2.4.2
平面向量
数量积的坐标表示、模、夹角 数量积的坐标表示、
高级中学：党艳芸 高级中学：
一、复习引入
( )a ⋅b =a b cos 1
θ 或 cosθ =
a ⋅a
a ⋅ b a b
(2)a ⋅ a = a
2
或 a =
(3)a ⊥ b ⇔
a •b = 0
（3,2） （）若OA = 3i + 2 j则OA = ______ 1
(a + b )
2
五、小结
a ⋅ b = (x1i + y1 j ) ⋅ (x2i + y2 j ) = x1x2 + y1 y2
a = x +y ,b =
2 1 2 1
2
x
2 2
+y .
2 2
2
A、B两点间的距离公式:已知 A(x1, y1), B(x2, y2 ),
AB = (x2 − x1) + ( y2 − y1) ,
j
b = x2 i + y 2 j
a • b = x1x2 + y1 y2.
即两个向量的数量积等于 它们对应坐标的乘积的和。 它们对应坐标的乘积的和。
(1) a = ( −3,4), b = (5,2)求a • b = _____ -7
B(x2,y2)
b
a
a =o ia ⋅ a
2 2
x
2 + 3 (2)a = (2,3), 则a ⋅ a = ______
a （2）若a = (1,−2), a可用i, j表示为= i − 2 j
y
A
j
(3)已知 i = j = 1, i ⊥ j , 且a = 3i + 2 j , b = i − 2 j, 则a • b = -1
o
i
x
a =(1,-2)
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示 如图， 轴上的单位向量， 如图， 是x轴上的单位向量，j 是y i 轴上的单位向量， 轴上的单位向量， 由于 a ⋅ b = a ⋅ b cosθ 所以
2
2
2 + a = _____ 3
2、向量的模和两点间的距离公式
( )a ⋅ a = a 或a = 1
(1)向量的模
2
2
a⋅ a ；
2 2
x +y 或 a = _____ x +y , 设a = ( x, y ), 则 a = ______
2 2
（ 2）两点间的距离公式 设 A （ x1 , y 1 )、 B ( x 2 , y 2 ),
设a = x1, y1), b =(x2 , y2 ), 且a与 夹角为θ， （ b (0 ≤θ ≤180 )则cosθ = .
2 1 2 1 2 2
x1 x 2 + y1 y 2
2 2
x12 + y12 ⋅
2 2 x2 + y2
其中 x + y ≠ 0， x + y ≠ 0.
例2．已知 a = (−1, 3)， = ( 3,−1) ， b
A(1,2), B (2,3) 则 AB = ___ 2
则 AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 )
AB = （x1 − x2 )2 + y1 − y2 )2 （
3、两向量垂直的坐标表示
a ⊥ b ⇔a⋅b = 0
设 a = ( 1 , y 1 ), b = ( x 2 , y 2 ), 则 a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1 y2 = 0 y C(-2,5) 已知A(1，2)，B(2， 例1. 已知 ， ， ，
i ⋅ i =1 .
i ⋅ j =
y A(x ,y ) 1 1
b
j
j ⋅
j ⋅ i =
j = 1 .
B(x2,y2)
a
0 .
o i
x
下面研究怎样用 a b 坐 表 a ⋅ b. 和的 标 示 设两个非零向量
a = x1i + y1 j
a
=(x1,y1),
b
=(x2,y2),则 则 y A(x ,y ) 1 1
cos （1） θ =
x1x2 + y1 y2 x + y ⋅ x2 + y
2 1 2 1 2 2 2
（2） a // b ⇔x1y2 − x2 y1 = 0 （3） a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1 y2 = 0
作业
1.课本Ｐ107 课本Ｐ 课本 练习 1,2,3.
求 a⋅ b ，a | ， b |及 a 与 b 的夹角θ. | |
(1) 已知 a = ( −1, 3 ), b = (1,1), a与b的夹角为 θ， 求 a ⋅ b， a ⋅ b 及 cos θ .
(2) 已知 a = ( 2 ,3), b = ( − 2 , 4 ), c = ( − 1, − 2 ) 求（ a + b） a − b） a ⋅(b + c ), （ ⋅ ,
3)，C(-2，5)， ， ， ， 试判断∆ 的形状， 试判断∆ABC的形状，并 的形状 给出证明. 给出证明
0
B(2,3) A(1,2) x
4、两向量夹角公式的坐标运算 、 设a与 的 角 θ （0 ≤ θ ≤ 180 ）， b 夹 为
a ⋅ b = a ⋅ b cos θ ⇒ cos θ =
a ⋅b ab