2014学年浙江省第一次五校联考数学（理科）试题卷命题学校：宁波效实中学本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式V =Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式1()123V h S S =+ 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S =4πR 2 其中R 表示球的半径，h 表示台体的高 球的体积公式V =43πR 3 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集为R ，集合{}{}221,680xA xB x x x =≥=-+≤，则R AC B =（ ）（A ）{}0x x ≤ （B ）{}24x x ≤≤（C ）{}024x x x ≤<>或 （D ）{}024x x x ≤<≥或2．在等差数列{}n a 中，432a a =-，则此数列{}n a 的前6项和为（ ） （A ）12 （B ）3 （C ）36 （D ）6 3．已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)1f =，则(2)f -=（ ）（A ）1- （B ） 1 （C ）5- （D ）5 4．已知直线,l m ，平面,αβ满足,l m αβ⊥⊂，则“l m ⊥”是“//αβ”的（ ） （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．函数()cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(,0)x R ω∈>的最小正周期为π，为了得到()f x 的图象，只需将函数()sin 3g x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ）（A ）向左平移2π个单位长度 （B ）向右平移2π个单位长度（C ）向左平移4π个单位长度（D ）向右平移4π个单位长度6．右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为43， 则它的正视图为（ ）7．如图，在正四棱锥ABCD S -中，N M E ,,分别是SC CD BC ,,的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①AC EP ⊥；②//EP BD ；③SBD EP 面//；④SAC EP 面⊥．中恒成立的为（ ）（A ）①③ （B ）③④ （C ）①② （D ）②③④8．已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）（A ）23λ>（B ）32λ> （C ）23λ< （D ）32λ<9．定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是（ ）（A ）[8,10]-（B ） [7,10]-（C ）[6,8]- （D ）（A（B）（C（D侧视图俯视图[7,8]-10．已知函数52log (1)(1)()(2)2(1)x x f x x x ⎧-<=⎨--+≥⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x+-=的实根个数不可能．．．为（ ） （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个非选择题部分（共100分）二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 11．函数)2(log 1)(2-=x x f 的定义域为_____▲____．12．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD ==，则直线AD 与底面BCD 所成角为_____▲____． 13．已知3cos()45πα+=，322ππα≤<，则cos 2α=_____▲____． 14．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=-，且(1)2f =，则(2013)(2015)f f +=_____▲____．15．设12n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅a ,a ,,a ,是按先后顺序排列的一列向量，若1(2014,13)=-a ， 且1(1,1)n n --=a a ，则其中模最小的一个向量的序号n = ___▲____． 16．设向量2(2,)λλα=+a ，(,sin cos )2mm αα+b =，其中,,m λα为实数． 若2=a b ，则mλ的取值范围为_____▲____．17．若实数,,a b c 满足2221a b c ++=，则2332ab bc c -+的最大值为____▲____．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知30B ∠=,ABC ∆的面积为32．（Ⅰ）当,,a b c 成等差数列时，求b ；（Ⅱ）求AC 边上的中线BD 的最小值． 19．（本题满分14分）四棱锥P ABCD -如图放置，//,AB CD BC CD ⊥,2AB BC ==， 1CD PD ==，PAB ∆为等边三角形．（Ⅰ）证明：面PD PAB ⊥；（Ⅱ）求二面角P CB A --的平面角的余弦值．DPABC20．本题满分15分）已知函数2()2f x x x x a =+-，其中a R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1nn n a b a +=，记数列{}n b 的前n 和为n T ，证明：1032n n T -<-<．22．（本题满分14分）给定函数()f x 和常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数()f x 的一个“好数对”；若(2)()f x af x b ≥+恒成立，则称(,)a b 为函数()f x 的一个“类好数对”．