§2 收敛数列的性质Ⅰ. 教学目的与要求1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题.2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限.3．掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 收敛数列的性质.难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. Ⅲ. 讲授内容收敛数列有如下一些重要性质：定理2．2(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限．证 设a 是}{n a 的一个极限．我们证明：对任何数b a b ,≠不是}{n a 的极限．事实上，若取||210a b -=ε，则按定义'1，在U(a );0ε之外至多只有}{n a 中有限个项，从而在U(0;εb )内至多只有{}n a 中有限个项；所以b 不是}{n a 的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限． 一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实．定理2．3(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有.||M a n ≤证 设a a n n =∞→lim 取1=ε，存在正数N ，对一切n >N 有1||<-a a n 即 .11+<<-a a a n 记 |},1||,1||,||,||,m ax {|21+-=a a a a a M N则对一切正整数n 都有n a ≤M ． 注 有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列(){}n1-有界，但它并不收敛．定理2.4 (保号性) 若0lim >=∞→a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a '))0,(a ∈，存在正数N ，使得当N n >时有a a n '>(或a a n '<)．证 设0>a ．取a a '-=ε(>0)，则存在正数N ，使得当N n >时有a a n >a '=-ε，这就证得结果．对于0<a 的情形，也可类似地证明．注 在应用保号性时，经常取2aa ='.定理2.5(保不等式性) 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列．若存在正数0N ，使得当0N n >时，有n n b a <，则.lim lim n n n n b a ∞→∞→≤证 设,0.lim ,lim >==∞→∞→ε任给b b a a n n n n 分别存在正数n N N ，使得当与211N >时，有n a a <-ε， （1）当2N n >时有ε+<b b n . (2)取{}210,,max N N N N =，则当N n >时，按假设及不等式(1)和(2)有,εε+<≤<-b b a a n n由此得到.2ε+<b a 由的ε任意性推得b a ≤，即≤∞→n n a lim .lim n n b ∞→请学生思考：如果把定理2.5中的条件n n b a ≤换成严格不等式<n a n b ，那么能否把结论换成?lim lim n n n n b a ∞→∞→<，并给出理由 .例1 设() ,2,10=≥n a n ．证明：若,lim a a n n =∞→则.lim a a n n =∞→ （3）证 由定理2.5可得.0≥a若0=a ，则由0lim =∞→n n a ，任给0>ε，存在正数N ，使得当N n >时有<n a2ε，从而ε<n a 即,0ε<-n a 故有.0lim =∞→n n a若0>a ，则有aa a aa a a a a n n n n -≤+-=-.任给0>ε，由a a n n =∞→lim ，存在正数N ，使得当N n >时有,εa a a n <-从而ε<-a a n ．(3)式得证．定理 7.2(迫敛性) 设收敛数列{}{}n n b a ,都以a 为极限，数列{}n c 满足： 存在正数0N ，当0N n >时有n n n b c a ≤≤， (4) 则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞→lim ．证 任给0>ε，由a b a n n n n ==∞→∞→lim lim ，分别存在正数1N 与2N ，使得当n >1N 时有n a a <-ε， (5) 当2N n >时有ε+<a b n ． (6) 取{},,,m ax 210N N N N =，则当N n >时,不等式(4)、(5)、(6)同时成立，即有εε+<≤≤<-a b c a a n n n ．从而有ε<-a c n ，这就证得所要的结果． 定理2．6不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限 的工具．例2 求数列{nn }的极限．解 记n n n h n a +==1，这里()10>>n h n ，则有()().2112n nn h n n h n ->+= 由上式得 ()1120>-<<n n h n ，从而有 12111-+≤+=≤n h a n n . (7)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+121n 是收敛于1的，因对任给的0>ε，取221ε+=N ，则当N n > 时有ε<--+1121n ．于是，不等式(7)的左右两边的极限皆为1，故由迫敛 性证得1lim =∞→n n n ．在求数列极限时，常需要使用极限的四则运算法则．定理2．7(四则运算法则) 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n b a +，-n a {}n b ，{}n n b a .也都是收敛数列，且有()n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→±=±lim lim lim ，().lim .lim .lim n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→=特别当n b 为常数c 时有().lim lim ,lim lim n n n n n n n n a c ca c a c a ∞→∞→∞→∞→=+=+若再假设0≠n b 及0lim ≠∞→n n b ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 也是收敛数列，且有 n n n n nnn b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim.证 由于()n n n n b a b a 1-+=-及nn n n b a b a 1.