1）中你得到的参数方程，确定的坐标•（23）解：（I ） C 的普通方程为•可得C 的参数方程为（t 为参数，）（n ）设D.由（I ）知C 是以G （ 1,0 ）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，.故D 的直角坐标为， 即。
练习（2013 I ） （23）（本小题10分）选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为。
（I ）把C 的参数方程化为极坐标方程； （n ）求 C 与 C 交点的极坐标（p 》0,0 <0< 2n ）。