解：略，E(X)=k, D(X)=2k. 8. 证明： 证明：函数ψ (t ) = E[(X D(X) 。
−
t)2 ]当t = E(X)时取得最小值， 时取得最小值，且最小值为
证明：ψ (t ) = E[( X − t ) 2 ] = E[( X − E ( X ) + E ( X ) − t )] 2
−∞ +∞
xα +1 k kx dx = 1 ⇒ k =1⇒ = 1; ∫0 α +1 0 α +1
1
1
α
又 E ( X ) = 0.75, ∴ ∫ xkxα dx = 0.75 ⇒ k
0
1
xα + 2 α + 20
1 0
=
k = 0.75 α +2
两式联立可解得 k = 3, α = 2 .
4. 设随机变量X的概率分布如下： 的概率分布如下： X -1 0 pX(xi) 1/6 1/6
P3k P91 P( X = k ) = k +1 , k = 0,1,2,3 ，计算结果如下 P12 X P(X) 0 0.7500 1 0.2045 2 0.0409 3 0.0045
E(X)=0.3, E(X2)=0.4086, D(X)= EX 2 − E 2 ( X ) =0.319, σ ( X ) = 0.565
α 2 xe −αx , x > 0; f ( x) = ,其中 α > 0 为常数. 求这种电子元件的平均寿命. x≤0 0,
解: EX =
+∞
−∞
∫ xf ( x)dx = ∫ xα
0
+∞
2
xe
−αx
dx = α
+∞ 2
∫x e
0
2 −αx
dx =
2
α
.
kxα , 0 < x < 1 3. 设随机变量X的概率密度为 f ( x) = , 已知E(X)=0.75, 0 , 其它 求k及 α 的值。 的值。 解：因为 f (x)是密度函数，所以 ∫ f ( x)dx = 1 , 即
= E ( X 2 − Y 2 ) − E 2 ( X ) + E 2 (Y ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) − [ E (Y 2 ) − E 2 (Y )] = D( X ) − D(Y ) = 0
⇔ D ( X ) = D (Y )
由此看出，此结论成立。 16、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
均收益最大。 12、游客从电视塔底层乘电梯到顶层观光， 游客从电视塔底层乘电梯到顶层观光，电梯于每个正点后的第6 分 钟、24 分钟、 分钟、42分钟从底层上行。 分钟从底层上行。假设游客在上午8：00 到9:00 之间 任何时刻可以到达侯梯厅， 任何时刻可以到达侯梯厅，到达时刻为X，且X 服从[0，60]上的均匀分 布，求游客等待时间的数学期望。 求游客等待时间的数学期望。 解：X ~U[0,60],等候时间Y与到达时刻X的关系有：
1 n E ( X i ) = µ , 方差 D( X i ) = σ ，求这些随机变量算数平均值 X = ∑ X i n i =1
2
的数学期望和方差。 的数学期望和方差。 解： E ( X ) = E (
1 n 1 n 1 n X ) EX = = ∑ i n∑ ∑µ = µ i n i =1 n i =1 i =1
《概率论与数理统计》第三章课后作业答案
张少强(/szhang)
P92 习题三 1. 甲，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为若两台机器的日产 量相同， 量相同，问哪台机器较好？ 问哪台机器较好？ X 0 1 2 3 pX(xi) 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 3 pY(yj) 0.3 0.5 0.2 0 解：甲台机器一天的平均次品数EX = 0×0.4 +1×0.3 + 2×0.2 +3×0.1 =1; 乙台机器一天的平均次品数EY = 0×0.43 +1×0.5 + 2×0.2 +3×0 = 0.9 ， ∵EX > EY ,而两台机器的日产量相同，所以乙台机器较好。 2. 某种电子元件的寿命X （单位： 单位：h ）的概率密度为： 的概率密度为：
5
《概率论与数理统计》第三章课后作业答案
张少强(/szhang)
1, | y |< x,0 < x < 1 f ( x, y ) = 其它 0,
求cov(X,Y)，并问X 与Y 是否相关， 是否相关，是否独立， 是否独立，为什么？ 为什么？ 解：先求X与Y的边缘密度
f X ( x) = ∫
+∞
−∞
