1 《等腰三角形》经典题型拓展与提高专训 1. 如图,在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，求∠C的度数.

2. 如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD=BC. 3.如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：（1）DE=DF.（2）DE⊥DF

4. 如图,在四边形ABCD中,∠ADC=90°,AB=AC,E,F分别为AC,BC的中点,连接EF,ED,FD. 2

(1)求证:ED=EF. (2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=6,求DF的长.

5.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠B=50°,D为BC的中点,点E在AB上,∠AED=70°,若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点,则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时,求∠EDP的度数.

6. 如图:已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD, DM⊥BC,垂足为M,求证:M是BE的中点.

7. 如图，AB∥CD，∠1=∠2，AD=AB+CD， 求证：（1）BE=CE；（2）AE⊥DE；（3）AE平分∠BAD. 3

7. 8.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.

9. 如图1,已知Rt△ABC,∠ABC=90°,以AC,AB为边分别向形外作等边三角形ACD,ABF,连接CF,BD. (1)求证:CF=BD; (2)如图2,若∠BAC=30°,点H为AC的中点,连接FH,BH,DH,请直接写出与△ABC全等的所有三角形. 4

10.如图，在△ABC中，AB=AC ，点P从点B出发沿线段BA移动（点P与A，B不重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.

（1）试说明：PD=QD （2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.

11.如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE=AD， DG⊥BE于G，求证：BG=EG. 5

12.如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点,AD，CE交于点F，且CE=EF，求证:AB=CF 13. 已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点E是线段BA延长线上的一点,CD为AB边上的高. (1)直线BF垂直于直线CE,垂足为点F,交线段DC延长线于点G(如图1),求证:AE=CG. (2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交线段CD的延长线于点M(如图2),找出图中与BE相等的线段,并证明. 6

14. 已知在Rt△BAC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为射线BC上一点(与点B不重合),过点C作CE⊥BC于点C,且CE=BD(点E与点A在射线BC同侧),连接AD,ED. (1)如图1,当点D在线段BC上时,请直接写出∠ADE的度数. (2)当点D在线段BC的延长线上时,依题意在图2中补全图形并判断(1)中结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (3)在(1)的条件下,ED与AC相交于点P,若AB=2,直接写出CP的最大值.

15. 问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,则:AC=12AB. 探究结论:小明同学对以上结论作了进一步研究. (1)如图1,连接AB边上中线CP,由于CP=12AB,易得结论: 7

①△ACP为等边三角形;②BP与CP之间的数量关系为________; (2)如图2,点D是边CB上任意一点,连接AD,作等边△ADE,且点E在∠ACB的内部,连接BE.试探究线段BE与DE之间的数量关系,写出你的猜想并加以证明; (3)当点D为边CB延长线上任意一点时,在(2)条件的基础上,线段BE与DE之间存在怎样的数量关系?请直接写出你的结论________; 拓展应用:如图3,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-3,√3),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等边△ABC,当C点在第一象限内,且B(2√3,0)时,求C点的坐标. 8 中考复习分类压轴大题专题： 三角形综合题 1．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC． （Ⅰ）求C点的坐标； （Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值； （Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．

2．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．过射线AD上一点M作BM的垂线，交直线AC于点N． （I）如图1，点M在AD上，若∠N＝15°，BC＝2，则线段AM的长为 ； （2）如图2，点M在AD上，求证：BM＝NM； （3）若点M在AD的延长线上，则AB，AM，AN之间有何数量关系？直接写出你的结论，不证明． 9

3．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C． （1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点 E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；

（2）当AC＝9cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始

运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒． ①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值； ②当△MDC与△CEN全等时，求t的值． 10

4．定义：如果一个直角三角形的两条直角边的比为1：2，那么这个三角形叫做“半正切三角形”．

（1）如图①，正方形网格中，已知格点A，B，在格点C，D，E，F中，与A，B能构成“半正切三角形”的是点 ； （2）如图②，△ABC（BC＜AC）为“半正切三角形”，点M在斜边AB上，点D在边AC上，将射线MD绕点M逆时针旋转90°，所得射线交边BC于点E，连接DE． ①小彤发现：若M为斜边AB的中点，则△DEM一定为“半正切三角形”．请判断“小彤发现”是否正确？并说明理由； ②连接CM，当∠BMC＝45°时，求tan∠DEM的值．

5．已知，如图，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，∠OAB、∠OBA的平分线相交于点E，分别交x轴、y轴于点D、C． （1）求∠AEB的度数． （2）过E作PE⊥AC交y轴于P，交x轴于Q，连CQ，求∠PCQ与∠ABO的数量关系． 11

（3）在（2）条件下，若A（1，0），B点在y轴正半轴运动，则线段OQ的取值范围为 ．

6．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点．

（1）线段FD与线段FC的数量关系 ，位置关系 ； （2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转a（0°＜a＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明； （3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围． 12

7．如图1，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于点D，CD﹣AD＝1，为了研究图中线段之间的关系，设CD＝x，BD＝y， （1）可通过证明△ACD～△CBD，得到y关于x的函数表达式y＝ ，其中自变量x的取值范围是 ；

（2）根据图2中给出的（1）中函数图象上的点，画出该函数的图象； （3）借助函数图象，回答下列问题： ①BD的最小值是 ； ②已知当AB+CD＝k时，Rt△ABC的形状与大小唯一确定，借助函数图象给出k的一个估计值（精确到0.1）或者借助计算给出k的精确值．

8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，AB＝25，点D为斜边AB上动点． 13

（1）如图1，当CD⊥AB时，求CD的长度； （2）如图2，当AD＝AC时，过点D作DE⊥AB交BC于点E，求CE的长度； （3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，当△ACD为等腰三角形时，直接写出AD的长度．

9．如图5×5的正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫格点，如：A（4，0），B（4，3），O（0，0）都是格点，且OB＝5．请用无刻度直尺按要求完成作图及解答． （1）在x轴上找一格点C，使OC＝OB，并直接写出C（ ， ）； （2）找一格点D，连接BD，CD，使BD＝CD，并直接写出D（ ， ） （3）连接OD，试说明OD平分∠AOB．