=，因此我们只须证明关于和、积与倒数运算的结论即可.设,lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→则对任给的,0>ε分别存在正数1N 与2N ，使得,ε<-n n b a 当,1N n > ,ε<-b b n 当.2N n >取{},,m ax 21N N N =则当N n >时上述两不等式同时成立，从而有1．()()().lim 2b a b a b b a a b a b a n n n n n n n +=+⇒<-+-≤+-+∞→ε2． ()().b b a b a a b b a b a a ab b a n n n n n n n n -+-≤-+-=- （8） 由收敛数列的有界性定理，存在正数M ，对一切n 有M b n <.于是，当N n >时由（8）式可得()εa M ab b a n n +<-.由ε的任意性，得ab b a n n n =∞→lim .3．由于,0lim ≠=∞→b b n n 根据收敛数列的保号性，存在正数3N ，则当>n 3N 时有b b n 21>.取{},,m ax 32N N N ='则当N n '>时有 222211bb b b b b b b b b n n n n ε<-<-=- 由ε的任意性，这就证得b b nn 11lim =∞→.例3 求01110111lim b n b nb n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ ， 其中k m ≤，0,0≠≠k m b a ． 解 以kn-同乘分子分母后，所求极限式化为k k k k kk k m m k m m n nb n b n b b n a n a n a n a ----------∞→++++++++0111101111lim . 当0>α时有0lim =-∞→αnn .于是，当k m =时，上式除了分子分母的第一项分别为m a 与m b 外，期于各项的极限皆为0，故此时所求的极限等于mmb a ； 当k m <时，由于()∞→→-n n km 0，故此时所求的极限等于0．综上所述，得到⎪⎩⎪⎨⎧>==++++++++----.,0,,lim 1110111m k m k b ab b n b n b a a n a n a m m nn k k k k n m m m m例4 求,1lim +∞→nnn a a 其中1-≠a .解 若,1=a 则显然有211lim =+∞→nn n a a ; 若1<a ,则由0lim =∞→nn a 得()01lim lim lim 1lim =+=+∞→∞→∞→∞→n n n n n n nn a a a a 若1>a ,则.1011111lim 1lim =+=+=+∞→∞→nn n nn a a a 例5求().1limn n nn -+∞→解(),111111++=++=-+nnn n n n n由()∞→→+n n111及例1得 ∞→n lim().211111lim1=++=-+∞→nn n nn 最后，我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要定理．定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集+N 的无限子集，且<<< 21n n , <k n 则数列,,,,21k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列,简记为}{k n a .注1 由定义1可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都选自{}n a ，且保持这些项在{}n a 中的先后次序．{}k n a 中的第k 项是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k ≥．实际上{}k n 本身也是正整数列{}n 的子列．例如，子列{}k a 2由数列{}n a 的所有偶数项所组成，而子列{}12-k a 则由{}n a 的所有奇数项所组成．又{}n a 本身也是{}n a 的一个子列，此时k n k =，2,1=k ，.注2 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．例如{}k a 2和{}12-k a 都是{}n a 的非平凡子列．由上节例8可知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限． 定理2．8 数列{}n a 收敛的充要条件是：{}n a 的任何非平凡子列都收敛．证 必要性 设a a n n =∞→lim ，{}k n a 是{}n a 的任一子列．任给0>ε，存在正数N ，使得当N k >时有ε<-a a k ．由于k n k ≥，故当N k >时更有N n k >，从而也有ε<-a a k n ，这就证明了{}k n a 收敛(且与{}n a 有相同的极限)．充分性 考虑{}n a 的非平凡子列{}k a 2，{}12-k a 与{}k a 3．按假设，它们都收 敛．由于}{6k a 既是{}k a 2，又是{}k a 3的子列，故由刚才证明的必要性，k k k k k k a a a 362lim lim lim ∞→∞→∞←==． （9）又{}36-k a 既是{}k a 2又是{}k a 3的子列，同样可得.lim lim 312k k k k a a ∞→-∞→= （10）(9)式与(10)式给出.lim lim 122-∞→∞→=k k k k a a所以由上节例7可知{}n a 收敛由定理2．8的证明可见，若数列{}n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与{}n a 必收敛于同一个极限．于是，若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散．例如数列(){}n1-，其偶数项组成的子列(){}n21-收敛于1，而奇数项组成的子列(){}121--k 收敛于—1，从而(){}n1-发散.再如数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sin πn ，它的奇数项组成的子列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-π212sink 即为(){}11--k ，由于这个子列发散，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sin πn 发散.由此可见，定理2.8是判断数列发散的有力工具．Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握收敛数列的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.P 2、3、5、7、8、9、10.Ⅴ课外作业:３３。