ab 31， a b 2 2
cos ab 6 2.
a b 4
---
(2已 ) 知 a(2,3),b(2,4),
则（ ab） （ ab）
.
法 一 ： ab(0,7),ab(4,1) （ ab ） （ ab ） 047(1)7.
法 二 ： （ ab） （ ab） a2b2
2
2
a b 13207
（2） a/b / x 1 y2 x 2y 1 0
（3） a b x 1 x2y 1y2 0 ---
六、课后练习
1、已 O A 知 (3,1)， O B(0,5)，A 且 /C O / ， B BC A， B 则 C的 点 坐标 C(3, 23为 9 )
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
2.4.2 平面向量 数量积的坐标表示、模、夹角
---
一、复习引入
(1) a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
a b
练 习 已 知 a ( 1 , 3 ) , b ( 1 , 0 ) , 求 a 与 b 的 夹 角 .
a x 1 i y 1 j b x 2 i y 2 j ,
ab(x1iy1j)(x2iy2j)
2
2
x1x2i x1y2ijx2y1ijy1y2j
x1x2y1y2
---
故两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和。即
y A(x1,y1)
abx1x2y1y2. B(x2,y2) a
b
j
oi
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
---
2、向量的模和两点间的距离公式
2
(1)aaa 或 a aa；
(1)向量的模
2
设a (x, y),则 a x2 y2 ,或 a x2 y2；
（2）两点间的距离公式
设A（x1, y1)、B(x2 , y2 ),
则
AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
---
3、两向量垂直和平行的坐标表示 （1）垂直 ab ab0
---
二.创设教学情境
变 式 练 习 已 知 a ( 1 , 3 ) , b ( 1 , 1 ) , a 与 b 的 夹 角 , 求 c o s .
同样是已知两向量的坐标，为什么练习题中的 夹角易求,而变式练习中的夹角的余弦值不易求？
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标
来运算,那么怎样用 a和b的坐标表a示 b呢？
设a（x1, y1),b(x2, y2),则 abx1x2 y1y2 0
（2）平行
设a（x1, y1),b(x2, y2),则 a//bx1y2 x y 2--- 1 0
四、基本技能的形成与巩固
例 1(1)已 知 a(1 , 3),b(1 ,1),a与 b 的
夹 角 ,求 ab ， ab， .cos
---
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
(1)试判断ABC的形状，并给出证明.(2)求sinB
y C(-2,5)
证 : 明 A B (2 1 ,32 )(1 ,1 )
A C (21,52)(3,3)
AA B C 1( 3)130
B(2,3) ABAC
A(1,2) A B C 是 直 角 三 角 形 .
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行，则k = - 1.
---
练习2：以原点和A（5，2）为两 个顶点作等腰直角三角形OAB， B=90，求点B的坐标.
答案：B的坐标为（3，7） y B
22
或（7， 3）
A
22
O
x
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三、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i 是x轴上的单位向量， j 是y
轴上的单位向量，
由于ab a bcos 所以 y A(x1,y1)
B(x2,y2)
i i 1 . j j 1 .
b
a
j
i j j i 0 .
oi
x
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下面研究怎样用 a和b的坐标表示 ab.
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
解 : 若 A 9 0 ， 则 A B A C , A B A C = 0 , 1 2 + 3 k = 0 , k = - 3 2 . 若 B 9 0 ， 则 B A B C , B A B C = 0 , - 1 1 + ( - 3 ) ( k - 3 ) = 0 , k = 8 3 . 若 C90， 则 CACB, CACB=0,-2(1)+(-k)(3-k)=0, k=1或 2.
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五、a 小b 结 ( x 1 i y 1 j ) ( x 2 i y 2 j )x1x2y1y2
a x 1 2 y 1 2,b x 2 2 y 2 2.
A、B两点间的距离公式:已知 A(x1, y1), B(x2,y2),
A B(x2x1)2(y2y1)2,
（1）cos
x1x2y1y2 x12y12 x22y22
x 思考：还有
0
其他证明方
--- 法吗？
变题1 已知A(0，0)，B(2，3)，C(-2，5)， 试判断ABC的形状，并给出证明.
变题பைடு நூலகம் 已知A(0，3)，B(2，3)，C(-2，5)， 试判断ABC的形状，并给出证明.
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例 3 : 已 知 A B C 为 直 角 三 角 形 ， A B = ( 1 , 3 ) , A C = ( 2 , k ) , 求 k .