筒单地说就是“执果索因”.
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说明：①分析法是“执果索因”，
步步寻求上一步成立的充分条件，它
论证“若A则B”这个
命题的模式是：为了证明命题B真，
只需要证明命题B1为真，从而有…… 只需要证明命题B2为真，从而又有……
……
只需要证明命题A为真
而已知A为真，故B必真
【变式】已知a,b,c都是互不相等的正数, 且abc=1,求证：
a b c111 abc
19
①教科书第93页习题3.4第1,2,3 ②《学习与评价》第11课时
20
（二）综合法——结合已知条件，再利用熟知的事 实或已经证明过的不等式作为基
础推导出所要求证的不等式。
（三）分析法——从- 求证的不等式出发，寻求使
它成立的充分条件，直至这些
条件都已具备，那么就可以断
定原不等式成立。
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(三)定理：如果a,b是正数，那么
ab a b (当且仅当a b时取""号). 2
●两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
★定理的变形公式：
(1)ab ( a b)2(当且仅当a b时取""号). 2
(2)a b 2 ab(当且仅当 a b时取""号).
(3)当ab 0时, a b 2(当且仅当a b时取""号). ba
(4)a2 b2 2ab(当且仅当 a b时取""号). 14
2
问题一：把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一 个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为a.如果 天平制造得不准确,天平的两臂长略有不同(其它因素 不计),那么并非实际质量.不过,我们可作第二次测量： 把物体调换到天平的另一盘上,此时称得物体的质量为 b.那么如何合理地表示物体的质量呢？
1.猜测： 物体的实际质量应为 a b
bd
ac
17
(一)证明不等式 例2.证明：若0<x<2,则 3x(6 3x) 3 【变式1】若0<x<2,证明： x(6 3x) 3 【变式2】若x>0,y>0且2x+y=1,证明： xy 1
8
18
(一)证明不等式 例3.已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1,求证：
1 1 1 9 abc
n
a a a (当且仅当 1
2
时取"
n
"号).16
(一)证明不等式
例1.证明：
a2
1 a2
1
1(当且仅当a
0时取""号).
【变式1】已知a,b.c是不全相等的实数,证明：
a2 b2 c2 ab bc ac 【变式2】已知a,b.c,d都是正数,证明：
ad bc ab cd 4
4
【问题2】两个非负数的算术平均数与几何 平均数之间具有怎样的大小关系呢？ 1.试验： 2.猜测：ab a b (当且仅当a b时取""号).
2
3.证明：
5
●证明：如果a,b是正数，那么
ab a b (当且仅当a b时取""号). 2
证法一：
6
证明不等式的方法一：比较法
1. 依据： a b a b 0 ab ab0
(四)定理的几何解释
“半径不小于半弦”
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(五)定理的拓广：
1.如果a,b,c是非负数，那么
3 abc a b c (当且仅当a b c时取""号). 3
三个非负数的算术平均数
不小于它们的几何平均数.
2.如果 a1,a2,,an 都是非负数,那么
n
a1a2 an
a1 a2 an
2.比较法（作差法）的解题步骤： 作差——变形——判断——结论
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●证明：如果a,b是正数，那么
ab a b (当且仅当a b时取""号). 2
证法二：
8
证明不等式的方法二：分折法 证明不等式时，有时可以从求证的不
等式出发，分析使这个不等式成立的充分 条件，把证明不等式转化为判定这些充分 条件是否具备的问题，如果能够肯定这些 充分条件都已具备，那么就可以断定原不 等式成立，这种方法通常叫做分析法.
2.讨论：
2
3.提示： 应用力学原理求解 4.求解：
5.结论： 物体的实际质量应为 ab 3
(一)定义新概念
1.算术平均数：对于正数a,b,我们把 a 叫做a,b的算术平均数
2
b
2.几何平均数：对于正数a,b,我们把 ab
叫做a,b的算术平均数
(二)提出新问题
【问题2】两个非负数的算术平均数与几何 平均数之间具有怎样的大小关系呢？
高二数学(必修五)多媒体课件
3.4.1 基本不等式的证明
1
【问题1】
把一个物体放在天平的一个盘子上, 在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得 物体的质量为a.如果天平制造得不准确,天 平的两臂长略有不同(其它因素不计),那么 并非实际质量.不过,我们可作第二次测量： 把物体调换到天平的另一盘上,此时称得 物体的质量为b.那么如何合理地表示物体 的质量呢？
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●证明：如果a,b是正数，那么
ab a b (当且仅当a b时取""号). 2
证法三：
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证明不等式的方法三：综合法
利用某些已经证明过的不等式（如 基本不等式）和不等式的性质推导出所 要证明的不等式成立，这种证明方法通 常叫做综合法 。
筒单地说就是“由因导果”.
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证明不等式的方法
（一）比较法—— 作差—变形—判号—结论。