第四节 条 件 概 率一、 条件概率定义1事件总数缩减的样本空间下基本的基本事件数有利于在B A B P /)(Ω=注：一般地 )(B P 与)(A B P 不等。

定义2 设A ，B 是两事件，且 P （A ）>0,称)(A B P 为事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率；且 )()()(A P AB P A B P =条件概率同样满足概率的三条基本性质，即： 性质1<非负性> 1)(0≤≤A B P ；性质2<正则性> 对必然事件和不可能事件，有 ,1)(=ΩA P ,0)(=ΦA P性质3<可加性>若事件k B B B ,,,21 两两互不相容，则 )()(11∑===k i i k i i A B P A B P二、 乘法公式由条件概率公式容易推得概率的乘法公式：《乘法公式》对于容易两个事件A ，B ：若P （A ）>0,则)()()(A B P A P AB P =若P （B ）>0,则 )()()(B A P B P AB P =该公式可推广到有限多个情形:)()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P = 又 )()()()(213121321A A A P A A P A P A A A A P n =)(121-n n A A A A P 三、 全概率公式与贝叶斯公式（一）全概率公式看一个例子：e.g 1 10个考签中4个难签，甲、乙、丙三人抽取，甲先乙次丙最后，（不放回）求乙和丙分别抽到难签的概率？解：设A ，B ，C 分别表示甲，乙，丙三人抽到难签； 则 104)(=A P ，106)(=A P如何求 P （B ） 93)(=A B P ，94)(=A B P))()(())(()()(A B A B P A A B P B P B P ==Ω=∴ )()(A B P BA P += )()()()(A B P A P A B P A P +=1049410693104=⋅+⋅=继续分析P （C ）：丙抽之前，可能有BA B A B A AB ,,,发生， 且Ω=B A B A B A AB （互不相容）记 B A A B A A B A A AB A ====4321,,,则 4321,,,A A A A 是Ω的一个划分；且 93104)()()()(1⋅===A B P A P AB P A P类似 96104)(2⋅=A P ，94106)(3⋅=A P 95106)(4⋅=A P且 82)(1=A C P ，83)(2=A C P83)(3=A C P ， 84)(4=A C P ∴1048495106839410683961048293104)()()()()()()()()()()()()()(()()(44332211432143214321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+++=+++===Ω=A C P A P A C P A P A C P A P A C P A P CA P CA P CA P CA P CA CA CA CA P A A A A C P C P C P ∴甲、乙、丙抽到难签的概率均为0.4。

上述公式 ∑==41)()()(i i i A C P A P C P亦称为全概率公式一般情形，有定理1（全概率公式）设实验E 的样本空间为Ω，n A A A ,,,21 为Ω的一个划分（完备事件组），且 0)(>i A P ，（i=1,2,…，n ）,则：对任一事件B ，有 ∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(证明：……特别地)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=e.g 2 设有一批同规格产品，由三家工厂生产，其中 甲厂生产50%，乙、丙两厂各生产25%，而且各厂的 次品率依次为2%、2%、4%，现任取一件，求取到次 品的概率。

……（=0.025）（二）逆概率公式（Bayes 公式）（求事件在已经发生的条件下各原因之概率）定理2 （Bayes 公式）设随机实验E 的样本空间为Ω，n A A A ,,,21 为Ω的一个划分（完备事件组），且 0)(>i A P ，（i=1,2,…，n ）,B 为任一事件，若0)(>B P ，则有：∑==ni ii k k k A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()( （ k=1,2,…，n ）证明：由条件概率的计算公式得： )()()(B P B A P B A P k k =又由乘法公式和全概率公式得： )()()(k k k A B P A P B A P = ∑==n i i i A B P A P B P 1)()()(代入上式：∑==ni ii k k k A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()( （k=1,2,…，n ）e.g.3 某车间有一条生产线，正常运转时间为95%，正常运转时产品合格品率为90%，不正常运转时产品合格品率为40%，今从产品中抽取一件检验，发现它是不合格品，问这时这条生产线正常运转的概率为多少？解：设A 表示“生产线正常运转”，A 表示“生产线不正常运转”；又设B 表示“产品是不合格品”则 %95)(=A P ，%5)(=A P ， %,10)(=A B P 6.0%401)(=-=A B P由 Bayes 公式76.06.005.01.095.01.095.0)()()()()()()(=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 这时这条生产线正常运转的概率为0.76，而不是以往经验所得的95%（先验概率），而把得到信息（取到产品是不合格品）后重新修正的概率0.76称为后验概率；有了后验概率，就可以对机器运转情况有新的了解。

