16
概率论与数理统计作业10（§3.2～§3.4） 一、填空题 1. 设随机变量 X 1 , X 2 , X 3相互独立，其中 X 1 在[0，6]上服从 均匀分布， X 2服从 e( ) ，X 3 服从参数为 3 的泊松分布, 记 Y X1 2 X 2 3 X 3 ，则 D(Y ) 46
x EX

2
f ( x )dx
2
有关方差的定理： 定理1
推论：Db 0;
DaX b a 2 DX
D X b DX ; D(aX ) a 2 DX .
6
定理2： 若X与Y 独立， D X Y DX DY
n n 推论：D X i D X i i 1 i 1
xf X x dx ,

E Y yfY y dy.

2


yf x , y dxdy .
假定积分是绝对收敛的.
三、一维随机变量函数的数学期望
（1）设离散型随机变量X 的概率分布为：
X
x1
x2

xn

P ( X xi ) p( x1 ) p( x2 )
15
2) x 1 时，
fX x


21 2 21 2 f x, y dy 2 x ydy x x 6 ; x 4 8
1
x 1 时，f X x 0 21 2 x x6 , fX x 8 0, 0 y 1 时，

8
八、原点矩与中心矩
其中k为正整数。特别的， 1 EX 对于离散随机变量： k ( X ) 对于连续随机变量： k ( X )
定义1： 随机变量X 的 k 阶原点矩： k X E X k

xik p( xi )
X E X k 定义2： X 的k 阶中心矩： k X E
5
六、方差与标准差
定义 X 的方差： DX E X EX 2
定义 X 的标准差：
X DX
D X xi EX pi
2 i 1
若X 为离散型随机变量，则有 若X 为连续型随机变量，则有
D X
2
方差的计算公式:
DX E X
E X
j
i
X
i
假定级数是绝对收敛的. （2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
i
E Y y j pY y j .
j
j
i

即： E X
EX



xf x, y dxdy , E Y


7
二维随机变量的方差：
D X xi EX p X xi xi EX p xi , y j ,
2
离散型随机变量 X ,Y ,
i
DY yi EY pY
2
y y EY px , y .
pq
3
pq2
4
pq3
5
q4
EX p 2 pq 3 pq 2 4 pq 3 5q 4 5 10 p 10 p 2 5 p 3 p 4
14
3．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 21 2 x y x2 y 1 f x， y 4 0 其它 1）求EX, EY 及 E(XY)； 2）求X与Y的边缘密度函数； 1 1 21 2 EX 解：1） xf x, y dxdy 1 dx x2 x 4 x ydy 1 21 x3 x 7 dx 0; 1 8
推论 （1）Ea a
定理2
E X Y E X EY
n n 推论： E X i EX i . i 1 i 1
定理3 若X、Y 独立，则有：
E XY E X E Y
n n 推论 若X 1 , X 2 ,, X n相互独立，则 X i EX i . E i 1 i 1
定理4 R( X , Y ) 1
定理5 如果 X 与Y 独立，则 R( X , Y ) 0, 即: X 与 Y相互独立
反之不成立。
X与 Y 不相关
11
概率论与数理统计作业9（§3.1）
1. X、Y独立同分布，X
P 0 1
则P( X Y 1)
5/9
1/3 2/3
2(1 x) 0 x 1 2. 设X的密度函数为 f ( x) 其它 0 2
E (XY )= 4/9
E( X )
,则 EX =
1/3
1/6
3. 随机变量的分布率为 P 0.4 0.3 0.3 ,则 E ( X ) -0.2 E (3 X 2 +5)= 13.4 4. 已知随机变量的分布列为P(X=m)=1/10, m＝2,4,…,18,20, 则 EX = 11 5. 对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率 为 p1 ，第二台仪器发生故障的概率为 p2 ．令X表示测试中发生 故障的仪器数，则 EX p1 p2


x EX y EY f x, y dxdy.
逆命题不成立。
定理2 若X与Y 独立，则： X , Y 0. cov
定理1 cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
注 设X与Y是任两个随机变量，
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 cov(X ,Y )
的次品率为p，求每批产品抽查样品的平均数。 解 设随机变量X 表示每批产品抽查的样品数，则:
P ( X m ) pqm 1 (m 1 , 2, 3, 4)
( p q 1)
P ( X 5) pq 4 q 5 q 4
∴X 的概率分布表如下：
X
P( X m)
1
p
2
EY
1



yf x, y dxdy dx 2
1 1 1 x
21 2 y x ydy 4
7 2 7 8 x x dx ; 1 4 9 1 1 21 E XY xyf x, y dxdy dx 2 xy x 2 ydy 1 x 4 1 7 x3 x9 dx 0; 1 4
特别的，1 0; 2 DX

i

x k f ( x )dx
k ( X ) [ xi E ( X )]k p( xi ) 对于离散随机变量：
i
对于连续随机变量： k ( X )
x E ( X )

k
f ( x )dx
9
九、协方差与相关系数
七、某些常用分布的数学期望及方差
EX np, DX npq 0 -1分布：EX p, DX pq 二项分布：
q 1 Poisson分布 EX , DX 几何分布: EX , DX 2 p p ab (b a )2 均匀分布: EX , DX 2 12 1 1 指数分布: EX , DX 2
随机变量g(X,Y)的数学期望如下：
E g X , Y


g x, y f x, y dxdy,
4
假定这个积分是绝对收敛的.
五、关于数学期望的定理
定理1
E a bX a bEX
（3）E bX bEX （2）E a X a EX
2 i j 2
j
j
i
j
连续型随机变量 X ,Y ,
j
i
j
x EX 2 f X x dx DX


DY



x EX f x, y dxdy,
2
y EY 2 fY y dy

y EY 2 f x, y dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdy.
10
2、X与Y 的相关系数 定义 R( X , Y ) cov ( X , Y )
R( X , Y )
定理3
cov ( X , Y ) D( X ) D(Y )
R X , Y 1
1, b 0; Y a bX , 且 R( X , Y ) 1, b 0.

1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则 随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
E X xi p xi , y j , E Y y j p xi , y j .
即： E X
i




x p x ,
p( xn )
则定义随机变量函数 Y g X 的数学期望为：
EY Eg X g xi p xi
i
（2）若X为连续型随机变量，其概率密度为 f x , 则定义随 机变量函数 Y g X 的数学期望为：
EY Eg X g x f x dx


y
x 1; x 1.
fY y


f x, y dx

y 1或y 0 时 fY y 0 7 5 y2, fY y 2 0,