A F
E
D C
B
E
D
C
B
A F D C
B
A 专题四：四边形中常见的辅助线的作法
-------------有关梯形问题
解决梯形问题经常要根据条件添加辅助线，把梯形问题转化为较简单的三角形或平行四边形问题解决，使一些分散的条件适当集中，再进行解答．常用辅助线又如下几种：
一、如图，从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形（如
果是等腰梯形，所得的两个直角三角形是全等的，BE+FC=B C －AD.）
例1：如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝4cm ，BC ＝10cm ，∠B ＝45°.利用图中的提示
求出梯形ABCD 的面积.
例2：如图1，在梯形 中， 。

求
证： 。

例3 ：如图，梯形
中，
， 、 为对角线，求证：
二、 如图，平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（如果是等腰梯形，平移一腰，把梯形分成一个平行四边形和一个等腰三角形。

图1中：BE=BC －AD.图2中：DF=BC －AD ）
图1 图2
F E D C B A
F E
D
C
B
A
例1：已知：如图2，在梯形ABCD 中，。

求证：
例2：已知，如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC=12cm ，EF 是中位线，EF 与BD 交于G ，EG=4cm,GF=10cm 。

求梯形各角度数。

例3： 如图，梯形
中，
，
为腰
的中点，求证：。

分析： 与梯形ABCD 的面积关系不明显，如果利用梯形助
三、 如图，延长的两腰交于一点E ，得到两个三角形。

（如果是等腰梯形，则得到两个分
别以梯形两底为底的等腰三角形）。

例1：已知：如图8，在梯形
中，、N 分别是
、AB 的中点。

求证：。

A B
C
D E
G
F
E D
C
B A
例2：如图，在梯形 中， ， ，梯形 的面积与梯形
的面积相等．求证：
.
四、如图，移动一条对角线，即过底的一端作对角线的平行线， 可以借助所得的平行四边形和三角形来研究。

BF=BC+AD.
例1：已知：等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BD ，AD+BC=10，
DE ⊥BC 于点E ，求DE 的长。

例2：已知：如图3，在梯形 中， 。

求证：梯形 是
等腰梯形。

例3 ：如图，等腰梯形 中，
， ，且 ， 是
高，
是中位线，求证：
．
五、如图，连结一个顶点与一条对角线中点，得△AD E ≌△GEB,再利用△AGC 来研究。

F
D
C B A
G
A
B C D
F
E
F
E N
M
A B C D A
B
C
D F
E
A
B
C
D
F
E
例1： 已知：如图5，在梯形
中，
、N 分别是
、
的中点。

求证： 。

六、如图，过一腰中点，作另一腰的平行线，得到一个平行四边形
和两个全等的三角形。

GC=
1
2
(BC －AD )。

例1：已知，梯形ABCD 中，A D ∥BC,DE=EC,EF ⊥AB 于点F 。

求证:梯形ABCD 的面积=A B ×EF
七、如图，连结上底和一腰中点的直线，与下底延长线相交，得到两个全等的三角形，△ADE ≌△FCE ，BF=BC+AD 。

例1： 已知：如图6，在梯形 中，
是CD 的中点。

求证：。

八、有梯形一腰中点常构造中位线这是常用的辅助线方法。

例1：已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°，
E为CD的中点，连结AE、BE，
求证：AE=BE。

例2：已知：如图4，在梯形中，是的中点，且。

求证：。

例3 ：如图，在正方形中，是的中点，是上
的一点，且，求证： .
（9）平移两腰
例1：已知：如图7，在梯形中，、N分别是、AB的中点。

求证：。

例2 ：如图，在梯形中，，、分别是、的中点，若。

，，求．。