<
1 2 n n2 1
n (1 n) 1 2 n > 1 2 n 2 2 2 2 2 2 n n n 1 n 2 n n n n n n (1 n) (1 n) 1 2 2 夹挤定理 lim lim 2 n n 2 1 n n n 2 1 2 n 1 lim ( 2 2 2 ) n n 1 n 2 n n 2
即 a yn a ,
已知 n N '时, 有
a z n a ,
yn xn z n
a yn x n z n a ,
即 xn a 成立,
lim x n a .
n
特别的若
a xn zn , 且 lim zn a.
n n
lim zn a ,
n
那么数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
准则1 证
0,
当 n N 1时恒有 y n a , 0 , 使得 n 又 zn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
lim yn a N
P29 LT7
1 1 求 lim( 2 2 2 ). n n 1 n 2 n n
n n n
2
1
解


1 n 1
2

1 n n
2

n n2 1
n 又 lim lim 2 n n n n
1 1 1 n
1,
由夹挤定理
1 n2 n
lim
n n 1
n n
lim xn a xn n . 当 lim yn b 0时, lim n yn lim yn b n
n
证明 P26-28
1 证明 lim .0. n n
n 证明 lim 1. n n 1
证明 lim C C .
n
证明 lim q n 0. q 1.
1 n2 1
2
n
1
取 N ' max{ N1 , N 2，N },
(1) 夹挤准则（P29）
准则 1
如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) N ,当n N , 有yn xn zn ( 2) lim yn a ,
n n
lim zn a ,
n
那么数列 x n 的极限存在, 且 lim x n a .
n
lim
n
n
a
1 , 其 中 a 0.
P28：LT5
lim
n
2n 1 2
n
lim 2n 1
n


lim 2n 1
n
lim 2
n
n
lim 2
n
n
?
1 1 1 lim 1 n 1 lim n n n 2 2
n
lim
n
n
a 1 , 其 中 a 0. lim
n
n 1,
n
lim yn 0证明 lim xn yn 0 设数列 x n 有界，又 n n
@
ln n cos n 3. lim n ln n sin n 1 cos n / ln n lim n 1 sin n / ln n
n n
则
lim xn a.
夹挤定理的意义: (1) 判断数列极限是否存在; (2) 指明了求 极限的又一条出路.
例1： 求 lim (
n
1 n 1
2
2

2 n 2
n
2

n n n
2
)
n (1 n ) 2 2 n 1
1 n 1
2

n 2
2

n n
2
若 lim xn a , lim yn b , 则
n n
6、数列极限的四则运算法则的推广
P28 定理4推论
（1）有限个收敛数列的和差积的极限等于 各极限的和差积. （2） lim k xn k lim xn ; （k为常数）
n n
（3） lim xn k lim xn k N ;
x y x y .
定理2. 若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界. 证:
a–1 lim xn a . 设n
(
a a+1 M
)
x
对 =1, N,
当n>N 时, 有|xna|<1,
|xn| = |xn-a+a| |xna|+|a| <1+|a| 取M=max{|x1|, |x2|,…, |xN|, 1+|a|} 则对n=1, 2, …, 都有 |xn| M
准则1
证
0,
lim yn a N 0, 使 得 当 n N 时恒有 y a , 1 1 n n
又 zn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
取 N ' max{ N1 , N 2，N }, n>N’ 时上两式同时成立,
定理2. 若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界. 逆命题不成立, 如xn=(1)n有界, 不收敛！
有界数列
收敛数列
1
0
1
x
是发散的.
@求证
定理2.
若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界.
lim yn 0证明 lim xn yn 0 设数列 x n 有界，又 n n
n
lim xn a
0, N 0, 使n N 时, 恒有 xn a .
4、 N 定义证明数列极限为a
5、 收敛数列的性质
5、 收敛数列的性质 (P24) (1) 唯一性
若数列{xn}收敛,则其极限值惟一.
(2) 有界性
收敛的数列必定有界.
(3)的引入 2、数列的定义 3、数列的极限 4、 N 定义证明数列极限为a 5、 收敛数列的性质 6、数列极限的四则运算法则 7、数列收敛判别准则
P28
(1) 夹挤定理（P29）
准则 1
如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) N , 当n N , 有yn xn zn ( 2) lim yn a ,
(2) 有界性
收敛的数列必定有界.
(3) 保序性
定理3.
设 lim xn a , lim yn b, 且a b,
n n
则正整数N , 当n N 时, 有xn yn .
证： b
n
ab 2
ab 2
a
x
lim xn a ,
ab 对 0, 2
ab , 正整数N 1 , 当n N 1时, 有 | xn a | 2
xn a , 而a>0 推论1. (保号性定理) 若 lim n
(a<0). 则正整数N, 当n>N时, 有xn>0 (xn<0)
xn a , 若正整数N, 当n>N时, 有 xn0 推论3: lim n
则 a0
即 lim xn 0 ( lim xn 0)
n n
§1.2 极限 一、数列的极限 …ing
一、数列的极限
1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限
4、 N 定义证明数列极限为a
N定义 : lim x n a
n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
求解过程中关键是找到N (ε)（确实存在）。 如何找到这样的N ？ 求解不等式 xn a 则当n>N时， xn a
推论2. 设 lim xn a , lim yn b, 且若正整数N ,
n n
当 n N 时 , 有 x n yn ,
则必有a b.
反证: 设 a<b, 由定理3, 正整数N1 , 当n > N1时, 有xn< yn. 取 N2 = max{N, N1}, 则当 n > N2 ( N)时, 有 xn< yn. 此与条件矛盾.
n
n( n 1) 2n 2
1 2
@
1 1 n n sin n ! n 2. lim [ ( ) 2 3 n ] n n 2 n
4
1 1 n sin n ! n n lim lim ( ) lim 2 lim 3 n lim n n n 2 n n n n sin n ! 0 0 1 lim 3 n lim n n n
n
k
n

k为负整数时， 该结论亦成立。
P28：LT6
lim
n
3n 2 5 n 1 2n 2 1
1 1 35 2 n n lim 1 n 2 2 n
3 2
@ 1. lim [ 2 2 ] lim 2 n n n n n
1
2
成立，即 xn > yn. b
ab 2
a
x
定理3. 设 lim xn a , lim yn b, 且a b,
n n
则正整数N , 当n N 时, 有xn yn .
lim x n a , 而a>0 推论1. (保号性定理) 若 n
(a<0). 则正整数N, 当n>N时, 有xn>0 (xn<0)
证：由已知数列{xn}有界=> M>0 nN, |xn|≤M