注：逆概率公式（Bayes 公式）常用于：若已知引起事件B 发生的“原因”共有n 个：n A A A ,,,21 ，且两两互不相容，当事件B 发生后，就希望知道其中各原因k A 之概率，这就是公式中的)(B A P k ，（k=1,2,…，n ）若其中最大的一个为)(B A P k ，则k A 就是引起事件B 发生的最大可能的“原因”。

e.g.4.甲、乙、丙三门炮同时射击一目标，已知其发射炮弹之比为1：6：3，各炮命中率分别为0.4，0.5，0.6，目标被一弹击中时，此炮弹来自哪一门炮的可能性最大？解：设B 表示“目标被击中”，321,,A A A 分别表示此弹是甲、乙、丙发射的；显然：321,,A A A 为一完备事件组，由题意： 1.0)(1=A P ，6.0)(2=A P ，3.0)(3=AP 4.0)(1=A B P ，5.0)(2=A B P ，6.0)(3=A B P由Bayes 公式： 1316.03.05.06.04.01.04.01.0)(1=⨯+⨯+⨯⨯=B A P26156.03.05.06.04.01.05.06.0)(2=⨯+⨯+⨯⨯=B A P2696.03.05.06.04.01.06.03.0)(3=⨯+⨯+⨯⨯=B A P 从以上结果可知)(2B A P 最大，因而推测出此弹是乙炮发出的可能性最大。

e.g 5 某工厂生产的产品以100件为一批，进行抽样检查时，只从每批中任取10件来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，假定每批产品的次品数最多不超过4件，并且次品数从0到4件是等可能的。

（1）求一批产品通过检查的概率。

（2）如果一批产品通过检查，求这批产品中的次品数是0，1，2，3，4的概率。

解：设iA 表示这批100件产品中有i 件次品（i=0,1,2,3，4）51)(=i A P （i=0,1,2,3，4）再设B 表示这10件产品全部为合格品。

则1)(0=A B P1010010991)(CCA B P =，1010010982)(CCA B P =1010010973)(CCA B P =，1010010964)(CCA B P =求（1） P （B ） （2） )(B A P i （i=0,1,2,3,4）】（1）0.8174；（2）0.2447；0.2202；0.1980；0.1778；0.1594第五节 随机事件的独立性一、事件的独立性所谓独立性是相对的，先看定义定义1若事件A 发生的可能性不受事件B 发生与否的影响，即)()(A P B A P =，则称事件A 对于事件B 独立；显然，A 对于事件B 独立，则B 对于A 也一定独立，因此 称 A 与B 相互独立。

e.g 1、10件产品中6件正品，4件次品，从中抽取2次，每次取一件（回置式抽样），若A 表示“第一次抽到正品”，B 表示“第二次抽到正品”，则,106)(=A P ,106)(=A B P ,106)(=B P,104)(=A P ,106)(=A B P ,106)(22=AB P)()()(A B P A B P B P ==∴A 与B 相互独立。

对于n 个事件来数，同样也有类似定义定义2 如果n 个事件n A A A ,,,21 中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，则称事件n A A A ,,,21 相互独立。

关于独立性，有以下重要结论：（1） 定理1 事件A 与B 相互独立的充分必要条件是())()(B P A P AB P =证明：若A ，B 中有一个事件的概率为0，则结论显然成立。

))()(0(A P AB P ≤≤（必要性）设;0)(,0)(>>B P A PA与B 相互独立，由定义)()(A P B A P =由乘法公式，)()()()()(A P B P B A P B P AB P ==∴ P （AB ）= P （A ）P （B ）（充分性）不妨设P （B ）>0,)()()(B A P B P AB P =P （AB ）= P （A ）P （B ）∴)()(A P B A P = 即 A 与B 相互独立。

（2） 定理2 若事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立；（四对事件，同时独立，，同时不独立）证：A 与B 相互独立， （其它类似证明）已知：P （AB ）= P （A ）P （B ）ABA B A B A -=-= 且A AB ⊆)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=∴)()())(1()()()()(B P A P B P A P B P A P A P =-⋅=-=∴A 与B 相互独立。