已知函数()f x 的定义域为[1,)+∞．（Ⅰ）若(1,1)是函数()f x 的一个“好数对”，且(1)3f =，求(16)f ；（Ⅱ）若(2,0)是函数()f x 的一个“好数对”，且当12x <≤时，()f x = 函数()y f x x =-在区间(1,)+∞上无零点；（Ⅲ）若(2,2)-是函数()f x 的一个“类好数对”，(1)3f =，且函数()f x 单调递增，比较()f x 与22x+的大小，并说明理由．2014学年浙江省第一次五校联考数学（理科）答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1）C （2）D （3）D （4）C （5）C （6）B （7）A （8）C （9）B （10）A二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． （11）{}23x x x >≠且 （12）60 （13）2425-（14）2- （15）1002或1001 (16)[6,1]- (17) 3三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (18) 解：（Ⅰ）由条件2,6a c b ac +==，而22222()(246(2b a c a c ac b =+=+-=-+．即236(2b =，解得1b =7分（Ⅱ）∵2BA BCBD +=，∴222(BA BA BC BA BCBD ++⋅===≥==当a c ==14分(19)解法1：（Ⅰ）易知在梯形ABCD 中，AD 12，PD AP ==，则PD PA ⊥同理PD PB ⊥，故面PD PAB ⊥；…………6分 （Ⅱ）取AB 中点M ,连,PM DM ，作PN DM ⊥,垂足为N ,再作NH BC ⊥,连HN 。

易得面AB DPM ⊥，则面面ABCD DPM ⊥于是面PN ABCD ⊥，面BC NPH ⊥ 即NHP ∠二面角P CB A --的平面角。

在NHP ∆中，1,PN PH NH ===∴cos =7NHP ∠， 故二面角A PB C --的平面角的余弦值为7…………14分 解法2：（Ⅰ）易知在梯形ABCD中，AD 而12，PD AP ==，则PD PA ⊥同理PD PB ⊥，故面PD PAB ⊥；…………6分 （Ⅱ）如图建系，则(0,0,0),,0),(0,1,1),1,0),P B C A -,设平面C P B 的法向量为(,,m x y z =，则0m P C m P B⋅==⋅即00y y z +=+=⎪⎩，取(1m =-， 又设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，则，0n CA n CB ⋅==⋅即020z y z ⎧-=⎪--=，取(1,0,n =-，故cos ,=727m n m n mn⋅<>==⋅ 故二面角A PB C --…………14分AMA(20)解：（Ⅰ）2222()()()3()()33x a a x a f x a a x x a ⎧--+≤⎪=⎨-->⎪⎩当0a ≥时，()f x 在(,)a -∞和(,)a +∞上均递增，∵2()f a a =，则()f x 在R 上递增 当0a <时，()f x 在(,)a -∞和(,)3a +∞上递增，在在(,)3a a 上递减 …………6分 （Ⅱ）由题意只需min max ()4,()16f x f x ≥≤ 首先，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,2]x ∈上恒递增 则min ()(1)1214f x f a ==+-≥，解得12a ≤-或52a ≥ 其次，当52a ≥时，()f x 在R 上递增，故max ()(2)4416f x f a ==-≤，解得552a ≤≤ 当12a ≤-时， ()f x 在[1,2]上递增，故max ()(2)12416f x f a ==-≤，解得112a -≤≤- 综上：112a -≤≤-或552a ≤≤…………15分(21)解：（Ⅰ）由2nn S a n =-，及1121n n S a n ++=--，作差得121n n a a +=+，112(1)n n a a ++=+即数列{}1n a +成等比，12n n a +=，故21n n a =-…………7分（Ⅱ）∵112121n n n n n a b a ++-==- ∴1212111221222n n n n b ++---=-=--………9分34121111()222222222n n n n T ++-=-++++---- 则34121111()022*******nn n n T ++-=-++++<---- 即02nnT -<………12分 211122223232n n n n+=<--+⋅⋅ ∴121111111()232223323nn n n T -=-+++=-+>-⋅故1032n nT -<-<…………15分 (22)解：（Ⅰ）由题意，(2)()1f x f x =+，且(1)3f =，则1(2)(2)1n n f f -=+则数列{}(2)nf 成等差数列，公差为1d =，首项(1)3f =，于是(16)7f =…………4分（Ⅱ）当122n n x +<≤时，122nx<≤，则由题意得22()2()2()==2()2222n n x xx f x f f f ====由()0f x x -=x =，解得0x =或2nx = 均不符合条件 即当122nn x +<≤时，函数()y f x x =-在区间(1,)+∞上无零点；注意到21(1,)(1,2](2,2](2,2]n n ++∞=故函数()y f x x =-在区间(1,)+∞上无零点； …………9分（Ⅲ）由题意(2)2()2f x f x ≥-，则1(2)2(2)2n n f f -≥-，即1(2)22[(2)2]n n f f --≥- 于是1220(2)22[(2)2]2[(2)2]2[(2)2]2n n n n n f f f f ---≥-≥-≥≥-=即(2)22n nf ≥+而对任意1x >，必存在n N *∈，使得122n n x -<≤，由()f x 单调递增，得1(2)()(2)n nf f x f -<≤，则112()(2)222222n n n xf x f -->≥+=+≥+故()22xf x >+…………14分。