f ( x, y )dy = ∫ 1dy = 2 x, x ∈ (0,1)
−x
x
2 x , 0 < x < 1 得 f X ( x) = 其它 0,
fY ( y ) = ∫
+∞ −∞
f ( x, y )dx = ∫ 1dx = 1− | y |, y ∈ (−1,1) 即
= E ( X ) = ∫ x f ( x)dx =
2 2 −∞
+∞
1
π
∫
1
1
x2 1− x2
−1
dx =
1
π
∫
1
x2 −1+1 1− x2
−1
dx
=−
π∫
1
1
−1
1 − x 2 dx +
π∫
1
1
−1
1− x2
dx =
1 。 2
7. 设随机变量X服从自由度为k 的χ 2分布， 分布，其概率密度为
k 1 −1 − x x 2 e 2 , x > 0; k/2 k f ( x ) = 2 Γ( ) ，求数学期望与方差。 求数学期望与方差。 2 x≤0 0,
E ( R) = ∫
4000 3 y 4x − y − 2 y 2 + 14000 y − 2 × 2000 2 dx + ∫ dx = 2000 2000 y 2000 2000
y
令
dE ( R ) = −4 y + 14000 = 0 ⇒ y = 3500 ，又 dy 2000
d 2 E ( R) −4 = < 0 ⇒ y = 3500 是最大值点，即组织货源3500 t即可使平 2 2000 dy
| y|
1
1− | y |, y ∈ (−1,1) fY ( y ) = y ∉ (−1,1) 0, 显然 f ( x, y ) ≠ f X ( x) fY ( y ) ，即X与Y不独立。
2 1/ 2 2
0≤x≤ 其它
1 2
，
0
x 3 1/ 2 1 2 x 2dx = 4 | 0 = . 3 6
1/ 2
D(Y ) = E (Y 2 ) − E 2 (Y ) = ∫
0
1 1 4 x 2 2dx − = . 45 6
2
11、 在国际市场上， 每年对我国某种出口商品需求量X是服从[2000,4000] 在国际市场上， 的均匀分布的随机变量， 的均匀分布的随机变量，若每售出1t，可以获得3 万元外汇， 万元外汇，如果售不 出而产品积压， 出而产品积压，则需要保养费1 万元/t，问，应组织多少货源， 应组织多少货源，才能使 得平均收益最大？ 得平均收益最大？ 解：设商品需求量为X (t),组织货源y（t），收益为R，X~U[2000, 4000]， 3 X − ( y − X ), X < y 则R = ，则 X ≥y 3 y,
k =1 n
1 n +1 , = n 2
2
1 n + 1 (n + 1)(2n + 1) n + 1 n2 −1 D( X ) = E ( X ) − ( EX ) = ∑ k − − = = n 2 6 12 2 k =1
2
n
2
2
2
3
《概率论与数理统计》第三章课后作业答案
D( X ) = D(
1 n 1 Xi) = 2 ∑ n i =1 n
∑ D( X i ) =
i =1
n
nσ 2 σ 2 = n n2
14. 计算泊松分布的三阶原点和中心矩. （略） 15. 设X，Y是随机变量， 是随机变量，证明： 证明：D(X)=D(Y)的充要条件是X-Y 与X+Y 不 相关. 证明：cov(X+Y)(X-Y)=E(X+Y)(X-Y)-E(X+Y)E(X-Y)
张少强(/szhang)
10. 设随机变量X在 [0,1 / 2] 上服从均匀分布， 上服从均匀分布， Y = 2 X 2 ，求E(Y), D(Y).
2, 1 解： X ~ U [0, ] ⇒ f ( x) = 2 0,
E (Y ) = E (2 X ) = ∫
x < −1; 0, 6. 设随机变量X的分布函数为 F ( x) = a + b arcsin x, − 1 ≤ x ≤ 1 ; 试确定 1, x >1
常数a, b, 并求E(X)与D(X).
π lim F ( x) = 0 = F (−1) = a − b x→ −1−0 2 ，由此联解得到 a = 1 , b = 1 . 所以 解： 2 π lim F ( x) = 1 = F (1) = a + π b x→1+ 0 2
= E[ X − E ( X )] 2 + 2 E[( X − E ( X ))( E ( X ) − t )] + E[ E ( X ) − t ] 2 = E ( X − EX ) 2 + 2[ E 2 ( X ) − E (tX ) − E 2 ( X ) + E (tX )] + E[ E ( X ) − t ]2 = E ( X − EX ) 2 + [ E ( X ) − t ] 2