n
1 n n!

0.
证 对任意正数 , 因为 lim (1 )n 0 ,
n n!
所以由
定理 2.4, N 0, 当 n N 时,
1 n
1, n!
即
1 n n!
.
这就证明了
lim
n
1 n n!

0.
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四、保不等式性
定理 2.5 设 { an }, { bn } 均为收敛数列, 如果存在正

a
n
lim 1 n 1 1
an

1
1 lim(1
an) 1.
n
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例7 设 a1, a2 , L , am 为 m 个正数, 证明
n
lim
n
a1n
a2n
L
amn
max { a1, a2,L
, am
}.
证 设 a max { a1, a2 ,L , am } . 由
根据极限的保号性, 3a , 即
2
存在
n
a 2

n an

n
3a 2
.
又因为 lim n a lim n 3a 1 , 所以由极限的迫 n 2 n 2
敛性, 证得
lim n
n
an
1.
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例6
求极限
an
lim
n
1

a
n
( a 1).
解 (1) | a | 1 , 因为 lim an 0, 所以由极限四则
n
运算法则, 得
an
lim
n
1

a
n

lim an
n
1 lim an
0.
n
(2) a 1,
lim
n
1
an an
lim 1 1 . n 2 2
(3) | a | 1, 因 lim (1 an ) 0 , 故得
n
an
lim
n
1
从而有
| a b | | an a | | an b | 2 .
因为 是任意的，所以 a b .
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二、有界性
定理 2.3 若数列 {an } 收敛, 则 {an } 为有界数列 ，
即存在 M 0, 使得 | an | M , n 1, 2,L .
hn )n

n(n 2
1) hn2
n 2 ,
故 1 n n 1 hn 1
2 . 又因 n1
lim 1 lim 1 2 1 ,
n n
n1
所以由迫敛性，求得 lim n n 1 . n
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六、四则运算法则
定理2.7 若 {an }与 {bn } 为收敛数列，则 {an bn}, { an bn }, { an bn } 也都是收敛数列, 且有
证
设
lim
n
an

a, 对于正数

1,
N,
n
N 时,有
| an a | 1, 即 a 1 an a 1 .
若令 M max{ | a1 |,| a2 |,L ,| an |,| a 1 |,| a 1 | },
则对一切正整数 n , 都有| an | M .
lim
k
ank
a.
注 由定理 2.8 可知,若一个数列的两个子列收敛
于不同的值,则此数列必发散.
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例8
求证
lim
n
an
a 的充要条件是
lim
n
a2n1

lim
n
a2n

a.
证
(必要性)
设
lim
n
an
a，则
0, N , n N 时,
n
a
a1n a2n L
amn n m a,
lim n m a lim a a ,
n
n
以及极限的迫敛性, 可得
n
lim
n
a1n a2n L
amn
a max { a1, a2, L
, am
}.
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定义1 设 {an} 为数列,{nk }为N+的无限子集,且
则数列
n1 n2 L nk L ,
an1 ,an2 ,L ,ank ,L
称为 {an }的子列, 简记为 { ank }. 注 由定义, {an }的子列 {ank }的各项均选自{an }, 且保持这些项在 {an }中的先后次序.{ ank }中的第 k 项是 {an}中的第 nk 项, 故总有 nk k.

1
lim
n
nkm
lim n
am

am1
1 n

L
bk

bk 1
1 n
L

a1
1 nm1

a0
1 nm

b1
1 nk 1

b0
1 nk
0 am 0.
bk
所以
原式
=

am bm
，m

k,
0, m k.
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例4
设
an 0,
lim
n
§2 收敛数列的性质
本节首先考察收敛数列这个新概念有哪
些优良性质？然后学习怎样运用这些性质.
一、惟一性 二、有界性 三、保号性 四、保不等式性 五、迫敛性(夹逼原理) 六、极限的四则运算 七、一些例子
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一、惟一性
定理 2.2 若 {an } 收敛, 则它只有一个极限. 证 设 a 是 {an} 的一个极限. 下面证明对于任何 定数 b a, b 不能是 {an} 的极限 .
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注 数列 {(1)n} 是有界的, 但却不收敛. 这就说 明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条 件.
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三、保号性
定理 2.4
设
lim
n
an

a
,
对于任意两个实数
b,
c
,
b a c , 则存在 N, 当 n > N 时, b an c.
证 取 min{ a b, c a } 0, N , 当 n N 时,
数
N0,当
n

N0
时,
有
an

bn ,则
lim
n
an

lim
n
bn
.
证
设
lim
n
an

a,
lim
n
bn

b.
若 b a, 取

ab, 2
由保号性定理,存在 N N0,当 n N 时,
an

a

a
2
b

a
2
b
,
bn

b

a
2
b

a
2
b
,
故 an bn , 导致矛盾 . 所以 a b .
由 的任意性, 得到
nliman

bn


a

b

lim
n
an

lim
n
bn
.
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 {bn } 有界, 设 | bn | M .
对于任意 0, 当n N时, 有
| an
a |
,
M 1
| bn
b |
，
| a | 1
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注 若将定理 2.5 中的条件 an bn 改为 an bn ,
也只能得到
lim
n
an

lim
n
bn
.
这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定
是严格不等式.
例如 ,
虽然
1 n

2 n
,
但 lim 1 n n

lim
n
2 n
0.
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五、迫敛性 (夹逼原理)
b a an a c, 故 b an c.
注 若 a 0 (或a 0), 我们可取 b a ( 或 c a ) ,
则 an

a 0 2
( 或 an

a 0). 2
2
2
这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.
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例1
证明
lim
当n
N
时,
2
bn
a .
取
N
max{ N0, N1, N2
},
当 n N 时，a an cn bn a . 这就证得
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lim
n
cn

a.
例2 求数列 { n n }的极限.
解 设 hn n n 1 0, 则有
n

(1

|
an
a | | an a | | an a |
an a
a